4.3. ДВЕ РЕГРЕССИИ, НЕКОТОРЫЕ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОТОРЫХ СОВПАДАЮТ

В связи с системой (4.27) — (4.28) сделаем допущение, что векторы коэффициентов в этих уравнениях не совсем одинаковы; например, в числовом примере из параграфа 4.2 мы предположим, что свободные члены в обеих инвестиционных функциях могут быть различными. В общей постановке задачи мы можем иметь:

где суть -мерные вектор-столбцы наблюдений за зависимыми переменными; матрица размерности ранга заданных наблюдений за независимыми переменными; матрица размерности ранга заданных наблюдений за независимыми переменными; - m-мерный вектор-столбец коэффициентов, появляющихся в обоих уравнениях; соответственно и -мерные вектор-столбцы коэффициентов регрессии, а вектор-столбцы возмущений. Заметим, что и что имеет размерность размерность . Сделаем допущение, что возмущения компонент нормально и независимо распределены с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Для удобства перепишем систему в следующем виде:

или

где обозначает блочное представление матрицы в правой части (4.52). Очевидно, что (4.53) имеет вид множественной регрессионной модели, массив из наблюдений которой предполагается удовлетворяющим соответствующим стандартным допущениям. Таким образом, если принять расплывчатую априорную ФПВ для компонент и то апостериорная ФПВ для будет многомерной -ФПВ Стьюдента, а именно

где

Если записано выражение (4.54), задача получения маргинальной ФПВ, скажем, для сводится просто к построению маргинальной апостериорной ФПВ для подмножества множества параметров, имеющего многомерное -распределение Стьюдента, т. е. к задаче, уже рассмотренной

ренной нами в 3-й главе. Здесь мы используем блочное представление

где Тогда маргинальная апостериорная ФПВ для задается выражением

где

Заметим, что и, таким образом, показатель степени в (4.55) может быть записан как Математическое ожидание подвектор может быть получено в явном виде:

где Н определено в получается как оценка регрессии получается как оценка регрессии . Из (4.56), а также определений следует, что . Таким образом, в (4.57) есть «матричная взвешенная средняя» . Аналогичный анализ может быть проведен для получения апостериорных ФПВ для

Изложенный выше анализ полезен при объединении массивов данных, полученных из двух источников. Заметим, что результаты не эквивалентны тем, которые были бы получены, если бы мы исследовали (4.51) условно, положив, что оценке 1МНК, получаемой из (4.50). В этом случае, например, мы получили бы условную, а не маргинальную ФПВ для маргинальная ФПВ получается из (4.54), как мы это и сделали для выше. Наконец, если мы примем гипотезу различных дисперсий для компоненты! и в (4.50) и (4.51), например , то для анализа (4.50) и (4.51) можно использовать методы параграфа 4.21.