А.6. ФПВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА — СНЕДЕКОРА (Ф-ФПВ)

Говорят, что случайная переменная имеет распределение Фишера — Снедекора, если и только если ее ФПВ имеет следующую форму:

где Очевидно, что (А.68) является частным случаем О бета-ФПВ где Параметры обычно называются степенями свободы и (А.68) называется Ф-ФПВ с степенями свободы.

Если , то Ф-ФПВ имеет единственную моду в точке

Моменты Ф-ФПВ могут, разумеется, быть получены непосредственно из моментов О бета-ФПВ, приведенных в Для удобства пользования приведем моменты Ф-ФПВ:

и так далее. Дисперсия Ф-ФПВ равна:

Рассмотрим сейчас связь Ф-ФПВ с несколькими другими хорошо известными ФПВ.

1. Пусть в ФПВ и пусть тогда Ф-ФПВ трансформируется в стандартизованную О -ФПВ С с степенями свободы.

2. Если являются независимыми случайными переменными с имеющими степеней свободы соответственно, то имеет Ф-ФПВ с степенями свободы при условии, что

Если имеет Ф-ФПВ то при условии случайная переменная будет иметь -ФПВ с степенями свободы.

4. Если имеет Ф-ФПВ (А.68), то при условии случайная переменная будет иметь -ФПВ с степенями свободы.

5. Если имеет ФПВ (А.68), то при условии случайная переменная будет иметь стандартизованную ОН ФПВ.

6. Если являются независимыми случайными переменными с О гамма-ФПВ в форме и параметрами соответственно, то случайная переменная будет иметь Ф-ФПВ с степенями свободы.

Справедливость пункта 1 устанавливается с помощью преобразования и замечания, что при результирующая ФПВ в точности совпадает со стандартизированной О -ФПВ С с степенями свободы.

Справедливость пункта 2 устанавливается следующим образом. Можно увидеть, что совместная ФПВ для есть

где Пусть Отсюда Якобиан преобразования равен Таким образом, ФПВ для есть

Интегрируя по у, получаем

Наконец, вводя получим Ф-ФПВ

Для доказательства пункта 3, положив получаем

При и фиксированном имеем

что является -ФПВ с степенями свободы. Пункты 4 и 5 могут быть обоснованы с помощью аналогичных методов.

Установим справедливость пункта 6. Выпишем совместную ФПВ для

где

Осуществив преобразования переменных получаем

Результат интегрирования по имеет вид

Сделав замену переменных получаем ФПВ для являющуюся Ф-ФПВ (А.68).