ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ВЫВОД ПРИБЛИЖЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ, ПРЕДСТАВЛЕННОГО В (11.72)

В (11.72) мы имеем подлежащее оцениванию математическое ожидание , где определены в

известное значение цели для периода Для первого члена получим

Далее мы должны оценить Используя (11.69) и (11.70), последнее выражение можно переписать в виде

. К сожалению, не представляется возможным оценить математическое ожидание в (2) точно. Поэтому мы аппроксимируем его следующим выражением:

Выражение (3) получается, если заметить, что (2) может быть переписано в терминах случайных переменных с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями, причем последние имеют порядок так как имеет порядок 0 (Т). Тогда аппроксимация математического ожидания в (2) получается заменой случайных переменных значениями их математических ожиданий; это ведет здесь практически к тому, что отбрасываются члены порядка и более высоких порядков малости.

Поскольку знаменатель (3) равен 1 плюс член порядка разлагая его в ряд, получим

где члены порядка оставлены в разложении, а члены более высоких порядков малости отброшены.

Складывая (1) и (4), получаем окончательный результат:

где при переходе от первой ко второй строке использовано равенство . Поскольку можно увидеть, что (5) тождественно выражению (11.72).