5.2. КЛАССИЧЕСКАЯ МОП: АНАЛИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ФОРМЫ МЕТОДОМ НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ

В классической МОП мы имеем пар наблюдений относительно которых принимается допущение, что они генерированы следующей моделью:

с

где суть неизвестные параметры. Мы принимаем для (5.27), (5.28) допущение, что ) распределены независимо от и что их распределения являются нормальными, причем . Последнее допущение предполагает, что ошибка в а именно не коррелирована с ошибкой , т. е. с (а здесь и независима от нее).

Если мы объединим (5.28) и (5.29), модель может быть записана в виде

Будучи записанной в таком виде, модель совершенно очевидно связана как с простой регрессионной моделью, так и с задачей о выборочных средних; иными словами, если бы не было ошибок измерения в (5.30)

(т. е. ), то наша модель в точности соответствовала бы простой регрессионной модели. С другой стороны, если то данная модель превращается в задачу об выборочных средних с двумя наблюдениями, соответствующими каждой средней, причем дисперсии обоих наблюдений различны и равны соответственно. Это обстоятельство заставляет предполагать, что и в данной модели может возникнуть проблема существования максимума правдоподобия в том виде, как мы ее только что рассмотрели.

Функция правдоподобия для параметров системы (5.30) — (5.31) задается выражением

где

а есть -мерный вектор-столбец, все компоненты которого являются единицами, т. е. i = (1,1, ..., 1). Переходя к логарифмам в обеих частях (5.32) и дифференцируя по компонентам имеем:

Необходимым условием максимума является то, что значения параметров должны существовать в допустимом пространстве параметров 1 и обращать эти производные в нуль, равно как и производные по и . Приравняв все (5.33) нулю, мы получим

где

Подставляя (5.36) в (5.34) и (5.35) и приравнивая эти производные нулю, имеем следующий результат:

Эти уравнения совместны тогда и только тогда, когда Однако в нашем определении допустимого пространства параметров, мы в явном виде ввели ограничение тем самым величина попадает в недопустимую область пространства параметров. Ввиду этого необходимые условия максимума функции прав доподобия первого порядка не могут удовлетворяться одновременно следовательно, максимум функции правдоподобия не существует в допустимой области пространства параметров.

Поскольку эти затруднения при анализе модели (5.30)-(5.31) являются фундаментальными в случае, если все параметры принимаются неизвестными, анализ часто осуществляют в условиях допущения, что известно точно. В условиях этого допущения существует единственный максимум функции правдоподобия, что позволяет получить оценки МНП. Для получения этих оценок запишем функцию правдоподобия в виде

Дифференцируя логарифм функции правдоподобия L по неизвестным параметрам и приравнивая производные нулю, имеем:

и

Из (5.40) получаем

где . Подставляя значение в (5.41), приходим к

Далее из (5.42) получается

Подставляя (5.47) в (5.45), получаем

где для .

Последнее выражение дает

и

в качестве необходимого условия для . Тогда оцениватель МНП для Р есть решение квадратного уравнения (5.49), а именно

Заметим, что знак перед квадратным корнем положителен, поскольку именно такой выбор ведет к максимуму функции правдоподобия а.

Приняв из (5.44) и (5.46) получаем, что оцениватель МНП для из (5.44) имеет вид

оцениватель МНП для из (5.46) имеет вид

Наконец, из (5.43) мы имеем оцениватель МНП для

Как указывалось в литературе [72, с. 386], в то время как являются состоятельными оценивателями, таковым не является. Действительно, Этот результат совершенно аналогичен полученному в параграфе 5.2, где мы анализировали задачу об выборочных средних с двумя наблюдениями на каждую среднюю и одинаковой дисперсией наблюдений. В настоящей задаче нам известны значение отношение дисперсий и фактически нам неизвестна только одна дисперсия (см. функцию правдоподобия (5.39), которая может быть записана в терминах только коль скоро фнам известно).

Несостоятельность оценивателя надо, видимо, отнести к тому обстоятельству, что МНП не учитывает, что при построении этого оценивателя нужно оценить еще и компонент . Поскольку число компонент растет с ростом объема выборки, значительная часть выборки используется для оценивания компонент , как в малых, так и в больших выборках. Как отмечают Кендалл и Стьюарт [72, с. 61, 387], смещение оценивателя ДНП для существующее в малой выборке, не обращается в нуль с ростом , поскольку мы никогда не выходим за пределы ситуации малой выборки. Они предлагают следующую процедуру корректировки несостоятельности. Имеют место наблюдений и в (5.53) мы подставляем оценки компонент параметров. Тогда число представляет степени свободы, остающиеся для оценивания . «Скорректированный» состоятельный оцениватель будет иметь вид