10.5. СРАВНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЙ

В 7-й главе рассматривалось оценивание модели функции потребления с распределенными запаздываниями.

В этом параграфе мы рассмотрим задачу расчета апостериорных шансов, соотносящих альтернативные формулировки в условиях нерасплывчатой априорной информации о параметрах, входящих в модель. Как и в 7-й главе, рассмотрим следующее уравнение:

В (10.52) индекс t — значение переменной в момент времени; расход на личное потребление и доход соответственно, в неизменных ценах с элиминированием сезонных колебаний; X и k являются параметрами; возмущение. В качестве альтернативной модели для наблюденной динамики С при данном рассматриваются: уравнение (10.52) с , где величина нормально и независимо распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной уравнение (10.52) при где величина нормально и независимо распределена с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной

Заметим, что если , то и друг друга исключают.

В качестве априорных ФПВ для параметров модели (10.52) используем априорные ФПВ, рассмотренные в параграфе 7.5. Для удобства воспроизведем их ниже, причем в каждой из них должно выполняться

Первая априорная ФПВ:

Вторая априорная ФПВ:

Третья априорная ФПВ:

В каждом из рассматриваемых случаев мы допускаем, что X, k и независимо распределены, для параметра мы берем расплывчатую априорную ФПВ. Что касается параметров А, и k, то в (10.53) мы следуем допущению, что они равномерно распределены в интервале (0, 1). В (10.54) и (10.55) представлены независимые априорные бета-ФПВ для параметров X и k. Математическое ожидание априорной бета-ФПВ для k как в (10.54), так и в (10.55) равно 0,9; а ее дисперсия равна 0,00089. Априорная бета-ФПВ для X имеет в (10.54) математическое ожидание, равное 0,7, и дисперсию, равную 0,0041; а в (10.55) — математическое ожидание, равное 0,2, и дисперсию, равную 0,0146.

Апостериорные шансы задаются выражением

где являются априорными шансами, функциями правдоподобия при заданном Функции правдоподобия определяются следующим образом:

где

есть матрица размерности с ненулевыми элементами на главной, над- и поддиагоналях.

Подставляя (10.57) и (10.58) в (10.56) и производя интегрирование по получаем

где обозначает априорную ФПВ для А и k. Вычислив с помощью двумерного численного интегрирования двойные интегралы в (10.59) для каждой из рассмотренных выше априорных ФПВ, получаем следующие результаты:

Отсюда очевидно, что в каждом случае информация, содержащаяся в данных, ведет нас от априорных шансов, равных единице, к апостериорным шансам, отдающим подавляющее преимущество модели . Отметим также, что хотя значения очень велики при всех априорных ФПВ, существенно меняются в зависимости от априорных допущений относительно к и

В качестве второго примера сравнения альтернативных моделей распределенных запаздываний с помощью вычисления апостериорных шансов мы исследуем модель распределенных запаздываний (лагов) Солоу, в которой используется гибкая двухпараметрическая структура взвешивания. Модель Солоу для наблюдений имеет вид

где есть значение экзогенной переменной в момент и веса определяются следующим образом:

где являются неизвестными параметрами. Очевидно, что равно произведению k и сомножителя, совпадающего с ФПВ распределения Паскаля (или, в случае нецелых — с ФПВ отрицательного биномиального распределения). Поскольку Солоу рассматривает только положительные целые значения как адекватные для целей его исследования, мы последуем за ним. Как отмечалось Солоу, математическое ожидание и дисперсия ФПВ распределения Паскаля равны соответственно Таким образом, и математическое ожидание, и дисперсия возрастает с . Мода этого распределения всегда остается меньше его математического ожидания, и в этом смысле распределение скошено вправо. Солоу показывает, что чем больше к и чем меньше , тем больше скошенность. Заметим, что, если , то мы имеем чистый случай геометрически убывающих

Вводя в рассмотрение оператор запаздывания L, такой, что и замечая, что

перепишем (10.60) в виде

В своем анализе этого уравнения мы будем следовать первому случаю Солоу, т. е. примем допущение, что и что случайная величина имеет нулевое математическое

ожидание и общую дисперсию, равную . Кроме того, допустим, что нормально и независимо распределены.

Перед нами стоит задача: при условии, что заданы наблюдения и априорные допущения относительно параметров, определить апостериорные вероятности, связанные с гипотезами: Эти четыре гипотезы являются непересекающимися и по допущению образуют полное множество событий. Прямое решение этой задачи заключается просто в расчете апостериорной ФПВ для , дискретной ФПВ, которая содержит нужную нам информацию. Наши четыре модели имеют вид:

При заданном , скажем при обозначим априорную ФПВ для параметров через где является средним квадратичным отклонением при Тогда апостериорные шансы, соотносящие, например, модели выражаются как

где суть априорные шансы, обозначает функцию правдоподобия для параметров . Из рассчитанных таким образом апостериорных шансов можно непосредственно получить апостериорные вероятности.

Гейсел использовал этот подход для анализа квартальных данных США, причем есть расход на личное потребление, личный доход; данные взяты в неизменных ценах с элиминированием сезонных колебаний. Его априорные ФПВ для параметров при имеют вид

Гейсел принял также допущение, что при Подставив (10.68) в (10.67) и проинтегрировав по можно получить результат в аналитическом виде. Для интегрирования по должны быть применены методы двумерного численного интегрирования. Результаты этого анализа, основанные на квартальных данных 1948-1967 гг., приведены ниже:

Отсюда видно, что апостериорная вероятность, связанная с существенно больше, чем вероятность, связанная с другими значениями . Однако вероятность при равная 0,177, является довольно большой, и, следовательно, анализ указывает на возможные отклонения от модели с геометрически убывающими весами

Заканчивая эту главу, уместно подчеркнуть, что байесовские методы сравнения и проверки гипотез составляют унифицированное множество принципов, которые являются операционными и применимы к анализу широкого круга проблем. Эти методы позволяют включать априорную информацию при сравнении и проверке гипотез и, что еще более важно, получать апостериорные вероятности, связанные с этими гипотезами, которые полезны в исследованиях широкого круга проблем. Наконец, в случаях когда должен быть сделан выбор, байесовский подход к проверке является единственным подходом, предусматривающим выбор действия на основе максимизации ожидаемой полезности и находящимся в соответствии с некоторыми базисными результатами экономической теории выбора.