Глава 7. МОДЕЛИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ: НЕСКОЛЬКО ИЗБРАННЫХ ПРИМЕРОВ

Большинство, если не все, случаев экономического анализа связано с данными в виде временных рядов. Это вызывает потребность в хороших методах анализа моделей временных рядов. В этой главе мы обратимся к анализу избранных моделей временных рядов для того, чтобы продемонстрировать, как байесовский подход может быть приложен к анализу данных, представленных в виде временных рядов. Читатель сможет убедиться, что, если задана функция правдоподобия и если мы располагаем априорной ФПВ, общие принципы байесовского анализа, изложенные во 2-й главе, могут быть приложены без каких-либо специальных модификаций. Это весьма ценный результат, ибо он означает, что наши общие принципы так же приложимы к задачам, связанным с временными рядами, как и к другим задачам.

7.1. НОРМАЛЬНЫЙ АВТОРЕГРЕССИОННЫЙ ПРОЦЕСС ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Мы делаем допущение, что модель, генерирующая наши наблюдения, имеет вид

где являются неизвестными параметрами, возмущением. Мы принимаем допущение, что нормально и независимо распределены, каждое с нулевьм математическим ожиданием и общей дисперсией, равной Что касается начальных условий, то мы сначала произведем условный анализ при заданном наблюдении для момента времени . При этих допущениях функция правдоподобия имеет вид

причем суммирование производится от до

Относительно априорной ФПВ для параметров мы примем допущение, что наша информация является расплывчатой, и представим это обычным способом, а именно

где Заметим, что мы не ограничиваем область существования интервалом от — 1 до + 1, и, таким образом, наш анализ приложим как к взрывному, так и к невзрывному случаям. На самом деле наша апостериорная ФПВ для отразит то, что может сообщить информация выборки о характере процесса, т. е. является ли он взрывным или нет.

Объединяя (7.2) и (7.3), получаем апостериорную ФПВ для параметров, которая имеет вид

где Вид этой апостериорной ФПВ в точности соответствует ее виду, полученному при анализе простой нормальной регрессионной модели в параграфе 3.1. В целях получения маргинальной апостериорной ФПВ для вектора Р мы интегрируем а, получая

где

и . Из (7.5) очевидно, что совместная апостериорная ФПВ для имеет вид, соответствующий двумерному -распределению Стьюдента, математическое ожидание этой ФПВ задается (7.7) и соответствует оценивателю метода наименьших квадратов. Это дает простую возможность получения выводов о . В частности, маргинальные апостериорные ФПВ для являются одномерными -ФПВ Стьюдента. В явном виде величины

будут распределены по -распределению Стьюдента с степенями свободы. Затем, интегрируя (7.4) по , получаем маргинальную

ФПВ для а, имеющую вид

причем

Как указывалось выше, эти результаты для нормального авторегрессионного процесса первого порядка соответствуют таковым для простой нормальной регрессионной модели. Кроме того, прогнозная ФПВ для следующего будущего наблюдения является одномерной -ФПВ Стьюдента с математическим ожиданием которое зависит только от заданных значений выборки.

Если мы получаем дополнительную информацию об авторегрессионном процессе (7.1) и хотим включить ее в анализ, то это осуществить нетрудно; например, мы можем сделать допущение, что процесс является стационарным при . Тогда первоначальное наблюдение, задается выражением

или

Из (7.9) следует, что величина нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией . Таким образом, совместная ФПВ для наблюдений, , задается в виде

где Эта ФПВ, рассматриваемая как функция от параметров, разумеется, является функцией правдоподобия. Что касается априорных допущений, то мы примем, что независимо распределены. Относительно а мы допустим также, что они распределены равномерно и независимо. Наша априорная ФПВ для обозначается через . Таким образом, наша совместная априорная ФПВ имеет вид

где

В условиях принятых выше Допущений апостериорная ФПВ для параметров представляется как

Выделяя полный квадрат относительно в (7.12), мы получаем

где Из (7.13) очевидно, что условное математическое ожидание при заданных равно Кроме того, можно записать в следующем виде;

где Заметим, что из (7.9) еле дует, что при заданном величина является оценкой в то время как есть другая оценка Величина является взвешенной средней этих двух оценок, причем весами выступают соответствующие параметры точности. Более того, из (7.13) следует, что условная апостериорная ФПВ для при заданных и а является нормальной ФПВ с математическим ожиданием и дисперсией с возрастанием Т и т. е. влияние величины на положение условной апостериорной ФПВ убывает с возрастанием Т. В целях получения маргинальной апостериорной ФПВ для можно проинтегрировать (7.13) по а, а затем анализировать полученную двумерную апостериорную ФПВ для с приложением методов двумерного численного интегрирования.

Поскольку в центре интереса исследователя часто лежит мы обсудим ниже маргинальную апостериорную ФПВ для этого параметра, которая может быть получена путем интегрирования (7.13) по и а. Интегрирование по дает

Ввиду того что с возрастанием Т апостериорная ФПВ в условиях больших выборок становится приблизительно пропорциональной т. е. имеет вид, свободный от информации о начальных условиях, если пренебречь тем, что входит в 2]. ФПВ (7.14 а) может служить для получения совместных выводов относительно и а или маргинальных выводов относительно а.

Затем мы можем проинтегрировать (7.14 а) по а и получить следующую маргинальную апостериорную ФПВ для

ФПВ может быть проанализирована численными методами. В условиях больших выборок она приблизительно пропорциональна выражению, которое, как уже было установлено выше, представляет собой одномерную -ФПВ Стьюдента и не отражает ни априорной ФПВ ни других сомножителей второй строки (7.146), появление которых связано с соображениями относительно ФПВ для

Что же касается априорной ФПВ для то в большинстве случаев бета-ФПВ, определенная на интервале от — 1 до + 1, является достаточно гибкой для представления априорной информации: , где являются параметрами, значения которым априорно приписываются исследователем. Если то эта априорная ФПВ тождественна той, которая была получена путем приближенного приложения теории инвариантности Джеффриса, а именно см. в приложении к настоящей главе). Таким образом, если мы хотим вести анализ данной задачи с использованием аппроксимации расплывчатой априорной ФПВ

Джеффриса, то она имеет вид Как уже было указано, с возрастанием объема выборки влияние априорной ФПВ на свойства апостериорной ФПВ убывает. Кроме того, как видно из настоящего анализа стационарного процесса первого порядка, влияние начальных условий или, иначе говоря, допущений относительно убывает с возрастанием объема выборки. Этот последний результат неудивителен, поскольку начальные условия охватывают только одно наблюдение, , т. е. лишь небольшую часть информации, даже если Т сравнительно умеренно велико и