2.3. АПРИОРНЫЕ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Априорная ФПВ, обозначенная в через , представляет нашу априорную информацию о параметрах модели; иными словами, в байесовском подходе априорная информация о параметрах модели обычно представлена соответствующим образом выбранной ФПВ. Возьмем пример 2.1. В нем априорная информация о математическом ожидании представлена в (2.6) нормальной ФПВ с математическим ожиданием и дисперсией Априорные математическое ожидание и дисперсия являются константами, заданными исследователем в соответствии с априорной информацией относительно параметра, которой он располагает. Если эта нормальная априорная ФПВ считается адекватным представлением имеющейся априорной информации, то она может служить, как было показано выше, для получения апостериорной ФПВ для С другой стороны, если нормальная ФПВ не дает адекватного представления априорной информации, исследователь должен пользоваться какой-либо другой ФПВ.

В качестве характерного примера приведем случай, когда скалярный параметр например отношение, по своей природе находится в замкнутом интервале между 0 и 1. Тогда использовать нормальную априорную ФПВ было бы неадекватно, поскольку нормальная ФПВ не ограничивает область существования замкнутым интервалом (0, 1). В этом случае в качестве ФПВ для можно было бы выбрать бета-ФПВ, которая может воплотить имеющуюся информацию об области существования . Соображения этого рода указывают на то, сколь важно соблюдать осторожность и тщательно обдумывать выбор априорной ФПВ для представления априорной информации.

Что касается природы априорной информации, то мы признаем, что иногда это может быть информация, содержащаяся в прошлых выборках, которые были генерированы достаточно обоснованным научным путем и данные которых сохраняются для дальнейшего анализа. Если априорная ФПВ представляет такого рода информацию, то мы назовем ее «априорной ФПВ, базирующейся на данных» или БД-априорной ФПВ. В других случаях априорная информация может быть получена в результате самоанализа, случайных наблюдений или из теоретических соображений, иными словами, из источников иных, чем имеющиеся в наличии прошлые выборки описанного выше рода. Если априорная ФПВ представляет такую информацию, то мы будем называть ее «не базирующейся на данных (НБД) априорной ФПВ». Хотя во многих ситуациях априорные ФПВ представляют как БД, так и НБД-информацию, мы полагаем, что различие между этими двумя видами информации заслуживает внимания, потому что они, очевидно, несколько разнятся по своим свойствам.

Крайне трудно сформулировать общие предписания относительно адекватного использования упомянутых выше двух видов априорной информации, поскольку многое зависит от целей анализа; например, если исследователь желает выяснить, как изменяет информация, содержащаяся в новой выборке, его собственные предположения о значениях параметров модели, а его первоначальная информация является информацией типа НБД, он, несомненно, будет использовать НБД-апри-орную ФПВ в сочетании с функцией правдоподобия для получения апостериорной ФПВ. Тогда, сравнивая свою апостериорную ФПВ с НБД-априорной ФПВ, он установит, в какой степени информация, содержавшаяся в выборочных данных, изменила его первоначальные НБД-предположения, что представляет собой фундаментальную процедуру во многих научных исследованиях. Опять-таки, если экономист осуществляет анализ выборочных данных в целях принятия решения о выборе экономической политики, он может на самом деле включить в свой анализ как НБД, так и БД-информацию для того, чтобы обеспечить использование при принятии окончательного решения всей имеющейся в его распоряжении информации, априорной и выборочной.

Хотя вышеуказанные возможности применения НБД-априорной информации весьма ценны, следует заметить, что НБД-априорная информация одного исследователя может отличаться от таковой другого. В приложении к научным исследованиям это только другой способ сказать, что разные исследователи могут иметь разные взгляды, в чем, конечно, нет ничего необычного. Например, на заре кейнсианства некоторые теоретики-количественники старого закала считали, что мультипликатор инвестиций может быть отрицательным, нулевым и положительным. Эти взгляды шли вразрез со взглядами тех кейнсианцев, которые на основе теоретических соображений и случайных наблюдений отстаивали строгую положительность мультипликатора. Если дана модель для наблюдений, связывающая теорию мультипликатора и эмпирические данные, то можно вычислить апостериорную ФПВ для инвестиционного мультипликатора и определить, что может сообщить информация, содержащаяся в этих данных, относительно значений

мультипликатора. Анализ такого рода может привести к выводу, что вероятность отрицательного мультипликатора пренебрежимо мала. Таким образом, информация, содержащаяся в эмпирических данных, может применяться для сопоставления различных априорных точек зрения или гипотез. Конкретная методология таких сопоставлений дается в 10-й главе. Там же приводится, кроме того, общая схема выбора из альтернативных соперничающих точек зрения или гипотез с использованием информации выборки, равно как и иллюстрация приложения этой методологии.

Вполне возможно и то, что два исследователя, работающих с одной и той же моделью и БД-априорной информацией, получат разные апостериорные представления, если их априорная информация основана на разных массивах прошлых данных. Выводы этих исследователей можно привести к согласию, если объединить их прошлые выборки и, таким образом, обеспечить их одинаковой БД-априорной информацией.

Вне зависимости от того, является ли информация БД или НБД, можно представить себе, что она скудна; например, может вообще не существовать никаких прошлых данных. Ситуация, в которой применяется НБД-информация, может оказаться такой, что исследователь имеет только крайне смутное представление об изучаемом явлении. Мы будем говорить в этих случаях, что наша априорная информация является «неясной», или «расплывчатой». Если наша априорная информация относится к параметрам некоторой модели и является неясной, или расплывчатой, то мы будем употреблять для анализа наших данных соответственно расплывчатую априорную ФПВ. Различные соображения и принципы, используемые для получения расплывчатых априорных ФПВ, обсуждаются в приложении к настоящей главе. Для иллюстрации приложения расплывчатой априорной ФПВ рассмотрим следующий пример.

Пример 2.2. Рассмотрим независимых наблюдений полученных путем выборки из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным математическим ожиданием и известным средним квадратичным отклонением . Пусть наша априорная информация относительно значения является неясной, или расплывчатой. Для представления недостаточности наших знаний о значениях мы последуем за Джеффрисом (см. приложение к настоящей главе) и примем

в качестве нашей априорной ФПВ. Тогда апостериорная ФПВ для

задается выражением

где есть функция правдоподобия, а является выборочной средней. Тот же самый результат мы получили бы в примере 2.1, если бы «растянули» нашу априорную нормальную ФПВ для (т. е. устремили бы ).

Когда мы располагаем НБД-априорной информацией, которую мы хотим вовлечь в наш анализ, приходится столкнуться с задачей выбора априорной ФПВ для представления имеющейся априорной информации. В идеале мы хотели бы располагать ФПВ, представляющей нашу априорную информацию настолько точной, насколько это возможно, и в то же время относительно простой, чтобы сохранялось удобство осуществления математических операций. Так, в примере 2.1 предполагалось, что наша априорная информация может быть адекватно представлена нормальной ФПВ (2.6), что относительно просто и удобно с математической точки зрения. Из последующего изложения мы увидим, что (2.6) — это пример «естественно сопряженной» априорной ФПВ. Подобные априорные ФПВ часто служат для представления априорной информации, они относительно просты и удобны для математической обработки.

Теперь мы объясним определение естественно сопряженной априорной ФПВ. Пусть будет ФПВ для -мерного вектор-столбца наблюдений у, где является вектором параметров. Если при где есть функция от наблюдений и не зависит от , то называются достаточными статистиками. Естественно сопряженная априорная ФПВ для , например задается как , причем множитель пропорциональности зависит от t и , но не от . Можно увидеть, что определенная таким образом, имеет ту же функциональную форму, как и ; однако аргументом f является , а его параметров суть компоненты Для представления априорной информации исследователю достаточно придать значения , например чтобы получить в качестве информативной априорной ФПВ.

Понятие естественно сопряженной априорной ФПВ мы проиллюстрируем примером 2.2 при Имеем где . Тогда можно записать причем Очевидно, что есть достаточная статистика для а естественно сопряженной априорной ФПВ для является функция где нормальная ФПВ с априорным математическим ожиданием и априорной дисперсией Перед тем как применить эту априорную ФПВ, исследователь должен убедиться в том, что она адекватно представляет его априорную информацию, и, если это действительно так, задать значения ее параметров