Глава 6. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

В некоторых случаях экономические и (или) статистические соображения приводят нас к задаче анализа моделей, нелинейных относительно параметров. В параграфе 4.1 мы уже встречались с нелинейной зависимостью при анализе регрессионной модели с автокоррелированными возмущениями, в частности в выражениях (4.1 в) и (4.12 в). В этой главе мы подвергнем анализу другие нелинейные модели, например производственную функцию (ПФ), функцию «постоянной эластичности замены» (ПЭЗ) и «обобщенную производственную функцию» (ОПФ). В этих случаях нелинейность возникает главным образом из экономических соображений, иными словами, ПЭЗ ПФ является обобщением ПФ Кобба — Дугласа (К — Д) в том смысле, что допускает для параметра эластичности замены и другие значения, кроме единицы, которые являются единственно возможным в ПФ К — Д. Аналогично ОПФ позволяет сделать дальнейшие обобщения в этом направлении, а также в области поведения параметра отдачи от масштаба. Экономическое и статистическое значение выбора адекватного вида функции для зависимости трудно переоценить. Использование неадекватного вида функции часто ведет к серьезным ошибкам. Поэтому в данной главе специальное внимание уделяется анализу нескольких видов нелинейных функций, что может оказаться полезным в ряде приложений.

6.1. АНАЛИЗ ПРЕОБРАЗОВАНИИ БОКСА — КОКСА

В случае анализа преобразований, осуществленного Боксом и Коксом [17], мы встречаемся с зависимостями, нелинейными относительно одного или нескольких параметров; например, в числе рассмотренных преобразований Бокс и Кокс анализируют следующее преобразование для зависимой переменной в регрессионной модели, где

где являются неизвестными параметрами, наблюдениями за независимыми переменными, а — возмущениями. Они делают допущение, что для некоторого, неизвестного значения преобразованные наблюдения , удовлетворяют стандартным допущениям нормальной

множественной регрессионной модели; иначе говоря, они нормально и независимо распределены с общей (постоянной) дисперсией, равной Таким образом, делается допущение, что для некоторого значения X существует преобразование зависимой переменной, которое (а) обеспечивает нормальность, (б) стабилизирует дисперсию обеспечивает простоту структуры в том смысле, что является простой функцией от Надо отметить, что данное степенное Преобразование (6.1) имеет следующие свойства. При и модель (6.1) является линейной относительно . При

При других значениях X в качестве зависимой переменной выступают степени и зависимой переменной модели является . Поскольку X представляет собой неизвестный параметр, он подлежит оцениванию наряду с другими параметрами, . Поэтому для определения подходящего преобразования используется информация, содержащаяся в выборочных данных. Ниже мы покажем, как проблема оценивания может быть решена при помощи МНП и с применением байесовского подхода.

Для удобства, следуя Боксу и Коксу, мы перепишем (6.1) в следующем виде:

где есть -мерный вектор-столбец, типовой компонентой которого является есть матрица размерности и ранга k заданных наблюдений за k независимыми переменными, а и есть -мерный вектор-столбец возмущений, относительно которых делается допущение, что они нормально и независимо распределены, каждая с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной . Для того чтобы записать совместную ФПВ для , при данных параметрах , а, X нам требуется якобиан преобразования величин в величин . Поскольку мы имеем

где есть средняя геометрическая ввиду допущения, что . Теперь в качестве совместной ФПВ для компонент у мы имеем

причем выражение (6.4), если его рассматривать как функцию от параметров, есть функция правдоподобия, Пусть тогда мы имеем

Дифференцируя по и приравнивая частные производные нулю, мы получаем

и

Если была бы известной, мы могли бы вычислить значения (6.6) и (6.7), которые и являлись бы оценками МНП. Однако ввиду того, что согласно допущению неизвестна, мы представляем (6.6) и (6.7) в (6.5), для того чтобы получить максимум логарифма функции правдоподобия, обозначаемый через и задаваемый следующим выражением:

Теперь мы вычисляем (и строим график) для различных значений до тех пор, пока не находим значение, скажем , при котором (6.8) достигает максимального значения. Это и будет оценкой МНП для . Тогда (6.6) и (6.7), вычисленные при являются оценками МНП для и соответственно. Далее Бокс и Кокс замечают, что аппроксимация доверительного интервала в условиях больших выборок может быть построена путем использования результата, что в условиях больших выборок величина распределена приближенно, как с одной степенью свободы. Этот результат следует из более общих результатов, касающихся распределения логарифма отношения правдоподобия в условиях больших выборок.

Кроме приложений, указанных в работе Бокса и Кокса [17], изложенный выше подход с помощью МНП был использован в приложении

к анализу функции спроса на деньги [14.4]. Результаты анализа показывают, что функция спроса на деньги может быть записана в виде

где индекс а обозначает, что значение переменной относится к году а, причем есть денежная наличность, текущие и срочные депозиты, дефлятированные индексом цен; измеренный доход, дефлятированный индексом цен; норма процента по коммерческим бумагам; — возмущение.

Данные представляют собой годичные наблюдения по экономике США, 1869-1963 гг.

В (6.9) степенное преобразование применено не только к зависимой переменной но также и к переменным которые являются заданными независимыми переменными. Если то зависимость (6.9) линейна в переменных. Если она линейна в логарифмах переменных. Как и выше, задача заключается в том, чтобы с помощью выборочных данных оценить X наряду с общей дисперсией Предполагается, что нормально и независимо распределены, каждая с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . В целях удобства нотации мы переобозначим наши переменные следующим образом:

Далее обозначают -мерные вектор-столбцы, типовые компоненты которых представлены в (6.10), а есть матрица размерности , где i является -мерным вектор-столбцом, все компоненты которого равны единице. После того как введена эта нотация, функция правдоподобия может быть выражена в следующем виде:

где

Как и выше, мы максимизируем по , двушаговой процедурой. Сначала при заданном максимизирующие значения и выражаются следующим образом:

Подставляя эти значения в L, мы получаем

т. е. максимум логарифма функции правдоподобия за исключением константы. Были построены графики изменения Lmax в зависимости от . Анализ базировался на данных по всему периоду 1869-1963 гг. и по периоду 1915-1963 гг. с использованием двух определений денег, а именно денежной наличности, текущих и срочных депозитов, дефлятированных индексом цен , и денежной наличности и текущих депозитов, дефлятированных индексом цен Результаты представлены на рис. 6.1. При использовании данных за период 1869-1963 гг. точечная оценка Я составила Приближенный 95%-ный доверительный интервал для Я был получен из неравенства и составил 0,19 ± 0,10.

Этот и другие результаты, представленные на рис. 6.1, показывают, что логарифмический вариант функции спроса на деньги, сформулированный в терминах указанных выше переменных, по-видимому, находится в приближенном согласии с выборочными данными. Если подставить в (6.12), то получаются:

в качестве оценок МНП для числа в скобках являются средними квадратичными отклонениями большой выборки. Аналогично оценка МНП для может быть получена путем подстановки в (6.13). Анализ в рамках вышеизложенной схемы, при котором в функции спроса на деньги используется переменная «ожидаемый доход» и учитывается процесс регулирования денежного обращения, излагается в работе Зарембки [144]. Кроме того, можно рассмотреть проблему автокорреляции, если сделать допущение, что генерируется авторегрессионным процессом первого порядка, , где по допущению нормально и независимо распределены, каждое с нулевым математическим ожиданием и общей дисперсией, равной

. В этом случае объединение принятых выше допущений с (6.9) дает

При заданных значениях К нелинейные методы наименьших квадратов могут быть привлечены для получения условных оценок которые, в свою очередь, могут быть использованы наряду с ассоциируемьми с ними значениями А, для вычисления значений логарифма функции правдоподобия в целях нахождения его максимума путем перебора, как это было описано выше.

Рис. 6.1. Значения логарифма функции правдоподобия при заданном X

Рассмотрев анализ модели (6.1) с помощью МПН, который, как уже указывалось, может рассматриваться как приближенный байесовский анализ в условиях большой выборки, мы теперь перейдем к байесовскому анализу модели, осуществленному Боксом и Коксом. Эти авторы следующим образом строят расплывчатую априорную ФПВ для параметров модели, т. е. k компонент вектора . Пусть

есть совместная априорная ФПВ, где является условной априорной ФПВ для и а при заданном , а маргинальной априорной ФПВ для . Авторы полагают равномерной, т. е. указывают, что допущение независимости этой ФПВ от «может привести к получению бессмысленных результатов». Это имеет место потому, что как общее число, так и область существования преобразованных наблюдений могут сильно зависеть от Я. Учитывая это, Бокс и Кокс записывают расплывчатую условную ФПВ для а как

где нижний индекс вводится для того, чтобы подчеркнуть, что соответствующая величина является условной при заданном , и где g (Я) показывает зависимость от . Используя аргументацию приближенной совместности, Бокс и Кокс полагают , где J есть якобиан, представленный выражением (6.3). Таким образом, окончательное выражение для расплывчатой априорной ФПВ, которое используют Бокс и Кокс, имеет вид

Объединяя (6.18) с функцией правдоподобия (6.4), мы получаем следующую апостериорную ФПВ для параметров:

Заметим, что мы можем записать

где

и

Подставляя (6.20) в (6.19), мы получаем

Для получения маргинальной апостериорной ФПВ для (6.23) надо проинтегрировать по а. Получаем

Интегрирование по дает

т. е. маргинальную апостериорную ФПВ для . Эту можно проанализировать численными методами. Заметим также, что

и сопоставление с (6.8) показывает, что мода этой ФПВ тождественна оценке МНП.

Чтобы получить маргинальную ФПВ для отдельной компоненты вектора , скажем можно интегрировать (6.24) по с использованием свойств многомерной -ФПВ Стьюдента. В результате получается двумерная ФПВ для А. и которая может быть проанализирована численными методами. Наконец, из (6.24) следует, что условная ФПВ для при заданном А. является многомерной -ФПВ Стьюдента. Этот факт можно использовать для исследования вопроса, насколько выводы относительно чувствительны к допущениям о .