2.12. ПРИЛОЖЕНИЕ ВЫШЕИЗЛОЖЕННЫХ ПРИНЦИПОВ К АНАЛИЗУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРЕТО

Пусть нам даны независимых наблюдений каждое из которых имеет ФПВ Парето, а именно

Такую ФПВ часто принимают для представления распределения доходов, превышающих некоторую заданную величину А. Если А известно, то единственным неизвестным параметром в (2.41) является а. Попытаемся получить апостериорную ФПВ для а. Из (2.41) следует, что функция правдоподобия имеет вид

или

где есть средняя геометрическая наблюдений.

Относительно априорной ФПВ для а мы будем считать, что наша информация о значении этого параметра является расплывчатой, и представим это состояние нашей априорной информации через допущение

равномерного распределения для , т. е.

Объединяя эту априорную ФПВ с функцией правдоподобия (2.42), получаем апостериорную ФПВ для а:

где . Из (2.44) очевидно, что апостериорная ФПВ (2.44) относится к виду гамма-ФПВ. Таким образом, нормированная ФПВ будет иметь вид

и будет собственной при Эта апостериорная ФПВ для а представляет наши знания об а, базирующиеся на информации нашей выборки у и априорной ФПВ (2.43). При желании мы легко можем вычислить апостериорную вероятность того, что , где заданные числа. Кроме того, поскольку апостериорные моменты а заданы через имеем

что совпадает с оптимальной точечной оценкой в смысле минимума апостериорных ожидаемых потерь при квадратичной функции потерь.

Если мы получим новую выборку из q независимых наблюдений, каждое из которых имеет ФПВ, относящуюся к виду Парето (2.41), то мы можем использовать апостериорную ФПВ (2.45) в качестве априорной ФПВ для анализа новой выборки; иными словами, функция правдоподобия для новой выборки, обозначаемая через у, будет иметь вид

где G есть средняя геометрическая q новых наблюдений. Объединяя (2.44) и (2.47), получаем апостериорную ФПВ, базирующуюся на обоих выборках:

где есть средняя геометрическая наблюдений обоих выборок, а Очевидно, что выражение (2.48) относится к тому же самому гамма-виду, как и (2.44), а поэтому трудностей с точки зрения анализа не представляет.

Часто при анализе распределения Парето исследователь располагает не отдельными наблюдениями а наблюдениями в виде частот где есть число лиц, значения у, например доходы, которых попадают в некоторый конкретный интервал, скажем, от до причем . Из ФПВ Парето (2.41) можно определить вероятность того, что выбранное наугад лицо будет иметь такое значение у, что а именно

для . Для интервала вероятность . Тогда при условии, что задано N случайно выбранных лиц, вероятность того, что лиц будут иметь значения у, попадающие в интервалы от до при лиц — в интервал от до составляет

где Полученное выражение есть ФПВ для случайных которая, если ее рассматривать как функцию от неизвестного параметра а, есть функция правдоподобия. Более компактно ее можно записать в виде

где причем

Если дана априорная ФПВ для а, скажем , то можно, объединив ее с (2.49), получить следующую апостериорную ФПВ:

Если априорная информация скудна, априорную ФПВ можно выбрать в виде (2.43). Если же исследователь располагает более богатой априорной информацией о значении а, то для можно выбрать вид, представляющий эту информацию.

Рис. 2.2. Апостериорное распределение параметров распределения Парето, полученное из группированных данных

В любом случае апостериорная ФПВ (2.50) может быть нормирована и проанализирована с использованием методов численного интегрирования, например при заданной функции потерь значение минимизирующее апостериорное ожидание функции потерь, может быть получено численно, путем вычисления при различных значениях а. Кроме того, методами численного интегрирования могут быть получены апостериорные интервалы.

Чтобы проиллюстрировать приложение этих результатов к группированным данным, мы воспользуемся следующей статистикой по США за 1961 г. которая получена путем обследования домашних хозяйств с доходом дол. и выше.

Что касается априорных допущений о параметре а в (2.50), то предположим, что наши знания о нем скудны, и представим их равномерным распределением или Подставив эту априорную ФПВ в (2.50) и пользуясь указанными выше данными, с

Таблица 2.1. Частотное распределение домашних хозяйств с доходом 10 000 дол. и выше, США, 1961 г.

помощью методов численного интегрирования получим следующую нормированную апостериорную ФПВ для а:

где k есть нормирующая постоянная и , причем . На рис. 2.2 представлен график этой апостериорной ФПВ. Апостериорные математические ожидание и дисперсия, вычисленные с помощью численного интегрирования, составляют соответственно .

Разумеется, для случая квадратичной функции потерь оптимальной точечной оценкой будет апостериорное математическое ожидание. Если исследователю представляются более пригодными функции потерь, иные, чем квадратичная, то он легко может вычислить оценки, минимизирующие ожидаемые потери для любой конкретной функции потерь, если только функция потерь имеет математическое ожидание и минимум. Кроме того, следует заметить, что при достаточно больших объемах выборки кривая апостериорной ФПВ напоминает по форме кривую нормальной ФПВ.