11.2. ОДНОПЕРИОДНАЯ ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ МНОЖЕСТВЕННЫХ РЕГРЕССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

Допустим, что вектор наблюдений генерируется многомерным регрессионным процессом

где является матрицей размерности и ранга наблюдений прошлых значений управляющих переменных; — -мерным вектор-столбцом неизвестных параметров регрессии; — -мерным вектор-столбцом нормальных и независимых возмущений, каждый из которых имеет нулевое математическое ожидание и неизвестную дисперсию, равную . В качестве априорной ФПВ для неизвестных параметров мы будем использовать расплывчатую ФПВ, введенную в 3-й главе:

Пусть z представляет собой будущее значение зависимой переменной скажем, причем предполагается, что первое будущее значение удовлетворяет условию

где есть нормальное возмущение, распределенное независимо от вектора и с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной является -мерным вектор-строкой значений управлений в период времени, т. е.

Теперь предположим, что нам желательно выбрать вектор управления w так, чтобы было как можно ближе к целевому значению, обозначенному через а, и пусть функция потерь имеет вид

иначе говоря, принимается та же самая функция потерь, что и в параграфе 11.1.

Из результатов 3-й главы известно, что прогнозная ФПВ для при сделанных выше допущениях имеет вид

где . Математическое ожидание и дисперсия

z определяются следующим образом:

и

где

Рассмотрим теперь математическое ожидание функции потерь (11.29) и определим вектор управлений w, минимизирующий ожидаемые потери. Имеем

Дифференцируя по элементам w, получим Значение w, равное, скажем, w и обращающее в нуль эту производную, удовлетворяет уравнению

Таким образом,

является значением w, минимизирующим ожидаемые потери. Умножая обе части (11.35) на Р и производя очевидные преобразования, получаем

Вектор в (11.36) может быть интерпретирован как оценка , вытекающая из условий задачи.

Подставляя (11.35) в (11.33), получаем

выражение для ожидаемых потерь при векторе управлений w, равном Первый член в выражении для ожидаемых потерь не обращается в нуль с возрастанием выборки, в то время как второй член, равный , стремится при этом к нулю. Из (11.36) можно также увидеть, что вектор , оптимальная оценка, вытекающая из условий задачи, стремится к с возрастанием выборки.

Поскольку во многих задачах не все независимые переменные являются управлениями, мы расширим границы применимости рассмотренного анализа на случай, когда X представляется в виде , где обозначает наблюдение управляющей переменной; наблюдения прочих независимых переменных. Регрессионная модель для выборочных наблюдений будет иметь в этом случае вид

а для случая будущего наблюдения

где и все другие переменные определены выше, причем является заданным вектором. Предположим, что справедливы те же стохастические и априорные допущения, что и сделанные в связи с (11.26) и (11.27).

Пусть теперь функция потерь имеет вид

где есть установленные значения управлений (переменных ) в период времени Т, а G является положительно-определенной симметрической матрицей. Функция потерь в (11.40) включает потери, связанные с отклонением от целевого значения а и издержки изменения установки управлений. Если (11.30) является прогнозной ФПВ для z, мы получаем следующее выражение для ожидаемых потерь:

где представлен в блочном виде в соответствии с блочным представлением то же самое относится к

Дифференцируя М (L) по элементам и определяя значение минимизирующее ожидаемые потери, находим, что

где Первый член в правой части третьей строки (11.42) имеет вид подобный встречавшемуся ранее в (11.35), за исключением того, что вместо стоит вместо а стоит а и вместо используется Другие члены в третьей строке (11.42) отражают взаимозависимость при определении дисперсии z и издержек изменения управлений. Если ортогонально так что и, более того, если , то (11.42) приводится к виду

аналогичному по форме выражению (11.35).