8.2. ПРОГНОЗНАЯ ФПВ ДЛЯ ТРАДИЦИОННОЙ МНОГОМЕРНОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ
Допустим, как и в 8.1, что мы имеем выборочные наблюдения, генерируемые многомерной нормальной регрессионной моделью
и хотели бы получить прогнозную ФПВ для будущих наблюдений зависимых переменных, скажем W, где W — матрица размерности 
. Допустим далее, что W генерируется той же самой моделью, которая генерирует Y, или
где Z является матрицей размерности 
заданных значений независимых переменных в следующие 
периодов времени, а V размерности 
является матрицей будущих нормальных возмущений, строки которой распределены каждая с нулевыми математическими ожиданиями и ковариационной матрицей 
, совпадающей с ковариационной матрицей для строк матрицы U. Тогда прогнозная ФПВ для матрицы W есть
где
является совместной ФПВ матрицы W при заданных 
и где 
является совместной апостериорной ФПВ матриц
, которые определяются, как показано в (8.13). Подставляя выражение для 
и (8.48) в (8.47), получим подынтегральное выражение в виде
где
После приведения к виду (8.49) свойства ФПВ Уишарта могут быть использованы для интегрирования по различным элементам 
, что приводит к следующему результату:
Для интегрирования по элементам матрицы В выделим полный квадрат относительно В, что дает
где 
ФПВ в (8.51) имеет вид, с которым мы уже встречались (см. сноску в связи с (8.42)). Таким образом, проинтегрировав по В, мы получим прогнозирующую ФПВ для W:
Для упрощения этого выражения выделим полный квадрат относительно W следующим образом:
где 
. Далее мы имеем
что может быть доказано простым перемножением 
Справедливо также равенство
Окончательно имеем
где (8.54) было использовано в первой строке (8.55). Подставляя результаты из (8.54) и (8.55) в (8.53), получим
причем 
Замечая, что
мы можем выписать прогнозную ФПВ (8.52) в следующем виде:
Таким образом, мы показали, что W — матрица будущих наблюдений — имеет обобщенную многомерную 
-ФПВ Стьюдента. Как видно из (8.24), апостериорная ФПВ матрицы В имеет такой же вид. Таким образом, относительно вида ФПВ результаты, установленные для (8.24), справедливы также и для (8.57). В частности, маргинальная прогнозная ФПВ любой вектор-строки (или столбца) матрицы W будет иметь вид многомерной 
-ФПВ Стьюдента. Далее, если мы представим матрицу W в блочном виде, т. е. положим, что 
то маргинальная прогнозная ФПВ матрицы 
будет иметь вид обобщенной многомерной 
-ФПВ Стьюдента. Окончательно, отметил Гейсер, мы, как и в (8.44), приходим к тому, что величина
распределена как 
. В частном случае простой регрессии при 
является скалярной величиной и
квадратичной формой, распределенной как 
. При 
, т. е. в случае, когда W является 
-мерной вектор-строкой,
-ФПВ Стьюдента и величина
где 
является первой строкой 
первой строкой 