10.3. СРАВНЕНИЕ И ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ С НЕРАСПЛЫВЧАТОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

В случаях, когда априорная информация не является расплывчатой, очень важно принимать это во внимание при сравнении и проверке гипотез. Если мы рассмотрим простую гипотезу , где теоретическое значение параметра, мы можем показать, что более вероятное значение для , чем любое другое возможное значение . В

этих условиях важно разработать процедуру проверки, позволяющую включать нерасплывчатую априорную информацию.

Для иллюстрации введения нерасплывчатой априорной информации в процесс сравнения и проверки гипотез предположим, что мы имеем наблюдений полученных независимой выборкой из нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным вектором математических ожиданий и известной дисперсией, равной . Допустим, что нулевая гипотеза — Но и что мы имеем некоторые основания полагать с с вероятностью вероятностью

Рис. 10.1. Априорная ФПВ для параметра

Кроме того, допустим, что априорная вероятность что , равномерно распределена вдоль интервала . Наши априорные представления относительно изображены на рис. 10.1.

В условиях этих допущений априорные шансы, соотносящие гипотезы , равны При гипотезе ФПВ для у при заданном имеет вид

где . В случае гипотезы мы имеем

Как уже было объяснено в параграфе 10.1, апостериорные шансы, соотносящие гипотезы , задаются выражением (10.19). Для рассматриваемого случая оно имеет вид

Величина может быть легко вычислена, если заданы значения величин .

При рассмотрении выражения (10.23) нужно отметить несколько моментов. Во-первых, оно дает нам базу сравнения гипотез , которая включает нерасплывчатую априорную и выборочную информацию. Во-вторых, как объяснено в параграфе 10.1, мы можем сделать выбор между гипотезами минимизируя ожидаемые потери в случае, если нам известны потери, связанные с возможными действиями и состояниями объекта. В-третьих, как было показано Линдли, результат применения в (10.23) при сравнении гипотез может отличаться от результата, полученного при подходе с позиций теории выборочных исследований. Рассмотрим эту ситуацию.

Пусть у лежит в интервале так, что

При аппроксимации не учитывается площадь под нормальной ФПВ справа от и слева от которая будет достаточно малой, если у принадлежит интервалу Подставляя (10.24) в (10.23), получим

где . Далее, если , то гипотеза при уровне значимости должна быть отклонена, согласно теории выборочных исследований. Подставляя в (10.25), мы видим, что результирующее выражение для апостериорные шансы, зависят

от величин При определенных значениях этих величин шансы в пользу могут быть велики, даже если Для иллюстрации сделаем допущение, что . Тогда и мы можем табулировать значения и апостериорную вероятность того, что задаваемую отношением . Для больших апостериорная вероятность того, что близка к единице, даже если значению, которое должно вести к отклонению гипотезы при уровне значимости Этот парадокс Линдли четко иллюстрирует тот факт, что проверка значимости в теории выборочных исследований может дать результаты, существенно отличающиеся от результатов, полученных из расчета апостериорных вероятностей с помощью нерасплывчатой априорной и выборочной информации. Из табл. 10.2 видно, что расхождение результатов быстро увеличивается с возрастанием Можно сказать, что такой показатель, как единица минус уровень значимости, при проверке гипотез с применением подхода теории выборочных исследований в общем не эквивалентен показателю степени уверенности в гипотезе, представленной апостериорной вероятностью.

Таблица 10.2

Рассмотрим теперь проблему Линдли, используя более общую априорную ФПВ и следуя методу, разработанному Джеффрисом [67, с. 246 и дальше]. Допустим, что априорные вероятности гипотез равны соответственно. Пусть при допущении, что является истинной гипотезой, есть непрерывная собственная априорная ФПВ для . Иными словами, в условии гипотезы . Пусть обозначает априорную вероятность того, что является истинной, и априорную вероятность того, что является истинной, где w — дискретная случайная переменная, введенная в (10.2). На основе (10.16) получим

Тогда апостериорную вероятность того, что является истинной, т. е. исходя из (10.17) можно представить так:

Заметим, что при данном равна 1 для и равна нулю для . Апостериорная вероятность того, что является истинной, т. е. что w = 1, задается в виде

Тогда апостериорные шансы выражаются следующим образом:

При введенных выше допущениях, что компоненты являются независимыми и получены выборкой из нормально распределенной генеральной совокупности со средним квадратичным отклонением, равным , где известная величина, (10.29) принимает вид

Если заданы и может быть легко вычислена.

Пусть в , т. е. вероятность того, что есть истинная гипотеза, равна 1/2. Тогда и (10.30) можно записать как

Следуя Джеффрису, рассмотрим два предельных случая. Во-первых, предположим, что имеется конечный интервал, скажем такой, что . Если у принадлежит интервалу является столь большим, что достаточно мало при , то числитель и знаменатель в (10.31) равны оба приблизительно единице. Следовательно, при этих условиях . Таким образом, не существует различия между гипотезами в случае, когда среднее квадратичное отклонение выборочной средней у существенно превышает длину интервала в пределах которого должен находиться параметр при условии гипотезы

Ну. Результат является в этом случае вполне удовлетворительным.

Рассмотрим другой предельный случай. Пусть является малой величиной, такой, что может принимать очень большие значения в интервале . Интеграл в знаменателе (10.31) приблизительно равен , где является значением априорной ФПВ для соответствующим . Тогда

Как подчеркивает Джеффрис, в случае, если величина пропорциональна растет с ростом . Это указывает на возможность истинности нулевой гипотезы . Если то экспоненциальный сомножитель в (10.32) будет мал, и, таким образом, наблюдения дают основания предполагать справедливость гипотезы , поскольку в этом случае имеет тенденцию быть малой величиной. Далее, при заданном можно найти такое значение , что Наконец, при величина растет вместе с ростом . Это утверждение разумно, так как тот факт, что меньше его среднего квадратичного отклонения , несет в себе больше информации для утверждения, что в случае больших , чем для случая малых

Поскольку нерасплывчатая априорная информация влияет на апостериорные шансы как в случае выборок большого, так и в случае малого объемов, то, очевидно, что должны быть разработаны способы представления априорной информации для ее использования при анализе модели. То обстоятельство, что эта информация оказывает влияние на апостериорные шансы даже в случае больших выборок, находится в противоречии с ситуацией в теории оценивания, где влияние недогматической априорной информации на форму апостериорной ФПВ в общем случае уменьшается с возрастанием .