ПРИЛОЖЕНИЕ Б. СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ФПВ

Б.1. МНОГОМЕРНАЯ НОРМАЛЬНАЯ (МН) ФПВ

Говорят, что элементы случайного вектора являются совместно нормально распределенными, если и только если они имеют ФПВ в следующем виде:

где является положительно-определенной симметрической матрицей (ПОСМ). Для удобства МН ФПВ часто записывается в виде

где

- положительно-определенная симметрическая матрица.

Тот факт, что ФПВ в (Б.2) является собственной нормализованной, легко может быть доказан, так как ФПВ является положительной в области ее определения. Кроме того,

где легко может быть обосновано с помощью следующей замены переменных;

где С есть невырожденная симметрическая матрица размерности такая, что Якобиан преобразования в

равен и, следовательно, (Б.2) может быть представлено в следующем виде:

ФПВ в является произведением стандартизованных собственных нормированных ОН ФПВ. Таким образом, если проинтегрировать по получается единица, что и завершает обоснование (Б.4).

Обычно ФПВ в называют стандартизованной многомерной нормальной (СМН) ФПВ. Если компоненты -мерного случайного вектор-столбца имеют СМН ФПВ, то из выражения следует, что они являются независимо распределенными, причем

т. е. каждый имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию, а все ковариации, , равны нулю.

Из и результата (Б.7) имеем

и

Результат (Б.8) можно представить в виде иначе говоря, в виде вектора математических ожиданий МН ФПВ; в то же время дает (или 2) как ее ковариационную матрицу.

Получим теперь условную ФПВ для при фиксированном где имеет МН ФПВ, приведенную в (Б.2). Представляя в блочном виде в соответствии с представлением получаем

Выразим теперь квадратичную форму в экспоненте (Б.2) в следующем виде:

выделяя полный квадрат относительно . Далее

Подставляя (Б.10) и (Б.11) в (Б.2), мы можем представить (Б.2) в виде произведения двух сомножителей

где есть число компонент в соответственно, . Оба множителя в (Б.12) имеют вид нормированных МН ФПВ. Первый сомножитель в правой части (Б.12) является условной ФПВ для при фиксированном так как в общем мы можем написать Это есть МН ФПВ с вектором математических ожиданий

и ковариационной матрицей

Поскольку мы можем выразить (Б.13) и (Б.14) в терминах подматриц :

и

Маргинальная ФПВ для может быть получена из (Б.12) интегрированием подкомпонентам Хх. Ввиду того что входит только в первый сомножитель в правой части (Б.12), который имеет вид нормированной МН ФПВ, интегрирование первого сомножителя по компонентам дает единицу. Следовательно, второй сомножитель в правой

части (Б.12) есть маргинальная ФПВ для Это есть МН ФПВ с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей

С помощью аналогичных рассуждений можно показать, что маргинальная ФПВ для является многомерной нормальной с вектором математического ожидания и ковариационной матрицей

Наконец, рассмотрим линейную комбинацию компонентов т. е.

где есть -мерный вектор-столбец нормальных случайных переменных с МН ФПВ, представленной в является матрицей заданных величин размерности ранг которой равен . Тогда есть -мерный вектор-столбец, компоненты которого являются линейными комбинациями компонент Если то

где L является невырожденной матрицей размерности . Тогда и можно написать, что

Замечая, что Якобиан преобразования от равен можно получить ФПВ для w в следующем виде:

т. е. в виде МН ФПВ с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей Таким образом, имеет МН ФПВ. Если мы представим w в блочном виде, как это показано в то маргинальная ФПВ для будет иметь многомерную нормальную форму с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей это пример использования общего результата, связанного с (Б. 12) - и дающего маргинальную ФПВ форме МН ФПВ.