Джон Н.Мезер

Теория Исаака Ньютона о движении планет привела к возникновению многих интересных математических задач. Возможно, самой тонкой и самой сложной из них является задача об устойчивости движения планет. Рассматриваются $n$ малых точечных масс, движущихся по почти круговым орбитам вокруг большой точечной массы. Будут ли планеты всегда оставаться на почти круговых орбитах?

Работа Колмогорова, Арнольда и Мозера (КАМ-теория) является наиболее важным продвижением в решении этой задачи с XVII столетия, когда она была сформулирована. КАМ-теория также позволяет решить множество задач об устойчивости движения в классической механике.

Статья «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь» ${ }^{2}$ является одной из фундаментальных работ КАМ-теории. Она возникла в результате усилий Мозера понять фундаментальную работу Колмогорова [9] и решить задачу Дж. Д. Биркгофа. Мозер рассказывает в [14], что в то время, когда он писал эту работу, ему еще не удалось достигнуть первой цели, хотя он и преуспел со второй. Тем не менее, влияние работы [9] на эту статью очевидно.

В дополнение к решению задачи Биркгофа Мозер обобщил результат Колмогорова из случая аналитических на случай дифференцируемых функций, хотя (а может потому что) не понял доказательства для случая аналитической ситуации.

Задача об устойчивости движения в классической механике связана с малыми возмущениями гамильтониана интегрируемой системы. В интегрируемой системе общее решение является квазипериодическим. В своей знаменитой работе Пуанкаре показал, что это не выполняется для случая малых возмущений интегрируемой системы, решив

тем самым задачу, поставленную Вейерштрассом. Тем не менее, Вейерштрасс отметил, что доказательство Пуанкаре не исключает возможности существования по-прежнему большого количества квазипериодических решений, даже если общее решение и не является квазипериодическим. (См. [15], стр. 8-9 для более полного обсуждения.) Колмогоров показал, что действительно существует большое количество квазипериодических решений для случая аналитических малых возмущений. Он опубликовал свой результат в работе [9].

Результат Колмогорова относится к гамильтониану вида
\[
H(I, \theta, \varepsilon)=H_{0}(I)+\varepsilon P(I, \theta, \varepsilon),
\]

записанного в переменных действие-угол $I=\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right)$ и $\theta=$ $=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{n}\right)$. Здесь переменные действие описывают точку в открытом шаре $B^{n}$ пространства $\mathbb{R}^{n}$. Угловые координаты $\theta$ описывают точку $n$-тора $\mathbb{T}^{n}=\mathbb{R}^{n} / \mathbb{Z}^{n}$. Число $\varepsilon$ является малым параметром. Гамильтониан $H_{0}$ представляет собой невозмущенную систему, а $P$ – возмущающее слагаемое.

В классической механике уравнения движения консервативной механической системы имеют гамильтонову форму, а именно
\[
\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial I}, \quad \dot{I}=-\frac{\partial H}{\partial \theta} .
\]

Более того, для данной интегрируемой системы можно найти канонические переменные действие-угол такие, что интегрируемая система будет иметь вид (2) при $H=H_{0}$. Поскольку координаты являются каноническими, и мы предполагаем, что система консервативна, возмущенная система будет по-прежнему иметь вид (2) с возмущенным гамильтонианом вида (1).

Для невозмущенного гамильтониана $H_{0}$ второе уравнение в (2) сводится к $\dot{I}=0$. Следовательно, каждый тор $I^{0} \times \mathbb{T}^{n}$ является инвариантным, $I^{0}$ обозначает фиксированную точку $I$. На этом торе уравнения движения принимают вид $\dot{\theta}=\omega^{0}:=\frac{\partial H}{\partial I\left(I^{0}\right)}$. Каждая траектория имеет вид $t \mapsto \theta^{0}+t \omega^{0}$, такой поток на торе называется потоком Кронекера с вектором вращения $\omega^{0}$. Утверждение Колмогорова состоит в том, что при некоторых условиях на $H$ сохраняются инвариантные торы с определенными векторами вращения. Соответствующие вектора вращения

удовлетворяют диофантову условию, а именно существуют $C>0$ и $
u>0$ такие, что
\[
\left|\sum m_{i} \omega_{i}^{0}\right| \geqslant \frac{C}{\sum\left|m_{i}\right|^{
u}} \quad \text { для всех } m \in \mathbb{Z}^{n} \backslash 0 .
\]

Колмогоров предполагал, что $H_{0}$ и $P$ аналитические и гессиан нигде не обращается в ноль: $\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{I^{2}}\right)
ot \equiv 0$. При этих условия он доказал, что сохраняется любой инвариантный тор с вектором вращения, удовлетворяющим диофантову условию. Это означает, что для малых $\varepsilon$ гамильтонова система $H_{0}+\varepsilon P$ имеет инвариантный тор, и ограничение на тор потока, порождаемого $H_{0}+\varepsilon P$, аналитически сопряжено с потоком Кронекера, определенным вектором вращения $\omega^{0}$. Кроме того, тор является аналитическим и аналитически зависит от $\varepsilon$ и то же самое выполняется для сопряженного с потоком Кронекера ограничения потока.

Траектория, которая лежит на инвариантном торе является квазипериодической (и наоборот). Существует большое количество инвариантных торов с векторами вращения, удовлетворяющими диофантову условию. На самом деле, если диофантов показатель $
u$ больше, чем $n$, тогда почти каждый вектор $\omega^{0} \in \mathbb{R}^{n}$ удовлетворяет условию (3) при некотором диофантовом коэффициенте $C>0$, а, следовательно, $\omega^{0}=\frac{\partial H_{0}}{\partial I\left(I^{0}\right)}$ удовлетворяет диофантову условию с показателем $
u$ для почти всех $I^{0} \in B^{n}$, ввиду колмогоровского условия невырожденности $\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{I^{2}}\right)
ot \equiv 0$. Таким образом, из теоремы Колмогорова следует, что для возмущенной системы существует большое количество инвариантных торов, что подтверждает замечание Вейерштрасса о доказательстве Пуанкаре.

Колмогоров рассказал об этом результате в своем докладе [10] на международном математическом конгрессе в Амстердаме в 1954 году. Однако он никогда не публиковал полного доказательства. Мозера попросили сделать обзор [10] для Mathematical Reviews. Он рассказывает [14], что его разочаровало то, что ни одна из работ Колмогорова ( $[9],[10])$ не содержала доказательства его результата, представленного в работе $[9]$. Он написал Колмогорову и попросил его прислать доказательство, но не получил ответа, и поэтому отметил в своем обзоре, что существует лишь набросок доказательства. Результат Колмогоро-

ва произвел на Мозера очень сильное впечатление, поскольку он имеет отношение к задаче устойчивости э.липтических неподвижных точек отображений, сохраняющих площадь, которую поставил перед Мозером к.Л.Зигель.

Далее Мозер говорит, что поскольку у него не было доказательства Колмогорова, он решил попытаться доказать теорему об инвариантных кривых для закручивающих отображений, сохраняющих площадь. В 1961 году ему это удалось, но в случае гладких, а не аналитических функций. Мозер говорит, что русские ученые, наоборот, считали, что он обобщил теорему Колмогорова со случая аналитических на случай гладких функций, и это было основным достоинством его работы. Колмогоров и Арнольд тепло приветствовали достижение Мозера, как рассказывают об этом Мозер и Арнольд в работах [14] и [2]. По словам Арнольда, похоже, что обобщение Мозером результата Колмогорова на случай гладких функций было совершенно неожиданным. Действительно, в своем докладе на международном математическом конгрессе в 1954 году Колмогоров сказал, что его теорема для дифференцируемых функций, похоже, является несправедливой.

В статье «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь» в основном обсуждаются отображения, а не дифференциальные уравнения. Как правило, в КАМ-теории доказательства результатов о дифференциальных уравнениях легко обобщаются на отображения и наоборот. Для случая отображений «гамильтоново» в точности означает симплектическое. В двумерном случае последнее эквивалентно тому, что отображение является сохраняющим площадь.

Мозер рассматривал возмущения отображения $(r, \theta) \mapsto(r, \theta+f(r))$, $a \leqslant r \leqslant b$, где $\theta$ является «угловой» координатой, т.е. $\theta$ определена по модулю $2 \pi(\bmod 2 \pi)$. Это отображение сохраняет окружности $\{r=$ $=$ const $\}$ и представляет собой вращение такой окружности. Оно соответствует понятию «интегрируемого» отображения в случае отображений поверхности, сохраняющих площадь. Мозер предполагает, что отображение является «закручивающим отображением». Это означает, что $f^{\prime}$ нигде не обращается в ноль. Это условие «закручивания» соответствует колмогоровскому условию невырожденности, т.е. тому, что $\operatorname{det} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}$ нигде не обращается в ноль.

Вместо предположения о том, что возмущенное отображение удовлетворяет в точности условию сохранения площади, Мозер предполага-

ет лишь то, что оно удовлетворяет более слабому свойству пересечения кривых. Это значит, что если $\Gamma=\{\theta, u(\theta)\}$, где $u-C^{1}$-функция, тогда $\Gamma$ пересекает ее образ. Он показывает, что $C^{p}$-малое возмущение отображения $(r, \theta) \mapsto(r, \theta+f(r))$, которое удовлетворяет свойству пересечения кривых, имеет инвариантные кривые, если $p \geqslant p_{0}$. В этой статье $p_{0}=333$, но позднее Мозер улучшил свой результат до $p_{0}=3+\varepsilon$, a M.P.Эрман (M. R. Herman) улучшил его до $p_{0}=3$. Так же как в теореме Колмогорова «сохраняются» те кривые, у которых числа вращения удовлетворяют диофантову условию. Однако в случае отображений используется «неоднородное» диофантово условие вместо «однородного» для случая дифференциальных уравнений. В этой статье диофантово условие имеет вид
\[
|n \omega-m 2 \pi| \geqslant \varepsilon n^{-3 / 2},
\]

для всех целых $n, m$ при $n>0$ ( $2 \pi$ соответствует тому, что переменная $\theta$ определена по $\bmod 2 \pi$ и не имеет другого смысла). Здесь показатель $
u$ из условия (3) заменен на $3 / 2$. Хотя Мозер во введении формулирует свое диофантово условие именно таким образом, он приводит доказательство для любого $
u$, для чего требуется бо́льшая степень дифференцируемости возмущающей функции.

Мозер упоминает в своем введении, что он получил свое доказательство при «попытке проверить теорему Колмогорова, для которой пока не существует доказательства». По крайней мере это доказательство было недоступно для Мозера. Синай рассказал мне, что Колмогоров представил свое доказательство на семинаре в Москве в 50-х годах. Я считаю, что доказательство Колмогорова не было доступным ни для кого на Западе. Холодная война сильно затрудняла научное общение между советскими и западными учеными.

Колмогоров полностью объясняет формальные аспекты своего доказательства в своей работе [9], но в ней опущено доказательство сходимости. Его метод для доказательства сохранения тора $\left\{I=I^{0}\right\}$ заключается в поиске канонического преобразования, которое переводит возмущенный гамильтониан $H=H_{0}+\varepsilon P$ в гамильтониан $H^{*}$, для которого 1-струя в пространстве $(I, \theta, \varepsilon)$ вдоль $\left\{I=I^{0}\right\}$ согласована с $H_{0}+M(\varepsilon)$ для подходящей функции $M(\varepsilon)$ переменной $\varepsilon$. Он предлагает строить такое преобразование
\[
(J, \varphi)=K_{\varepsilon}(I, \theta)
\]

как предел преобразований
\[
\left(J^{(k)}, \varphi^{(k)}\right)=K_{\varepsilon}^{(k)}(I, \theta),
\]

где преобразования
\[
\left(J^{(k+1)}, \varphi^{(k+1)}\right)=L_{\varepsilon}^{(k+1)}\left(J^{(k)}, \varepsilon^{(k)}\right)
\]

получены с помощью «обобщенного метода Ньютона». Он явно строит преобразование
\[
\left(J^{(1)}, \varphi^{(1)}\right)=L_{\varepsilon}^{(1)}(I, \varphi),
\]

находя каноническое преобразование, которое переводит возмущенный гамильтониан $H=H_{0}+\varepsilon P$ в гамильтониан $H^{(1)}$, для которого 1-струя в пространстве $(I, \theta, \varepsilon)$ вдоль $\left\{I=I^{0}, \varepsilon=0\right\}$ согласована с $H_{0}+\zeta \varepsilon$ для подходящей константы $\zeta$. Он ищет такое преобразование, которое является аффинным по переменным $I$. Он показывает, что нахождение $L_{\varepsilon}^{(1)}$ равносильно решению системы линейных уравнений и что эти уравнения имеют единственное решение при условии, что $\omega_{0}:=\frac{\partial H_{0}}{\partial I\left(I^{0}\right)}$ удовлетворяет условию (3). Он таюже отметает, тто все $L_{\varepsilon}^{(k+1)}$ могут быть построены из $L_{\varepsilon}^{(k)}$ так же, как $L_{\varepsilon}^{(1)}$ была построена из $L_{\varepsilon}$. Все это изложено с достаточной строгостью. Относительно доказательства сходимости он говорит только, что «лишь использование условий (3) для доказательства сходимости $\ldots K_{\varepsilon}^{(k)}$ к пределу $\ldots K_{\varepsilon}$ является немного более тонким».

На мой взгляд, именно об этом Мозер говорит в своем обзоре. Замечания Мозера интерпретировались различными способами. Как отмечено в [18], некоторые математики считали, что смысл этого замечания заключается в том, что Мозер наше. ошибку в доказательстве Колмогорова. Однако, как мне кажется, все, что Колмогоров написал в своей вступительной статье, является абсолютно правильным и единственная причина, по которой доказательство не является полным, это отсутствие доказательства сходимости последовательости $K_{\varepsilon}^{(k)}$ к пределу. С другой стороны, колмогоровское доказательство сходимости не было опубликовано до того, как Арнольд [4] использовал некоторый вариант этого доказательства в своем исследовании задачи Данжуа (Denjoy). Доказательство Арнольда проясняет, какого рода оценки должен был использовать Колмогоров при получении результата. После появления

статьи Арнольда многие авторы опубликовали различные варианты колмогоровского доказательства для различных ситуаций. Джорджидди (Giorgilli) обосновано предположил, что доказательство сходимости в [8] в точности совпадает с колмогоровским.

В то время, когда Мозер писал свою статью «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь», он по-прежнему не понимал доказательства Колмогорова. Достаточно странно, что он считал своим провалом то, что смог доказать теорему об инвариантных кривых для случая гладких функций, но не доказал для случая аналитических функций, поскольку он хотел восстановить доказательство Колмогорова. Вместо этого он создал нечто новое. Обычно это не считается провалом в математике! Разумеется, точка зрения Мозера о том, что Колмогоров не доказал объявленный им результат, в то время казалась обоснованной ввиду отсутствия доказательства сходимости.

Влияние статьи Колмогорова на работу Мозера явно просматривается в итерационной процедуре Мозера. Как и Колмогоров, Мозер доказывает существование инвариантных кривых с помощью бесконечной последовательности замен координат и перехода к пределу. Значительным отличием между доказательствами Колмогорова и Мозера являетсн доказательство сходимости. (Разумеется, под «колмогоровским доказательством сходимости» мы понимаем доказательство, приведенное в статье Арнольда.)

Традиционно и колмогоровская, и мозеровская теорема рассматриваются как теоремы о неявной функции, и здесь мы последуем этой традиции. Таким образом, мы пытаемся решить относительно $u$ функциональное уравнение $F(u)=f$, где функция $f$ задана. В случае Колмогорова $f$ – аналитическая функция, и мы ищем аналитическое решение $u$. В случае Мозера $f$ – дифференцируемая, и мы ищем дифференцируемое решение $u$. (Хотя в этом случае обязательно происходит потеря производных). Также традиционными являются описания доказательств обоих авторов как «обобщенных ньютоновских итерационных» методов – после статьи Колмогорова [9]. В этом методе $u$ строится как предел $u_{i}$, где $F^{\prime}\left(u_{i}\right)\left(u_{i+1}-u_{i}\right)=f-F\left(u_{i}\right)$. Если производная $F^{\prime}$ от $F$ имеет ограниченную обратную функцию в каждой точке подходящей области банахового пространства и разность $f-F\left(u_{0}\right)$ достаточно мала, то $u_{i}$ сходится к решению уравнения $F(u)=f$ и в действительности сходимость является квадратичной, т.е.
\[
\left\|u_{i+1}-u_{i}\right\| \leqslant \text { const } \cdot\left\|u_{i}-u_{i-1}\right\|^{2} .
\]

Та сложность, которую Колмогоров и Мозер должны были преодолеть заключалась в том, что хотя $F^{\prime}$ является обратимой, обратная к ней функция неограниченна ни в какой из разумных норм. Метод Колмогорова заключался в введении бесконечной последовательности норм \|\|$_{i}$ и получении оценок вида
\[
\left\|u_{i+1}-u_{i}\right\|_{i+1} \leqslant K^{i}\left\|u_{i}-u_{i-1}\right\|_{i}^{2} .
\]

Здесь $\|u\|_{i}$ является sup-нормой периодической аналитической функции $u$ в полосе $|\operatorname{Im} u|<r\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{i}}\right)$ вдоль вещественной оси. Если $u$ не продолжается на такую полосу, то $\|u\|_{i}$ по определению равна $+\infty$.

В дифференцируемом случае такое решение проблем, связанных с неограниченностью обратной функции от производной, невозможно. Решение линеаризованной задачи $F^{\prime}(u) v=w$ связано с потерей производных: а если $w \in C^{r}$, тогда решение $v$ в общем случае принадлежит $C^{r-s}$ с некоторым фиксированным значением $s$ (которое зависит от диофантова показателя).

Вследствие этого колмогоровский метод решения линеаризованного уравнения и проведения итераций не применим в дифференцируемом случае: после конечного числа шагов производные заканчиваются.

Метод Мозера связан с выполнением сглаживания перед решением линеаризованной задачи. Это приводит к приближенной обратной функции линеаризованной задачи, которую Мозер использует вместо колмогоровской точной обратной функции. Мозер ранее применял этот метод в [13] для получения улучшенной версии теоремы Нэша (Nash) об изометрическом вложении с более простым доказательством, чем оригинальное доказательство Нэша. Теорема Нэша об изометрическом вложении находилась в центре внимания Мозера в течение многих лет, и он неоднократно обсуждал ее с Нэшем. Мозер всегда говорил, что метод, использованный в статьях [13] и «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь», во многом возник благодаря идеям Нэша. После статей Мозера этот метод стал называться методом Нэша-Мозера. При чтении статьи «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь» вы увидите, что выбор правильного оператора сглаживания является очень важным.

В теореме 3 из этой статьи рассматривается случай «малого закручивания». В сноске Мозер отмечает, что «из этой теоремы следует устойчивость эллиптических неподвижных точек общего вида для ото-

бражений, сохраняющих площадь». Результат Мозера об устойчивости опубликован в [12]. Его книга [15] содержит более подробное изложение.

Тем самым разрешена фундаментальная задача, предложенная Дж. Д. Биркгофом ([7], стр. 662-663) после глубокого изучения идей Пуанкаре. Пусть $f$ – диффеоморфизм открытой области на плоскости, сохраняющий площадь и ориентацию, с неподвижной точкой в начале координат. Начало координат называется устойчивым по Ляпунову, если для него существует произвольно малые инвариантные окрестности и называется неустойчивым по Ляпунову в противном случае.

Пусть $d f_{0}$ – производная $f$ в начале координат. Пусть $\lambda$ и $\omega-$ собственные значения $f$ в нуле. Поскольку $f$ сохраняет площадь и ориентацию, $\lambda \omega=1$. В случае $\left|\operatorname{Tr} d f_{0}\right|<2 \lambda$ и $\omega$ являются сопряженными точками на единичной окружности в комплексной плоскости и не являются вещественными. При этом начало координат называют эллиптической неподвижной точкой $f$. Это единственный случай, который интересен с точки зрения устойчивости.

В большой статье ([7], стр. 111-229) Биркгоф среди других объектов изучает нормальные формы для эллиптических неподвижных точек. Методы Биркгофа показывают, что в случае, когда $f$ нвлнетсн $C^{q+1}$-диффеоморфизмом и $\lambda$ не является корнем из единицы ни первой, ни второй, ни третьей, … ни $q$-той степени, существует аналитическая система координат $x, y$ с центром в начале координат такая, что $d y d x$ являются стандартной формой площади на $\mathbb{R}^{2}$ и
\[
f(z)=N(z)+R(z), \quad N(z)=z \exp \left(2 \pi i \psi\left(r^{2}\right)\right), \quad R(z)=O\left(r^{q+1}\right),
\]

где $z=x+i y, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ и $\psi\left(r^{2}\right)=\sum_{j=0}^{[q / 2]-1} \beta_{j} r^{2 j}$. Здесь $\beta_{0}, \ldots, \beta_{[q / 2]-1}-$ вещественные числа. Они являются симплектическими инвариантами $f$ и $\exp \left(2 \pi i \beta_{0}\right)=\lambda$. Числа $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots$ называются первым, вторым, $\ldots$ инвариантами Биркгофа.

Мозер показал, что если $q \geqslant 4$ и, по крайней мере, один из инвариантов Биркгофа не равен нулю, а $f$ достаточно большое число раз дифференцируема (несколько сот раз в исходной статье), то начало координат является устойчивым. Например, в случае $q=4$ существует лишь один инвариант Биркгофа. Для этого случая утверждение теоремы Мозера будет таким: если $\lambda$ не является третьим или четвертым корнем из единицы, первый инвариант Биркгофа не обращается в ноль

и $f$ достаточно большое число раз дифференцируема, то начало координат является устойчивым. В частности, устойчивость является следствием условия на 3 -струю функции $f$ в начале координат, и это условие выполняется для открытого плотного множества 3-струй.

Арнольд написал в [2], что Колмогоров ожидал справедливость теоремы устойчивости Мозера в аналитическом случае при предположении, что $\lambda$ не является корнем из единицы, но ни в дифференцируемом случае, ни тогда, когда $\lambda$ является корнем из единицы. (Намного позже Мозер показал в статье «Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой для закручивающих отображений» ${ }^{1}$, что достаточно предполагать, что $\lambda$ не является кубическим корнем из единицы, если при этом первый инвариант Биркгофа не обращается в ноль.) Причина, по которой Колмогоров мог ожидать наличие подобного результата, кажется очевидной. Нормальная форма Биркгофа (4) задает $f$ как малое возмущение интегрируемой системы. Нормальная форма $N(z)$ является отображением, аналогичным интегрируемому. Оно сохраняет окружности $r=r_{0}$ с центрами в начале координат и поворачивает каждую такую окружность на угол $\psi\left(r_{0}^{2}\right)$. Условие неравенства нулю одного из инвариантов Биркгофа $\beta_{j}$ совпадает с условием «закручивания» – из него следует, что угол, на который поворачивается окружность $r=r_{0}$, изменяется вместе с $r_{0}$. Это соответствует колмогоровскому условию невырожденности $\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}\right)
ot \equiv 0$.

Так же можно рассуждать, почему Колмогорову не удалось добиться успеха в этой области. Итерационный метод Колмогорова сходится, когда возмущающий член является малым в $C^{\omega}$-топологии, но, по-видимому, не сходится, когда возмущающий член мал в $C^{\infty}$-топологии. Даже когда $\lambda$ не является корнем из единицы, максимум того, что теорема Биркгофа утверждает о поведении $R(z)$, это лишь $O\left(r^{\infty}\right)$. Другие сложности при применении теоремы Колмогорова связаны с «малым закручиванием». В формулировке Колмогорова необходимо, чтобы значение $\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}\right)$ было отделено от нуля, но в случае теоремы Мозера об устойчивости, аналогичное условие не выполняется, поскольку размер закручивания становится произвольно малым при $r \rightarrow 0$. Таким образом, неизвестно, будет ли возмущающий член $R(z)$ достаточно малым для применения теоремы Колмогорова.

Мозер преодолел эти сложности в работе «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь», используя метод, который в дальнейшем стал известен, как метод Нэша-Мозера. Обычно говорится, что Мозер обобщил теорему Колмогорова из аналитического случая на дифференцируемый случай, но, я думаю, также можно сказать, что он обобщил теорему Колмогорова на случай «малого закручивания».

МакКин (MacKean) отмечает [21], что КАМ-теория опровергла традиционную точку зрения. Считалось, что «большая часть малых возмущений (интегрируемых гамильтоновых систем) должна приводить к «метрической транзитивности». Ферми даже «доказал» это в 1923 году». (Однако МакКин также указал, что еще до работы Колмогорова численные эксперименты Ферми, Паста и Улама поставили под сомнение эту точку зрения.)

Биркгоф сформулировал без доназательства различные утверждения ([7], стр. 662-663, стр. 221) о том, что ему, по-видимому, казалось верным. Эти утверждения равносильны предположению, что колмогоровская теорема о сохранении была ложной. Однако он указал ([7], стр. 662-663), что его гипотезы не были доказаны даже для дифференцируемого случая.
«Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения» $^{1}$ – знаменитая серия лекций, прочитанная Мозером во время летнего семестра в институте C.I.M.E. В первых двух главах он описывает то, что стало известным в дальнейшем как «метод Нэша-Мозера». По словам Мозера, этот метод для «построения решений нелинейных задач с помощью итерационного процесса, в котором на каждом шаге необходимо находить приближенное решение линейной задачи».

В первой главе он представляет идеи этого метода. Во второй главе он применяет его к некоторым задачам, которые несколько проще, чем теорема Нэша о вложении и теорема устойчивости в гамильтоновой механике. В третьей главе он обсуждает доказательство Колмогорова, обобщение этого доказательства Арнольдом и предлагает дальнейшее обобщение, сделанное им самим и вновь на дифференцируемый случай. Он доказывает теорему Зигеля о центре с помощью метода Колмогорова, отметив, что предположения, необходимые для применения метода

Колмогорова проще, чем предположения Зигеля. Доказательство теоремы Зигеля позволяет Мозеру продемонстрировать основные свойства доказательства Колмогорова на более простой задаче.

В первых двух главах Мозер обсуждает решение функционального уравнения $\mathscr{F}(u)=f$, когда
a) известно «приближенное решение $u=u_{0}$ такое, что $\mathscr{F}\left(u_{0}\right)$ достаточно близко к $f$ и
b) линеаризованное уравнение $\mathscr{F}^{\prime}(w) v=g$ допускает решение относительно $v$ для любого заданного $w$ в окрестности $u_{0}$ ».

В случае теоремы Зигеля о центре и задачи устойчивости в гамильтоновой механике невозможно добиться выполнения условия b), выполнена лишь разрешимость уравнения $\mathscr{F}^{\prime}\left(u_{0}\right) v=g$. Примечательно, что метод Колмогорова позволяет построить быстро сходящуюся последовательность приближений в этих условиях. Ключевым понятием в методе Колмогорова является то, что, поскольку решения линеаризованной задачи являются координатными преобразованиями, достаточно решить линеаризованное уравнение лишь для $w=u_{0}$.

Теорема Зигеля может считаться предпосылкой для теоремы Колмогорова в том смысле, что это была первая теорема, в которой была преодолена проблема «малых знаменателей». Зигель использовал метод мажорант, для которого требуется изощренные оценки. Считается, что он надеялся решить задачу устойчивости в гамильтоновой механике с помощью метода мажорант, но если это так, то ему этого не удалось. Лишь недавно Элиассон (Eliasson) смог доказать теорему Колмогорова с помощью метода мажорант.

В конце третьей главы Мозер обсуждает теорему Арнольда [4] о векторных полях на $n$-мерном торе и обобщает ее из случая аналитических на случай дифференцируемых функций. Примечательно, что его обобщение теоремы Арнольда на случай дифференцируемых функций основано не на методе Нэша-Мозера. Вместо этого он выводит версию теоремы Арнольда для дифференцируемых функций из арнольдовской (аналитической) версии, используя старые результаты Бернштейна и Джексона из теории аппроксимаций. Мозер отмечает, что этот «подход следует идеям Бернштейна, который характеризовал дифференцируемые функции их аппроксимациями с помощью аналитических функций». Он также отметил, что в этом подходе требуемое количество производных снижается от нескольких сотен до всего нескольких производных.

«Лекции о гамильтоновых системах» ${ }^{1}$ представляют собой расширенное изложение некоторых вопросов из теории гамильтоновых систем, связанных с теоремой устойчивости Мозера.

Они содержат интересное обсуждение устойчивости лагранжевых точек в ограниченной задаче трех тел на плоскости. В этой задаче рассматриваются два тела с положительными массами $m_{1}$ и $m_{2}$ и третье тело с нулевой массой. Все три тела лежат в углах равностороннего треугольника на плоскости, который вращается с постоянной скоростью вокруг центра масс точек $m_{1}$ и $m_{2}$. Задача устойчивости заключается в том, будет ли орбита тела нулевой массы всегда оставаться вблизи исходной круговой орбиты при небольшом возмущении. Мозер упоминает, что в течение долгого времени было известно, что линеаризованное уравнение имеет только ограниченные решения, если $\mu(1-\mu)<1 / 27$, где $\mu=m_{1} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$, что показывает возможность устойчивости. Однако до тех пор, пока не была построена КАМ-теория, никто не мог ответить на вопрос, могут ли нелинейные эффекты уничтожить устойчивость. Мозер показал, как усиленная версия теоремы, опубликованной Арнольдом в [5], позволяет решить задачу. Точнее, он показал, что можно проверить предположения этой теоремы, хотя проверка была слишком громоздкой и не была включена в лекции. Фактическан проверка была выполнена супругами Депри и показала, что устойчивость существует для малых $\mu$ в области значений $\mu(1-\mu)<1 / 27$, если исключить три значения. Он также доказал усиленную версию теоремы Арнольда, показав, что она следует из теоремы о сохранении инвариантных кривых при малых возмущениях интегрируемых закручивающих отображений. Здесь рассматривается случай аналитических функций и ситуация «малого закручивания».

В последней главе Мозер обсуждает математическую задачу, которая связана с созданием токомаков (магнитные бутылки, в которых находится горячая плазма). Для того чтобы возникала плазма, заряженные частицы должны оставаться в бутылке в течение некоторого времени. Отдельные частицы движутся по спиралям вокруг силовых линий магнитного поля. В качестве грубого приближения к задаче удержания заряженных частиц Мозер рассматривает задачу построения магнитного поля, которое является касательным к некоторому тору (т.е. тора, состоящего из линий магнитного поля). Такой тор называется магнитной поверхностью. Линии поля не пересекают магнитную поверхность, поэтому можно ожидать, что заряженная частица, находящаяся внутри магнитной бутылки останется там в течение некоторого времени. Однако заряженные частицы движутся не точно вдоль линий поля и остаются внутри бутылки лишь в течение ограниченного времени (измеряемого в микросекундах). В любом случае Мозер дает прекрасное решение математической задачи, построив магнитную поверхность, которая сохраняется при малых возмущениях магнитного поля.

Конструкция Мозера связана с устойчивой по Ляпунову неподвижной точкой отображения, сохраняющего площадь. Мозер доказывает существование инвариантных кривых вокруг неподвижной точки, применяя свою теорему для случая «малого закручивания.» (И вновь похоже, что теорема Колмогорова является недостаточной для этого приложения.)

Тот факт, что магнитное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла, приводит к удивительному свойству этой конструкции. Неподвижная точка теряет устойчивость по Ляпунову после малого возмущения магнитного поля, хотя инвариантные кривые сохраняются. Другими словами, после возмущения по-прежнему существуют инвариантные кривые вокруг неподвижной точки, но не в произвольно близкой ее окрестности. Кроме того, Мозер показал, что вся картина движения является устойчивой при малых возмущениях магнитного поля!

В «Лекциях о гамильтоновых системах» также обсуждаются и другие интересные результаты. Вместе со статьей «Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения» они дают читателю достаточные предварительные знания для изучения теоремы Мозера об устойчивости. В последней статье обсуждаются методы доказательства с помощью применения метода Нэша-Мозера ко многим задачам. Также дается новое доказательство для обобщения теоремы Колмогорова на дифференцируемый случай. В первой из них обсуждаются неподвижные точки отображений, сохраняющих площадь. Как уже упоминалось, она содержит два очень интересных приложения теоремы Мозера для случая «малого закручивания». Кроме того, в ней дается аналог для отображений, сохраняющих площадь, решения Густавсона задачи о «третьем интеграле» Контопулоса. В формулировке Мозера это означает, что каждое $C^{\infty}$-отображение плоскости, сохраняющее площадь и ориентацию и имеющее неподвижную точку в начале координат, имеет инвариантный, не обращающийся в ноль фор-

мальный степенной ряд. Таким образом, отображение является «формально интегрируемым в начале координат». Однако, как показал Зигель, в общем случае такие интегралы не сходятся. Мозер приводит конкретный пример, для которого ни один такой интеграл не сходится.

В приложениях КАМ-теории к физическим задачам часто возникают задачи, связанные с «малым закручиванием» или даже «нулевым закручиванием». В этих случаях исходную теорему Колмогорова нельзя применить, поскольку $\operatorname{det}\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}\right|$ не равен нулю. Обобщение Мозера на случай «малого закручивания» является лишь началом, и часто возникают гораздо большие сложности. Например, ньютоновская задача $n$ тел в $d$-мерном пространстве. В задаче движения планет ожидается наличие множества положительной меры квазипериодических почти круговых орбит. Для случая $n=3, d=2$ (т.е. Солнца и двух планет на плоскости) это является одним из важнейших достижений КАМ-теории, полученным Арнольдом [3], но остальные случаи остаются нерешенными. Работа Арнольда в этой области была обобщена в диссертации Фейоза (Fejoz). Несколько лет назад M.Р.Эрман в своих лекциях по КАМ-теории в Колумбийском университете получил обобщение на случай малого закручивания и нулевого закручивания, но осталось очень много нерешенных задач.
«O построении инвариантных кривых и множеств Мезера с помощью регуляризованного вариационного принципа» ${ }^{1}$ содержит альтернативное доказательство моей теоремы [16]. (Это теорема была обнаружена независимо Обри (Aubry) [6].) Предполагая выполнение «гипотезы монотонного закручивания», я доказал существование определенных инвариантных множеств для гомеоморфизмов, сохраняющих площадь. Сейчас я называю эти множества «множествами, минимизирующими действие». Для каждого иррационального числа $\alpha$ существует в точности одно множество, минимизирующее действие, с числом вращения $\alpha$. В том случае, когда существует инвариантная кривая для числа вращений $\alpha$, она является множеством, минимизирующим действие. Во всех других случаях множество, минимизирующее действие, является инвариантным канторовым множеством, фактически минимальным множеством Данжуа. (До моей работы Percival [20] обнаружил эти множества для частных случаев. Он назвал их «кантороторами». Дополни-

тельно в моем доказательстве используется «лагранжиан», полученный Персивалем [19] для численных вычислений.)

С этой точки зрения теоремы Колмогорова и Мозера могут рассматриваться как результаты о регулярности для множеств, минимизирующих действие. В них утверждается, что при определенных условиях множеством, минимизирующим действие, является кривая. Как часто бывает, результат о регуляризации является намного более глубоким, чем теорема существования.

Мозер создал свой «регуляризованный вариационный принцип», добавив «искусственное слагаемое вязкости», зависящее от параметра $
u$. При $
u>0$ Мозер доказал существование минимали и показал, что она удовлетворяет уравнению Эйлера. Переходя к пределу $
u=0$, он получает теорему, сформулированную Обри и мною. Преимущество этого подхода в том, что при $
u=0$ прямое доказательство, использующее уравнения Эйлера (как в работе [16]), является более сложным, поскольку обычные методы вариационного исчисления неприменимы.

В предпоследнем параграфе Мозер использует функцию избытка Вейерштрасса, доказывая, что решение уравнений Эйлера является минималью, когда $
u>0$. Тот же самый аргумент, применяемый для случая $
u=0$, показывает, что инвариангная кривая нвлнется минималью. Это связано с результатом Лазуткина и Термана (Terman) [11] и с несколько отличающимся от него результатом МакКея (Mackay) и моим $[17]$.

В последнем параграфе Мозер возвращается к задаче о сохранении инвариантных кривых, интерпретируемой здесь как задача регуляризации. Когда число вращения $\alpha$ удовлетворяет диофантову условию, множество, минимизирующее действие, является $C^{2, \beta}$-кривой для случая малого возмущения интегрируемой системы по теореме Мозера о сохранении при $
u=0$. В каждом случае минималь является $C^{2, \beta}$-кривой, когда $
u>0$. Сходится ли минималь (в случае $
u>0$ ) к множеству, минимизирующему действие (в случае $
u=0$ ) в $C^{2, \beta}$-топологии? Этого следует ожидать, но Мозер указал на то, что его исходное доказательство не применимо в этой ситуации, поскольку в нем используется теория преобразований. Для $
u=0 C^{2, \beta}$-решение уравнения Эйлера является инвариантной кривой отображения, сохраняющего площадь. Это интерпретация вариационной задачи в терминах динамических систем позволяет применить теорию преобразований. Однако для $
u>0$ такой интерпретации не существует и, похоже, нет никаких других способов

для применения теории преобразования. Тем не менее, Мозер утверждает, что минималь сходится к множеству, минимизирующему действие в $C^{2, \beta}$-топологии при $
u \downarrow 0$ и приводит набросок доказательства, которое основывается на квадратично сходящейся итерационной процедуре без использования теории преобразований. Мозер выполняет свое доказательство в дискретном варианте лагранжева формализма. Он называет это доказательство «лагранжевым» в противоположность «гамильтонову» доказательству с использованием теории преобразований.

В оставшихся четырех статьях этого тома Мозер приводит дальнейшее развитие методов статьи «0 построении инвариантных кривых и множеств Мезера с помощью регуляризированного вариационного принципа». С точки зрения Мозера эти методы естественно входят в теорию эллиптических уравнений в частных производных. Три из этих статей связаны с вариационной задачей, которую Мозер выбрал, чтобы проиллюстрировать свою точку зрения. Он получил два основных результата: теорема существования, обобщающая теорему, которую я доказал в [16] (существование «множеств Мезера») и теорема устойчивости, обобщающая его собственную теорему о сохранении инвариантных кривых. Обе свнзаны с вариационной задачей
\[
\int F\left(x, u, u_{x}\right) d x .
\]

Здесь $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ и необходимо, чтобы подынтегральная функция $F\left(x, x_{n+1}, p\right)$ имела период 1 по переменным $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}$. Он следует работе Джиаквинта и Джиусти и определяет подходящую регулярную функцию $u$ на $\mathbb{R}^{n}$, которая является «минимальным решением», если
\[
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left(F\left(x, u+\varphi, u_{x}+\varphi_{x}\right)-F\left(x, u, u_{x}\right)\right) d x \geqslant 0
\]

для каждой подходящей регулярной функции $\varphi$ с компактным носителем. График $u$ является гиперповерхностью $\mathbb{R}^{n+1}$, и Мозер требует, чтобы проекция графика $u$ на $\mathbb{T}^{n+1}$ не имела самопересечений.

В теореме Мозера о существовании утверждается, что для каждого вектора вращения $\alpha$ такая минималь существует и образует слои в слоистости (lamination) тора $\mathbb{T}^{n+1}$. Эта теорема доказана в работе

«Минимальные решения вариационных задач на торе», а затем в работе «Минимальные слоения на торе» вместе с другими результатами, обобщающими теорию Обри. Например, Мозер показал, что каждая минималь, удовлетворяющая его условию отсутствия самопересечений, имеет вектор вращения.

Иногда эта слоистость является слоением, но не всегда. В работе «Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе» Мозер показывает, что если слоистость является гладким слоением (foliation), и ее вектор вращения удовлетворяет подходящему диофантову условию, тогда она остается гладким слоением при малых возмущениях подынтегральной функции $F\left(x, x_{n+1}, p\right)$ вариационной задачи. Это обобщает теорему сохранения инвариантных кривых. Мозер приводит доказательство, которое является обобщением его «лагранжева» доказательства теоремы о сохранении. Похоже, что не существует обобщения «гамильтонова» доказательства на эту ситуацию.

Уравнение Эйлера вариационной задачи $\int F\left(x, u, u_{x}\right) d x$ является эллиптическим уравнением в частных производных. Мозер отмечает, что для этой вариационной задачи создана обширная теория, но обычно рассматриваются компактные области. Обобщение на некомпактные области получено Мозером.
«Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой для закручивающих отображений» является частью неопубликованных конспектов курса, записанных Марком Леви (M.Levi) и прочитанного Мозером в Цюрихе в июне 1986 года. Мозер объясняет свой «лагранжевый» метод для случая теоремы о сохранении инвариантных кривых. Похоже, что он является простейшим доказательством этой теоремы из имеющихся в литературе. Мозер рассматривает лишь аналитический случай (теорема Колмогорова), но отмечает, что доказательство может быть продолжено на случай дифференцируемых функций. Мозер также рассматривает случай «малого закручивания» и применяет его для доказательства устойчивости эллиптических точек при гипотезе оптимальности (в аналитическом случае). Например, более нет необходимости предполагать, что собственное значение $\lambda$ функции $d f_{0}$ не является корнем четвертой степени из единицы, если первый инвариант Биркгофа не обращается в ноль. С другой стороны, когда $\lambda$ является корнем третьей степени из единицы, величина слагаемого ошибки в нормальной форме Биркгофа уже имеет порядок $O\left(r^{3}\right)$ и не существует инвариантов Биркгофа. Извест-

но, что в этом случае начало координат в общем случае неустойчиво.

Этот сборник дает многогранную картину различных вариантов теоремы об инвариантных кривых в работах Мозера. Чтение сборника доставляет настоящее наслаждение, благодаря ясности и простоте изложения вместе с глубиной результатов.

Благодарности. Я хочу поблагодарить Я. Синая и В. Арнольда за полезные обсуждения и вновь выразить признательность М.Р.Эрману за все то, что я узнал от него об этом предмете в течении многих лет. Я также хочу поблагодарить Джорджилли за указание на то, что доказательство в [8] является детальным вариантом доказательства из [9] и за его мнение, что доказательство в 9] действительно является доказательством.
6 апреля, 2001