1. Введение. В последние годы исследования, посвященные псевдоголоморфным кривым на почти комплексных многообразиях, существенно повлияли на развитие симплектической геометрии, особенно благодаря работе Громова [8]. В частности, было установлено, что на определенных многообразиях существуют компактные псевдоголоморфные кривые типа $S^{2}$ или замкнутый диск. В настоящей работе независимо от симплектической геометрии изучаются некомпактные псевдоголоморфные кривые на почти комплексном торе $\left(T^{2 n}, J\right)$. Эти кривые снабжены комплексной структурой и, следовательно, представляют собой римановы поверхности. В нашем случае — это $\mathbb{C}$ или цилиндр $\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C} \backslash(0)$. Нас интересует, в частности, вопрос, сохраняются ли эти кривые при возмущении почти комплексной структуры.

Эта проблема имеет много общего с вопросом о сохранении инвариантных торов в классической механике, который был поставлен Колмогоровым $[2,15,18]$. Однако в отличие от этой теории мы рассматриваем нелинейные эллиптические системы дифференциальных уравнений в частных производных Коши-Римана. Наши результаты обеспечивают глобальные решения для таких систем.
2. Пример. Перед тем как представить полученный результат, проиллюстрируем его на примере. Пусть $\Gamma_{2}$ — решетка гауссовых целых чисел $a+b i$ в $\mathbb{C}, a, b \in \mathbb{Z}$. Рассмотрим тор
\[
T^{4}=\left(\mathbb{C} / \Gamma_{2}\right)^{2}=\mathbb{C}^{2} / \Gamma, \quad \Gamma=\left(\Gamma_{2}\right)^{2} .
\]

Простейшими примерами голоморфных кривых являются проекции комплексных прямых на $\mathbb{C}^{2}$
\[
c_{1} z_{1}+c_{2} z_{2}=\text { const, } \quad\left(c_{1}, c_{2}\right) \in \mathbb{C}^{2} \backslash(0)
\]

или, если $c_{2}
eq 0$
\[
L: z_{2}=m z_{1}+\text { const, }
\]

с комплексным наклоном $m \in \mathbb{C}$. Прямая, рассмотренная как риманова поверхность, имеет тип $\mathbb{C}$ либо тип 2-тора, в зависимости от значения $m$ : если $m$ — гауссово рациональное число, то это тор, в противном случае она имеет конформный тип $\mathbb{C}$. В последнем случае проекция такой кривой плотна на $T^{4}$.

Здесь возникает вопрос, сохраняются ли такие комплексные кривые в случае, когда комплексная структура становится возмущенной к почти комплексной структуре. Результат, примененный к этому конкретному примеру, оказывается довольно неожиданным. Компактные вложения торов никогда не сохраняются, а некомпактные вложения сохраняются, по крайней мере если для некоторых положительных $c_{0}, \tau$ выполнено диофантово условие
\[
\left|m-\frac{j_{1}+i j_{2}}{k_{1}+i k_{2}}\right| \geqslant c_{0}^{-1}\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}\right)^{-\tau}
\]

для всех гауссовых целых чисел $j_{1}+i j_{2}$ и $k_{1}+i k_{2}
eq 0$. Кроме того, возмущенные голоморфные кривые плотны в торе $T^{4}$.

Первое утверждение связано с известным фактом из алгебраической геометрии о том, что только комплексный тор может содержать голоморфный 2-тор. Однако в нашей работе рассматриваются не только алгебраические торы, кроме того, на торе могут не существовать непостоянные мероморфные функции. Основной целью работы является второе утверждение.
3. Почти комплексная структура. Приведенный выше пример не является типичным, поскольку $T^{4}$ задается как произведение двух двумерных торов. Кроме того, мы будем рассматривать торы более высокой размерности с почти комплексной структурой, близкой к интегрируемой комплексной структуре. Определим, как обычно, почти комплексную структуру на гладком многообразии $M=M^{2 n}$ как гладкий линейный изоморфизм слоев
\[
J: T M \rightarrow T M,
\]

удовлетворяющий условию
\[
J^{2}=-i d .
\]

Для комплексного многообразия с локальными координатами $\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right)$ такой изоморфизм дается отображением
\[
J: \partial / \partial z_{j} \rightarrow-i \partial / \partial z_{j} .
\]

Обратно, почти комплексное многообразие $\left(M^{2 n}, J\right)$ является комплексным многообразием тогда и только тогда, когда $J$ удовлетворяет условию интегрируемости
\[
[J X, Y]+[X, J Y]=J([X, Y]-[J X, J Y])
\]

для всех $X, Y \in T M$. Об этом гласит теорема Ньюландера (Newlander) и Ниренберга (Nirenberg) [23]. В этом случае мы говорим об интегрируемой комплексной структуре. В частности, для $n=1$ эти условия выполняются автоматически, то есть каждая почти комплексная поверхность является римановой поверхностью.

Для тора $M^{2 n}=\mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$ можно использовать глобальные координаты $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2 n}\right)$ в $\mathbb{R}^{2 n}$, чтобы описать $J$ в терминах матрицы $\left(J_{
u \mu}\right)$, определенной равенством
\[
J \partial_{x_{
u}}=\sum_{\mu=1}^{2 n} J_{
u \mu}(x) \partial_{x_{\mu}},
\]

где $J_{
u \mu} \in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{2 n}\right)$ имеет период 1 по всем координатам. Обычно $J$ отождествляется с этой матрицей.

Если матрица ( $J_{
u \mu}$ ) постоянная, то есть не зависит от $x$, то она определяет интегрируемую комплексную структуру. Она может быть описана более привычным способом как $\mathbb{C}^{n} / \Gamma$, где $\Gamma$ — это решетка ранга $2 n$ в $\mathbb{C}^{n}$. В самом деле, можно диагонализировать $J$ комплексной матрицей вида
\[
T=\left(C^{T}, C^{-T}\right),
\]

где $C=\left(C_{k
u}\right), k=1, \ldots, n,
u=1, \ldots, 2 n$ — это $(n \times 2 n)$-матрица и
\[
T^{-1} J T=\left(\begin{array}{cc}
-i I_{n} & 0 \\
0 & i I_{n}
\end{array}\right) \text {. }
\]

Тогда
\[
z_{k}=\sum_{
u=1}^{2 n} C_{k
u} x_{
u}
\]
— это комплексные переменные, длн которых выполнено (1.3). Кроме того, решетка имеет вид
\[
\Gamma=C \mathbb{Z}^{2 n} .
\]

Для нас будет удобным зафиксировать решетку ( $\left.\mathbb{Z}^{2 n}\right)$ и варьировать комплексную структуру.

Заметим, что любая интегрируемая комплексная структура, близкая к постоянной $J$, является сопряженной через диффеоморфизм тора к постоянной комплексной структуре. Это следует из деформационной теории Кодаира (Kodaira) и Спенсера (Spencer) [14]. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением только тех $J=J(x)$, которые $C^{\infty}$-близки к постоянной комплексной структуре, то мы можем отождествить интегрируемые комплексные структуры с теми, что задаются постоянными матрицами.

Для $n=2$ имеется глобальная теорема: любая интегрируемая комплексная структура на $T^{4}$ является сопряженной к постоянной комплексной структуре.

Это следует из теоремы Кодаира [13], согласно которой любая компактная комплексная поверхность с четным первым числом Бетти, равным $2 m$, допускает $m$ линейно независимых замкнутых голоморфных 1 -форм. В нашем случае $m=2$, и две замкнутые 1 -формы обеспечивают комплексные координаты в накрывающем пространстве $\mathbb{R}^{4}$, в терминах которых комплексная структура имеет постоянные коэффициенты (этой ссылкой я обязан P. Нарасимхану (R. Narasimhan)). Между прочим, в работе [9] (см. пример на с. 107) используются аналогичные рассуждения для того, чтобы показать, что определенное параллелизуемое четырехмерное многообразие не допускает комплексной структуры; этот пример принадлежит С. Т. Яу (S.Т. Yau) (см. ссылку в [9]).
4. Псевдоголоморфные кривые, теорема Бангерта. Будем называть подмногообразие $N^{r}$ многообразия $\left(M^{2 n}, J\right.$ ) псевдоголоморфным, или $J$-голоморфным, если $J$ оставляет касательное пространство $T N^{r} \subset T M^{2 n}$ инвариантным. Конечно, такое подмногообразие также является почти комплексным со структурой
\[
J_{N}=\left.J\right|_{T N} ;
\]

в частности $r$ является четным. В случае $r=2$ мы говорим о псевдоголоморфной кривой. Поскольку $J_{N}$ — это комплексная структура, то $\left(N, J_{N}\right)$ — это риманова поверхность $R$. Зафиксируем риманову поверхность $\left(R, J_{0}\right)$ с ее комплексной структурой и определим параметризованную псевдоголоморфную кривую как вложение
\[
f:\left(R, J_{0}\right) \rightarrow\left(M^{2 n}, J\right)
\]

с условием совместимости
\[
d f J_{0}=J d f .
\]

Для наших целей достаточно рассмотреть случаи $R=\mathbb{C}, R=\mathbb{C}^{*}=$ $=\mathbb{C} \backslash(0)$ или $R=T^{2}=\mathbb{C} / \Gamma$ со стандартной комплексной структурой. Простейший пример задается постоянной $J$ такой, что $\left(T^{2 n}, J\right) \sim \mathbb{C}^{n} / \Gamma$, а голоморфное отображение $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{n}$ задается целыми функциями. Проекция этой кривой на тор $T^{2 n}=\mathbb{C}^{n} / \Gamma$ будет, вообще говоря, иметь самопересечения, т.е. найдутся различные точки $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mathbb{C}$ такие, что $f\left(\zeta_{1}\right)+\gamma=f\left(\zeta_{2}\right)$ для некоторого $\gamma \in \Gamma$, но $f\left(\zeta_{1}+\zeta\right)+\gamma
ot \equiv f\left(\zeta_{2}+\zeta\right)$.

В случае $n=2$ можно показать, что такая голоморфная кривая не имеет самопересечений, только если образ отображения $f(\zeta)$ является комплексной прямой. Это и есть теорема Бангерта (см. ниже теорему 3.3 и раздел 7 ). Поэтому мы ограничимся случаем линейных функций $f(\zeta)$.
В вещественном представлении эти кривые задаются в виде
\[
x=f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}, \quad \alpha \in \mathbb{C}^{2 n} \backslash(0),
\]

где условие
\[
J^{T} \alpha=-i \alpha
\]

гарантирует, что это является голоморфной прямой, которую мы обозначим через $L=f(\mathbb{C})$. Через $p$ обозначим проекцию $\mathbb{K}^{2 n} \rightarrow T^{2 n}=$ $=\mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$. Голоморфная кривая $p(L)$ может быть конформно эквивалентной $\mathbb{C}, \mathbb{C}^{*}$ или 2 -тору. На самом деле это зависит от ранга $r$ решетки $L \cap \mathbb{Z}^{2 n}$. Очевидно, эти три случая отвечают значениям $r=0,1$ или 2 соответственно. Только последний случай соответствует компактному вложению. В двух некомпактных случаях может оказаться, что $p(L)$ плотно на $T^{2 n}$ или, что эквивалентно, $L+\Gamma$ плотно в $\mathbb{R}^{2 n}$. Необходимым и достаточным условием для плотности этой кривой является условие
\[
\sum_{
u=0}^{2 n} j_{
u} \alpha_{
u}
eq 0 \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0),
\]

или, что эквивалентно, $\Gamma^{\perp} \cap L^{\perp}=(0)$, где $L^{\perp}-$ это пространство двойственное к $L$, а $\Gamma^{\perp}$ — это двойственная решетка. В случае плотной комплексной прямой $L$ замыкание ее сдвигов порождает семейство параллельных прямых
\[
f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}+\beta, \quad \beta \in \mathbb{R}^{2 n} .
\]

Они образуют листы слоения, заданного действительной и мнимой частями комплексного векторного поля
\[
\sum_{
u=1}^{2 n} \alpha_{
u} \partial_{x_{
u}}
\]
5. Основной результат о сохранении. Чтобы изучить вопрос о сохранении голоморфных кривых, рассмотрим семейство почти комплексных структур
\[
J^{\varepsilon}=J^{0}+\varepsilon J^{1}(x, \varepsilon), \quad\left(J^{\varepsilon}\right)^{2}=-i d,
\]

непрерывно зависящее от параметра $\varepsilon$; мы предполагаем, что $J^{0}$ постоянна, т.е. определяет комплексную структуру. Спрашивается, можно ли продолжить $J^{0}$-голоморфную кривую, скажем $f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}$, до $J^{\varepsilon}$-голоморфной кривой $f^{\varepsilon}(\zeta),\left(f^{0}(\zeta)=f(\zeta)\right)$ с аналогичной топологической структурой. Если такое продолжение существует для каждой структуры $J^{1}$, мы говорим о сохранении голоморфной кривой $f^{0}$.

Замечание. Голоморфный тор на $\mathbb{C}^{n} / \Gamma$ со стандартной комплексной структурой $J_{0}$ никогда не сохраняется в том смысле, что он не может быть продолжен до $J^{\varepsilon}$-голоморфного тора для некоторой выбранной структуры $J^{\varepsilon}$. Действительно, постоянные комплексные структуры, не допускающие голоморфных подторов, являются плотными. Это справедливо даже для подкласса абелевых торов, для которых $J$ должна удовлетворять римановым соотношениям (см. раздел 3 , предложение 3.1).

С другой стороны, для некомпактных $J^{0}$-голоморфных кривых $x=$ $=f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}$ мы имеем следующий результат о сохранении. Предположим, что для вектора $\alpha \in \mathbb{C}^{2 n} \backslash(0)$, кроме условия $\left(\left(J^{0}\right)^{T}+i\right) \alpha=0$, выполнено диофантово условие. Для некоторых положительных чисел $c_{0}, \tau$ имеет место неравенство
\[
\left|\sum_{
u=1}^{2 n} j_{
u} \alpha_{
u}\right| \geqslant c_{0}^{-1}|j|^{-\tau} \quad \text { для всех } \quad j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0) .
\]

Для $\tau>n-1$ почти все комплексные вектора $\alpha$ удовлетворяют такому условию. Это условие сильнее, чем (1.10), поэтому проекция этой комплексной прямой плотна на торе.

Теорема. $J^{0}$-голоморфная прямая $x=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}$, удовлетворяющая диофантову условию (1.11), сохраняется. А именно, для любой почти комплексной структуры $J^{\varepsilon}=J^{0}+\varepsilon J^{1}(x, \varepsilon)$, непрерывно зависящей от $\varepsilon$, существуют при достаточно малом $|\varepsilon|$ вектор $\alpha^{\varepsilon} \in \mathbb{C}^{2 n}$

и функция $P(\cdot, \varepsilon) \in C^{\infty}\left(T^{2 n}, \mathbb{R}^{2 n}\right)$, непрерывно зависящие от $\varepsilon$, такие, что $\alpha^{0}=\alpha$, и отображение
\[
f^{\varepsilon}(\zeta)=\alpha^{\varepsilon} \zeta+\bar{\alpha}^{\varepsilon} \bar{\zeta}+\varepsilon P\left(\alpha^{\varepsilon} \zeta+\bar{\alpha}^{\varepsilon} \bar{\zeta}, \varepsilon\right)
\]

является $J^{\varepsilon}$-голоморфной кривой, проекция которой плотна на $T^{2 n}$.
Замечание 1. Решение $f^{\varepsilon}$ не яв.яется единственным. Тем не менее, мы построим единственное решение при помощи специальной нормализации. Заметим, что изменение параметризации $\zeta \rightarrow \lambda^{-1} \zeta, \lambda \in \mathbb{C}^{*}$ приводит к замене $\alpha$ на $\lambda \alpha$. Можно выбрать $\lambda \in \mathbb{C},|\lambda|=1$ так, чтобы $\lambda \alpha$, которое мы снова обозначим через $\alpha$, удовлетворяло диофантову условию
\[
\left|\operatorname{Re}\left(\sum_{
u=1}^{2 n} j_{
u} \alpha_{
u}\right)\right| \geqslant c_{1}^{-1}|j|^{-\mu}
\]

с показателем $\mu>\tau+2 n$. Выбрав параметризацию таким образом, найдем решение $\alpha^{\varepsilon}, f^{\varepsilon}$ с дополнительным свойством так, что
\[
\operatorname{Re} \alpha^{\varepsilon}=\operatorname{Re} \alpha
\]

не зависит от $\varepsilon$. Теперь решение $\alpha^{\varepsilon}, f^{\varepsilon}$ единственно с точностью до сдвига $\zeta \rightarrow \zeta+$ const. Кроме того, нормализация гарантирует, что кривая (1.12) плотна в $T^{2 n}$ для всех малых $|\varepsilon|$, поскольку диофантово условие (1.11′) выполнено для всех таких $\varepsilon$.

ЗАмЕчаниЕ 2. Утверждение также можно сформулировать следующим образом. Диффеоморфизм
\[
y \rightarrow x=F^{\varepsilon}(y)=y+\varepsilon P^{\varepsilon}(y, \varepsilon)
\]

тора $T^{2 n}$ переводит кривую
\[
y=\alpha^{\varepsilon} \zeta+\bar{\alpha}^{\varepsilon} \bar{\zeta}
\]

в заданную $J^{\varepsilon}$-голоморфную кривую. Конечно, почти комплексная структура, для которой (1.15) является псевдоголоморфной кривой, не задана априори, а получается апостериорно из $J^{\varepsilon}$ после преобразования (1.14).

ЗАмЕчАниЕ 3. Замыкание сдвигов кривой $x=f^{\varepsilon}(\zeta)$ относительно фундаментальной группы $\mathbb{Z}^{2 n}$ приводит к голоморфному слоению, которое является сопряженным к слоению, натянутому на действительную и мнимую части комплексного векторного поля
\[
\sum_{
u=1}^{2 n} \alpha_{
u}^{\varepsilon} \partial_{x_{
u}} .
\]

Более точная формулировка этой теоремы будет дана в пятом разделе.

ЗАмЕчаниЕ 4. $J^{0}$-голоморфная кривая $x=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}$, очевидно, содержит действительное направление $\mathbb{R} \rho$, где вектор $\rho=\operatorname{Re} \alpha$ удовлетворяет диофантову условию (1.11′). Наоборот, $J^{0}$-голоморфная прямая определяется по вектору $\rho$ :
\[
f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n} ; \quad f: a+i b \rightarrow a \rho+b J^{0} \rho .
\]

Поскольку в сформулированной выше теореме действительное направление $\rho$ не меняется при возмущении, нашему утверждению можно придать более привлекательную геометрическую формулировку, коей я обязан внимательным судьям.

Утверждение. Пусть $J^{0}$ — постоянная комплексная структура на $T=\mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$, и пусть $\rho \in \mathbb{R}^{2 n}$ удовлетворяет диофантову условию (1.11′). Через $\mathscr{F}^{0}$ обозначим $J^{0}$-голоморфное слоение, образованное сдвигами комплексной прямой (*).

Тогда для каждой почти комплексной структуры $J^{\varepsilon}$ на $T$, достаточно близкой к $J^{0}$, найдется слоение $\mathscr{F}^{\varepsilon}$ на $T$, состоящее из $J^{\varepsilon}$-голоморфных кривых, которое является гладко сопряженным к линейному слоению, содержащему то же действительное направление $\mathbb{R} \rho$, что и $\mathscr{F}^{0}$. Кроме того, слоение $\mathscr{F}^{\varepsilon}$ однозначно определяется по этим условиям и близко́ к $\mathscr{F}^{0}$.
Здесь $\varepsilon$ используется просто как обозначение, а не как параметр.

6. Эллиптические системы, описывающие голоморфные кривые. Приведенная выше теорема является теоремой существования для эллиптической системы дифференциальных уравнений в частных производных. Чтобы получить эту систему, определим почти комплексную структуру другим способом, а именно, как расщепление комплексифицированного касательного расслоения $\mathbb{C} \otimes T M=T_{\mathbb{C}} M$. Поскольку $J^{2}=-i d$, изоморфизм $J$ определяется множествами $E=$ $=\operatorname{ker}(J+i)$ и $\bar{E}$; тогда
\[
T_{\mathbb{C}} M=E+\bar{E}, \quad E \cap \bar{E}=(0)
\]

определяет необходимое расщепление. Аналогично имеется двойственное расщепление для комплексифицированного кокасательного расслоения
\[
T_{\mathbb{C}}^{*} M=E^{*}+\bar{E}^{*},
\]

где $E^{*}$ — это аннулятор $\bar{E}$.

Для тора $M=T^{2 n}$ мы выберем базис $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n} \in E^{*}$, который выражается через базис $d x_{1}, d x_{2}, \ldots, d x_{2 n}$ в $T^{*} M$ равенствами
\[
\omega_{k}=\sum_{
u=1}^{2 n} C_{k
u}(x) d x_{
u},
\]

где $C_{k
u}-\mathbb{Z}^{2 n}$-периодические функции; кроме того, очевидно, что
\[
\omega_{1} \wedge \omega_{2} \wedge \ldots \wedge \omega_{n} \wedge \bar{\omega}_{1} \wedge \ldots \wedge \bar{\omega}_{n}
eq 0 .
\]

Будем обозначать $(n \times 2 n)$-матрицу $\left(C_{k
u}(x)\right)$ через $C(x)$.
Кривая $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}$, или $x=f(\zeta)$, будет псевдоголоморфной, если
\[
f^{*} \omega_{k}=\lambda_{k}(x) d \zeta
\]

или, в координатах,
\[
C(f) \partial_{\bar{\zeta}} f=0,
\]

где $C(x)=\left(C_{k
u}(x)\right)$ — вышеупомянутая комплексная матрица. В типичном случае $C=(I, i I)$ можно распознать в уравнениях
\[
\partial_{\bar{\zeta}}\left(f_{j}+i f_{j+n}\right)=0 \quad j=1, \ldots, n
\]

уравнения Коши-Римана для $f_{j}+i f_{j+n}$.
Вообще говоря, это нелинейная эллиптическая система. Локальную теорему существования для таких систем доказали Ньюхаус (Nijenhuis) и Вульф (Woolf) в 1963 году [24], когда они уточнили вышеупомянутую теорему Ньюландера (Newlander) и Ниренберга (Nirenberg). Однако глобальные теоремы существования были неизвестны вплоть до работы Громова [8] в 1985 г. Наш результат можно рассматривать как такую теорему существования глобальных решений уравнения (1.16), которые на самом деле являются квазипериодическими. Конечно, это всего лишь локальный результат (в смысле теории возмущений), хотелось бы получить теорему существования для больших возмущений, например, хотя бы для всех почти комплексных структур, «смягченных» (tamed) некоторой заданной симплектической формой (в терминологии [8]).

Можно сравнить квазипериодическую голоморфную кривую с двоякопериодическими кривыми, которые соответствуют торам с конформной структурой. Что является конформным инвариантом для таких квазипериодических торов? Этот вопрос и его связь с уравнением Бельтрами будут обсуждаться в других работах.

7. Аналогия с геодезической проблемой на $T^{2}$. Эта теорема имеет замечательное отношение к геометрической проблеме геодезических на двумерном торе и к предыдущей работе о минимальных поверхностях на римановом торе бо́льшей размерности. Чтобы проследить аналогию, сравним 4 -мерный почти комплексный тор $\left(T^{4}, J\right)$ с двумерным тором $\left(T^{2}, g\right)$ с метрикой $g$. В обоих случаях мы рассматриваем $T^{2 n}$ как фактор-пространство $\mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$. Интегрируемая комплексная структура (удовлетворяющая условию (1.4)) сравнивается с плоской метрикой ( $K \equiv 0$ ) на $T^{2}$. В обоих случаях найдутся координаты, в которых матрицы, представляющие $J$ и $g$, имеют постоянные коэффициенты. Псевдоголоморфные кривые соответствуют минимизирующим геодезическим в римановом случае. В интегрируемом случае это комплексные прямые или прямые линии на накрывающем пространстве. Сохраняющиеся геодезические — это такие прямые линии, наклон которых удовлетворяет диофантову условию. Это частный случай теоремы Колмогорова о сохранении инвариантных торов для гамильтоновых систем. Нашу теорему можно считать комплексным аналогом этой теоремы.

Тем не менее, эти две проблемы имеют существенные различия. Геодезические определнютсн из вариационной задачи, аналога которой нет в комплексном случае. Кроме того, геодезические описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (второго порядка), а голоморфные кривые получаются как решения эллиптической системы первого порядка. Из того факта, что система имеет первый порядок, следует, что асимптотическое направление, обозначенное в нашей теореме через $\alpha^{\varepsilon}$, не может быть фиксированным, но зависит от почти комплексной структуры $J^{\varepsilon}$. Для системы первого порядка остается неясным, как выбирать граничные условия; вектор $\alpha$ соответствует, в некотором смысле, граничному условию на бесконечности. Напротив, асимптотический наклон минимальной геодезической может быть выбран произвольно, как уже было замечено Хедлундом (Hedlund) $[3,11]$.

Что касается вариационного принципа, который отсутствует для голоморфных кривых, мы упомянем, что в случае симплектической структуры, смягченной формой $J$, он присутствует, псевдоголоморфные кривые являются минимальными поверхностями относительно соответствующей метрики. Это следует из неравенства Виртингера. Тем не менее, этот вариационный принцип, заданный через площадь поверхности, ограничен в применении, поскольку псевдоголоморфные кривые

определяют лишь малый подкласс экстремалей. И, конечно, для доказательства существования не могут быть использованы прямые методы вариационного исчисления.

Новизна представленного результата состоит в том, что сохраняются слоения, листы которых не имеют ни размерности один (как в гамильтоновой теории), ни коразмерности один. Сошлемся здесь на теорию устойчивости минимальных поверхностей на торах большей размерности $[20,21]$. Эти минимальные поверхности имеют коразмерность один и задаются одним эллиптическим уравнением в частных производных второго порядка. Можно было бы ожидать подобного результата для производной эллиптической системы на торе. Хотя это кажется маловероятным; отметим, что доказательство нашей теоремы зависит от особой структуры уравнения, которое напоминает уравнение Бельтрами, хотя появляются еще малые знаменатели (см. раздел 5).

8. Открытые проблемы.
1) По аналогии с теорией Обри-Мезера (Aubry-Mather) для монотонных скрученных отображений, допускающих большие возмущения, возникает вопрос о теоремах существования псевдоголоморфных кривых на $T^{4}$ для больших возмущений, или, например, для формы $J$, смягченной некоторой заданной симплектической 2-формой.
2) В обобщении теоремы Бангерта о голоморфных кривых без самопересечений возникает вопрос об априорных оценках для псевдоголоморфных кривых без самопересечений: существует ли константа $\delta$, зависящая только от $J$, такая, что для каждой псевдоголоморфной кривой без самопересечений расстояние от нее до некоторой двумерной плоскости меньше, чем $\delta$ ? Здесь мы ограничиваемся тором $T^{4}$ и используем метрику, например, заданную фиксированной 2 -формой, смягченной формой $J$.
3) Существуют ли псевдоголоморфные кривые, не плотные в $T^{4}$, которые не лежат на торах меньшей размерности? (Аналоги минимальных множеств в теории Мезера).

9. План. В разделе 2 мы введем необходимые обозначения и получим дифференциальные уравнения для псевдоголоморфных кривых. В разделах 3 и 4 мы обсудим слоенин голоморфных кривых в интегрируемом случае, включая теорему Бангерта. Основная теорема о сохранении некомпактных псевдоголоморфных кривых будет переформулирована в разделе 5 ; кроме того, там же будет предложена схема доказательства. В разделе 6 мы приведем пример, иллюстрирующий эффект резонансов, т. е. рациональных отношений компонент вектора $\alpha$. В седьмом разделе будет представлено доказательство теоремы Бангерта.