Рассмотрим два минимальных решения $u, v$ и изучим возможность их пересечения в $\mathbb{R}^{n}$, т.е. точки $x$, где $u(x)=v(x)$. Очевидно, если $\alpha(u)
eq \alpha(v)$, то по теореме $2.1 u-v$ меняет знак и $u, v$ пересекаются.
Теорема 4.1. Если $u, v \in \mathscr{M}$, тогда открытое множество
\[
\left\{x \in \mathbb{R}^{n}, u(x)<v(x)\right\}
\]
не имеет ограниченных компонент.
ДоКаЗаТЕЛЬСТВо.
Пусть $V$ такая ограниченная компонента. Тогда
\[
\bar{u}=\left\{\begin{array}{l}
v \text { в } V, \\
u \text { иначе, }
\end{array}\right.
\]
такая, что $\varphi=\bar{u}-u \in W^{1,2}, \operatorname{supp} \varphi \subset \bar{V}$. Следовательно,
\[
I_{V}(v)=I_{V}(u+\varphi) \geqslant I_{V}(u), \quad I_{V}(u)=I_{V}(v-\varphi) \geqslant I_{V}(v),
\]
т. е. $I_{V}(u)=I_{V}(v)=I_{V}(\bar{u})$. Таким образом, для любого открытого множества $W$, содержащего $\bar{V}$,
\[
I_{W}(\bar{u})=I_{W}(u),
\]
т.е. $\bar{u}$ также минималь. Как показывает следующая лемма, из того, что $u, \bar{u} \in \mathscr{M}, u \leqslant \bar{u}$ следует, что либо $u=\bar{u}$, либо $u<\bar{u}$ в $\mathbb{R}^{n}$. Следовательно, $u<\bar{u}$ в $\mathbb{R}^{n}$ и $V=\mathbb{R}^{n}$, что противоречит ограниченности $V$.
Лемма 4.2. Если $u, v \in \mathscr{M}, u \leqslant v$, то либо $u \equiv v$, либо $u<v$. ДоКаЗаТЕЛЬСтво.
Доказательство следует из сильного принципа максимума для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.
Положим
\[
w(x)=v(x)-u(x) \geqslant 0
\]
и допустим, что в некоторой точке $x^{*}$ имеем $w\left(x^{*}\right)=0$. Тогда $w$ имеет абсолютный минимум. $w$ является решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных
\[
\begin{aligned}
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(F_{p_{
u}}\left(x, u+w, u_{x}+w_{x}\right)-F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)\right)- \\
-\left(F_{u}\left(x, u+w, u_{x}+w_{x}\right)-F_{u}\left(x, u, u_{x}\right)\right)= \\
=\sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu} w_{x_{
u} x_{\mu}}+\sum_{
u=1}^{n} b_{
u} w_{x_{
u}}+c w=0
\end{aligned}
\]
с непрерывными коэффициентами. Из принципа максимума (см. приложение к $\S 4$ ) следует, что $w \equiv 0$. Поэтому либо $w>0$, либо $w \equiv 0$.
Есть более сильный результат, показывающий, что для двух минималей, которые не пересекаются в $\mathbb{R}^{n}$, разность $|u(x)-v(x)|$ имеет одну и ту же величину для всех $x$, если $x$ остается в ограниченной области, например $3 Q$.
Теорема 4.3. Если $u, v \in \mathscr{M}_{A} u и<v$ в $4 Q$, тогда существует положительная константа $\gamma$, зависящая только от $c, \delta$ и , такая, что
\[
v(x)-u(x) \leqslant \gamma(v(y)-u(y)) \quad \text { для всех } \quad x, y \in 3 Q .
\]
Из этого следует, что
\[
\begin{array}{l}
\sup _{3 Q}(v(x)-u(x))=\Delta_{+}<\infty, \quad \inf _{3 Q}(v(x)-u(x))=\Delta_{-}>0 \\
u \Delta_{+} \leqslant \gamma \Delta_{-} .
\end{array}
\]
ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Доказательство следует из неравенства Харнака в том виде, в котором оно впервые было доказано Н. Трудингером [26]. Позднее Е. Ди Бенедетто и Н.Трудингер [5] доказали такое неравенство Харнака для функций из класса Де Джорджи. Хотя можно обойтись без этого глубокого результата, здесь его удобно использовать.
Для этого зафиксируем $u \in \mathscr{M}$, рассмотрим $v$ как переменную и положим $w=v-u>0$. Очевидно, что $w$ является минимальным решением для
\[
\int F\left(x, u+w, u_{x}+w_{x}\right) d x .
\]
Заменим эту вариационную задачу другой:
\[
\int G\left(x, w, w_{x}\right) d x
\]
для которой $w$ снова является минимальным решением. Для этого пусть
\[
\begin{aligned}
G\left(x, w, w_{x}\right) & =F\left(x, u+w, u_{x}+w_{x}\right)-F\left(x, u, u_{x}\right)- \\
& -\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right) w\right) .
\end{aligned}
\]
Тогда
\[
J_{V}(w)=\int G\left(x, w, w_{x}\right)=I_{V}(u+w)-I_{V}(u)+R(w),
\]
где $R(w)$ зависит только от граничных значений $w$, и, следовательно, не влияет на свойство минимальности $w$. Итак, если $w$ минималь задачи (4.1), то то же самое верно для (4.2) и наоборот.
Так как $u$ удовлетворяет уравнениям Эйлера, из (4.3) находим
\[
\begin{aligned}
G\left(x, w, w_{x}\right)= & F\left(x, u+w, u_{x}+w_{x}\right)-F\left(x, u, u_{x}\right)- \\
& -\sum_{
u=1}^{n} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right) w_{x_{
u}}-F_{u}\left(x, u, u_{x}\right) w= \\
= & \int_{0}^{1}(1-t)\left(\frac{d}{d t}\right)^{2} F\left(x, u+t w, u_{x}+t w_{x}\right) d t= \\
= & \sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu}(x) w_{x_{
u}} w_{x_{\mu}}+2 \sum_{
u=1}^{n} b_{
u} w_{x_{
u}} w+c w^{2}
\end{aligned}
\]
где
\[
\begin{aligned}
a_{
u \mu}(x) & =\int_{0}^{1}(1-t) F_{p_{
u} p_{\mu}}\left(x, u+t w, u_{x}+t w_{x}\right) d t \\
b_{
u}(x) & =\int_{0}^{1}(1-t) F_{p_{
u} u}\left(x, u+t w, u_{x}+t w_{x}\right) d t \\
c(x) & =\int_{0}^{1}(1-t) F_{u u}\left(x, u+t w, u_{x}+t w_{x}\right) d t .
\end{aligned}
\]
Из предположения (3.1) iii) и теоремы (3.1) получим
\[
\frac{1}{4} \delta\left|w_{x}\right|^{2}-\gamma_{1} w^{2} \leqslant G\left(x, w, w_{x}\right) \leqslant \delta^{-1}\left|w_{x}\right|^{2}+\gamma_{1} w^{2}
\]
с некоторой положительной константой $\gamma_{1}$, зависящей только от $c, \delta, A$. Вновь следуя идеям Джиквинты и Джиусти, видим, что любая минималь $w$ задачи (4.2), где $G$ удовлетворяет (4.4), также, как и $-w$ удовлетворяет неравенствам
\[
\int_{A_{y}(k, \rho)} w_{x}^{2} \leqslant \gamma_{2}\left\{\frac{1}{(r-\rho)^{2}} \int_{A_{y}(k, r)}(w-k)^{2} d x+k^{2}\left|A_{y}(k, r)\right|\right\}
\]
для всех вещественных $k$ и для всех $0<\rho<r$, где снова
\[
A_{j}(k, r)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n},|x-y|<r, w(x)>k\right\} .
\]
Константа $\gamma_{2}$ зависит только от $c, \delta, A$.
Предположение теоремы Ди Бенедетто и Трудингера заключается в том, что функция $w \in W_{\mathrm{loc}}^{1,2}(\Omega), w \geqslant 0$ в $\Omega$ и $\pm w$ удовлетворяют
\[
\int_{A_{y}(k, \rho)} w_{x}^{2} d x \leqslant \gamma_{3}\left\{\frac{1}{(r-\rho)^{2}} \int_{A_{y}(k, r)}(w-k)^{2} d x+\left(\frac{k}{r}\right)^{2}\left|A_{y}(k, r)\right|\right\}
\]
для всех вещественных $k, 0<\rho<r$ и для всех областей $A_{y}(k, r)$, для которых $B_{y}(r)$ принадлежит $\Omega$. Различие относительно (4.5) состоит в замене $k^{2}$ на $(k / r)^{2}$. Следовательно, если рассматривать только ограниченную область, скажем $\Omega=4 Q$, то радиус $r$ шаров $B_{y}(r)$, принадлежащих $\Omega$, ограничен. Например, здесь он ограничен величиной, равной 2 , и (4.6) следует из (4.5) при $\gamma_{3}=4 \gamma_{2}$.
Теорема Ди Бенедетто и Трудингера утверждает, что любая функция $w \in W_{\text {loc }}^{1,2}(4 Q), w \geqslant 0$ в $4 Q$, для которой выполняется (4.6), в компактной подобласти (например, в $3 Q$ ) удовлетворяет неравенству
\[
w(x) \leqslant \gamma_{4} w(y) \quad \text { для } \quad x, y \in 3 Q
\]
с константой $\gamma_{4}$, зависящей только от $\gamma_{3}$, т. е. только от $c, \delta, A$. Tеорема 4.3 доказана.
Следствие 4.4. Если $u \in \mathscr{M}_{A}$, пусть $\tau_{
u}: S_{x} \rightarrow S_{x}$ будут отображениями
\[
\tau_{
u}: u(x+j)-j_{n+1} \rightarrow u\left(x+j+e_{
u}\right)-j_{n+1},
\]
определенным во втором параграфе. Тогда $\tau_{
u}$ является непрерывной по Липшицу и удовлетворяет
\[
\left|\tau_{
u}\left(s_{2}\right)-\tau_{
u}\left(s_{1}\right)\right| \leqslant \gamma\left|s_{2}-s_{1}\right|, \quad
u=1,2, \ldots, n,
\]
где $\gamma$ является константой из теоремы 4.3.
Это непосредственно следует из теоремы 4.3.
Таким образом, $\tau_{
u}$ можно равномерно продолжить на замыкание $S_{x}$ как непрерывные по Липшицу отображения, и эти продолжения попрежнему попарно коммутируют.
В заключение этого параграфа рассмотрим еще одну оценку, которая выражает непрерывность слоения по Липшицу и будет построена в шестом параграфе. Для этого допустим, что третьи производные $F$ являются непрерывными по Гельдеру, т.е. (3.1) выполняется с $l \geqslant 3$.
Теорема 4.5. Если $u, v \in \mathscr{M}_{A} u u<v$ в шаре $B$, то существует константа $\gamma$, зависящая только от $c, \delta$ и $A$ такая, что
\[
\left|v_{x}(x)-u_{x}(x)\right| \leqslant \gamma(v(x)-u(x)) \quad \text { для } \quad x \in \frac{1}{2} B .
\]
ДоКаЗаТЕЛЬСтво.
По теореме (3.1) в $\mathbb{R}^{n}$ выполнено
\[
|u|_{C^{1, \varepsilon}},|v|_{C^{1, \varepsilon}} \leqslant \gamma_{1},
\]
и по общему результату $u \in C^{l, \varepsilon}$, т. к. $F \in C^{l, \varepsilon}$ и
\[
|u|_{C^{2, \varepsilon}},|v|_{C^{2, \varepsilon}} \leqslant \gamma_{2},
\]
см., например [15], стр. 336.
Так как $u, v>u$ удовлетворяет уравнениям Эйлера
\[
\begin{array}{l}
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)-F_{u}\left(x, u, u_{x}\right)=0 \\
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, v, v_{x}\right)-F_{u}\left(x, v, v_{x}\right)=0,
\end{array}
\]
то, вычитая, получим дифференциальное уравнение в частных производных для $w=v-u>0$ :
\[
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(\sum_{\mu=1}^{n} a_{
u \mu} w_{x_{\mu}}+b_{
u} w\right)-\sum_{
u=1}^{n} b_{
u} w_{x_{
u}}-c w=0
\]
где
\[
\begin{aligned}
a_{
u \mu} & =\int_{0}^{1} F_{p_{
u} p_{\mu}}\left(x,(1-t) u+t v,(1-t) u_{x}+t v_{x}\right) d t \\
b_{
u} & =\int_{0}^{1} F_{p_{
u} u}(\ldots) d t \\
c & =\int_{0}^{1} F_{u u}(\ldots) d t
\end{aligned}
\]
где аргументы такие же, как и в первой строке.
По нашим предположениям эти коэффициенты $a_{
u \mu}, b_{
u}, c$ принадлежат $C^{1, \varepsilon}(B)$ и
\[
\left|a_{
u / 1}\right|_{C^{1, \varepsilon}(B)}, \quad\left|b_{
u}\right|_{C^{1, \varepsilon}(B)}, \quad|c|_{C^{1, \varepsilon}(B)} \leqslant \gamma_{3}
\]
с некоторой постоянной $\gamma_{3}$, зависящей только от $c, \delta$ и $A$. Поэтому (4.8) можно явно записать в виде
\[
\sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu} w_{x_{
u} x_{\mu}}+\sum_{
u=1}^{n} B_{
u} w_{x_{
u}}+C w=0
\]
с непрерывными по Гельдеру коэффициентами, $\varepsilon$-Гельдер-норму которых можно оценить с помощью $\gamma_{3}$. Так как уравнение является равномерно эллиптическим и квадратичная форма удовлетворяет $\sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu} \xi_{
u} \xi_{\mu} \geqslant \delta|\xi|^{2}$, из оценки Шаудера (Shauder) (Гильбарг-Tрудингер [12], стр. 85) получим
\[
\left|w_{x}(x)\right| \leqslant \gamma_{4} \max _{x \in B} w \quad \text { для } \quad x \in \frac{1}{2} B .
\]
Используя теорему (4.3), находим, что
\[
\left|w_{x}(x)\right| \leqslant \gamma \cdot \gamma_{4} w(x) \quad \text { для } \quad x \in \frac{1}{2} B,
\]
и это доказывает теорему.
В случае слоения минимальных поверхностей это доказательство было использовано Б. Соломоном [25] (B. Solomon). Очевидно, наличие слоения не является существенным, а эта оценка нужна нам для произвольных пар минималей. К тому же, достаточно потребовать чтобы $u, v$ были минимальными решениями только в $B$.
