Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
После наводящих соображений предыдущего параграфа мы дадим теперь точное доказательство теоремы Зигеля. задано в круге $|z|<r$ и что Так как ряд $\widehat{f}$ не содержит постоянного и линейного членов, мы можем сделать $\varepsilon$ сколь угодно малым, выбирая достаточно малое $r$. Пусть, кроме того, число $\lambda$ удовлетворяет неравенствам (1.5) и $0<|\lambda| \leqslant 1$. Первый шаг доказательства состоит в оценке решения уравнения (1.7). Лемма 1. Если функция $g(\zeta)$ аналитична в круге $|\zeta|<r$, удовлетворяет внутри этого круга неравенству $|g|<\varepsilon$ и $g(0)=g^{\prime}(0)=0$, то функция аналитична в том же круге $|\zeta|<r$ и удовлетворяет неравенству $|v|<2 c_{0} \frac{\varepsilon}{\theta^{3}}$ в круге $|\zeta|<r(1-\theta)$, если только $0<\theta<1$. ДоКаЗаТЕЛЬСТво. В соответствии с описанной в $\S 2$ конструкцией построим преобразование $z=v(\zeta)=\zeta+\widehat{v}(\zeta)$, где Применяя лемму 1 к функции $g=\zeta \widehat{f}^{\prime}(\zeta)$, находим Так как $\widehat{v}(0)=0$, то из этого следует, что Выясним теперь, где определена функция $v^{-1} \circ f \circ v$. Для этого докажем следующую лемму. Лемма 2. Если $2 c_{0} \varepsilon<\theta^{4}$ и $0<\theta<\frac{1}{4}$, то отображение $z=v(\zeta)=$ $=\zeta+\widehat{v}(\zeta)$ отображает круг $|\zeta|<r(1-4 \theta)$ внутрь круга $|z|<r(1-3 \theta)$, а образ круга $|\zeta|<r(1-\theta)$ содержит круг $|z|<r(1-2 \theta)$. ДокаЗательство. Чтобы доказать вторую часть леммы, покажем, что при $|z|<r(1-2 \theta)$ уравнение $\zeta+\widehat{v}=z$ имеет решение из круга $|\zeta|<r(1-\theta)$. В силу теоремы Руше достаточно доказать при $|\zeta|=r(1-\theta)$ неравенство $|\widehat{v}| \leqslant r \theta$, так как $r \theta<|\zeta|-|z|$. Но это неравенство также является следствием неравенства (3.3) и предположения леммы. то отображение $\Phi=v^{-1} \circ f \circ v$ или $\zeta_{1}=\Phi(\zeta)$ определено при $|\zeta|<r(1-5 \theta)=\rho$. где $c_{1}<3 c_{0}$. ДоКазательСТво. В силу леммы 2 при отображении $v$ круг $|\zeta|<r(1-4 \theta)$ переходит внутрь круга $|z|<r(1-3 \theta)$. Функция $f=\lambda z+f$ в силу (3.4) отображает этот круг в круг Наконец, в силу леммы 2 в этом круге определено отображение $v^{-1}$ и, следовательно, $\Phi$ определено при $|\zeta|<r(1-4 \theta)$. Для оценки $\Phi$ перепишем соотношение $v \circ \Phi=f \circ v$ с помощью $\widehat{v}=v-\zeta, \widehat{f}=f-\lambda z$, $\widehat{\Phi}=\Phi-\lambda \zeta$. Получим Так как $\widehat{v}$ является решением уравнения (3.2), то Оценивая правую часть с помощью теоремы о среднем значении, получаем Мы использовали в этой оценке тот факт, что в силу (3.4) Следовательно, при $|\zeta|<(1-4 \theta) r$ в силу (3.3) Сужая область до круга $|\zeta|<(1-5 \theta) r$ и применяя неравенства Коши, получаем Лемма полностью доказана. намного ближе к линейному отображению. Будем повторять эту конструкцию и покажем, что полученная последовательность отображений $f_{n}$ сойдется. В самом деле, если $f_{n}=\lambda z+\widehat{f}_{n}$ и в круге $|z|<r_{n}$ то из леммы 3 следует, что отображение $f_{n+1}=v_{n}^{-1} \circ f_{n} \circ v_{n}$ удовлетворяет в круге $|z|<r_{n+1}$ соотношению Радиусы кругов $r_{n}$ должны убывать, и поэтому мы выберем Определим тогда $\theta=\theta_{n}$ с помощью соотношения $\frac{r_{n+1}}{r_{n}}=1-5 \theta_{n}$ так, что Для того чтобы доказать сходимость к линейному отображению, достаточно показать, что последовательность $\varepsilon_{n}$, определяемая равенством (3.5), стремится к нулю. Из (3.5) и (3.7) находим Конечно, последовательность $\varepsilon_{n}^{\prime}=c_{2}^{n+2} \varepsilon_{n}$ удовлетворяет неравенству $\varepsilon_{n+1}^{\prime} \leqslant \varepsilon_{n}^{\prime 2}$, т.е. для $\varepsilon_{0}^{\prime}=c_{2}^{2} \varepsilon_{0}<1$ последовательность $f_{n}$ сходится. Мы должны проверить еще выполнение неравенств (3.4) для $\theta=\theta_{n}$, $\varepsilon=\varepsilon_{n}$, но это очевидно при достаточно малом $\varepsilon_{0}$, так как последовательность $\varepsilon_{n}$ убывает гораздо быстрее, чем $\theta_{n}$. Таким образом, мы построили последовательность отображений $v_{0}, v_{1}, \ldots, v_{n}, \ldots$, причем $v_{n}$ преобразует отображение $f_{n}$ в $f_{n-1}$, если обозначить данное отображение $f$ через $f_{0}$. Следовательно, отображение $u_{n}=v_{0} \circ v_{1} \circ \ldots \circ v_{n-1}$ преобразует $f$ в Из леммы 2 нетрудно усмотреть, что отображение $u_{n}$ определено в круге $|\zeta|<r_{n-1}$. В самом деле, $v_{n-1}$ отображает круг $|\zeta|<r_{n-1}$ в круг $|\zeta|<r_{n-2}$ и т.д. Более того, из построения отображения $f_{n}$ следует, что оно также определено в этом круге. Bсе $r_{n} \geqslant \frac{r}{2}$ (см. (3.6)), и нетрудно показать, что последовательность $u_{n}$ равномерно сходится в круге $|\zeta|<\frac{r}{2}$. Длн этого рассмотрим произведение $u_{n}^{\prime}=\prod_{ Таким образом, $u_{n}(\zeta) \rightarrow u(\zeta)$ и $f_{n}(\zeta) \rightarrow \lambda \zeta$ и из $(3.8) u^{-1} \circ f \circ u(\zeta)=\lambda \zeta$. Так как $v_{n}(0)=0, v_{n}^{\prime}(0)=1$, то также $u(0)=0, u^{\prime}(0)=1$. Таким образом, изложенная выше конструкция приводит к цели, если только $\varepsilon_{0}=\sup _{|z|<r}\left|\widehat{f}^{\prime}\right|$ выбрано достаточно малым. Этого можно достигнуть, выбирая $r$ достаточно малым, так как $\widehat{f}(0)=\widehat{f}^{\prime}(0)=0$. Теорема Зигеля полностью доказана.
|
1 |
Оглавление
|