После наводящих соображений предыдущего параграфа мы дадим теперь точное доказательство теоремы Зигеля.
Предположим, что данное отображение
\[
z_{1}=f(z)=\lambda z+\widehat{f}(z)
\]

задано в круге $|z|<r$ и что
\[
\left|\widehat{f}^{\prime}\right|<\varepsilon \quad \text { при } \quad|z|<r .
\]

Так как ряд $\widehat{f}$ не содержит постоянного и линейного членов, мы можем сделать $\varepsilon$ сколь угодно малым, выбирая достаточно малое $r$. Пусть, кроме того, число $\lambda$ удовлетворяет неравенствам (1.5) и $0<|\lambda| \leqslant 1$. Первый шаг доказательства состоит в оценке решения уравнения (1.7).

Лемма 1. Если функция $g(\zeta)$ аналитична в круге $|\zeta|<r$, удовлетворяет внутри этого круга неравенству $|g|<\varepsilon$ и $g(0)=g^{\prime}(0)=0$, то функция
\[
v(\zeta)=\sum_{k=2}^{\infty}\left(\lambda^{k}-\lambda\right)^{-1} g_{k} \zeta^{k}
\]

аналитична в том же круге $|\zeta|<r$ и удовлетворяет неравенству $|v|<2 c_{0} \frac{\varepsilon}{\theta^{3}}$ в круге $|\zeta|<r(1-\theta)$, если только $0<\theta<1$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
Из неравенств Коши для коэффициентов аналитической функции следует, что $\left|g_{k}\right|<\varepsilon r^{-k}$. Следовательно,
\[
|v|<\varepsilon c_{0} \sum_{k=2}^{\infty} k^{2}\left|\frac{\zeta}{r}\right|^{k} \leqslant \varepsilon c_{0} \sum_{k=2}^{\infty} k^{2}(1-\theta)^{k} \leqslant \frac{2 \varepsilon c_{0}}{\theta^{3}} .^{1}
\]

В соответствии с описанной в $\S 2$ конструкцией построим преобразование $z=v(\zeta)=\zeta+\widehat{v}(\zeta)$, где
\[
\widehat{v}(\lambda \zeta)-\lambda \widehat{v}(\zeta)=\widehat{f}(\zeta) .^{2}
\]
${ }^{1}$ Мы пользуемся здесь тем, что при $0<x<1$
\[
\sum_{k=2}^{\infty} k^{2} x^{k} \leqslant \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) x^{k}+\sum_{k=1}^{\infty} k x^{k}=\frac{(x+1) x}{(1-x)^{3}} \leqslant \frac{2}{(1-x)^{3}} .
\]

Применяя лемму 1 к функции $g=\zeta \widehat{f}^{\prime}(\zeta)$, находим
\[
\left|\widehat{v}^{\prime}\right|<2 c_{0} \frac{\varepsilon}{\theta^{3}} \quad \text { при } \quad|\zeta|<r(1-\theta) .
\]

Так как $\widehat{v}(0)=0$, то из этого следует, что
\[
|\widehat{v}|<\frac{2 c_{0} \varepsilon}{\theta^{3}} r .
\]

Выясним теперь, где определена функция $v^{-1} \circ f \circ v$. Для этого докажем следующую лемму.

Лемма 2. Если $2 c_{0} \varepsilon<\theta^{4}$ и $0<\theta<\frac{1}{4}$, то отображение $z=v(\zeta)=$ $=\zeta+\widehat{v}(\zeta)$ отображает круг $|\zeta|<r(1-4 \theta)$ внутрь круга $|z|<r(1-3 \theta)$, а образ круга $|\zeta|<r(1-\theta)$ содержит круг $|z|<r(1-2 \theta)$.

ДокаЗательство.
Первая часть утверждения леммы немедленно следует из неравенства (3.3). В самом деле, если $|\zeta|<r(1-4 \theta)$, то из предложенной леммы следует, что
\[
|z| \leqslant|\zeta|+|\widehat{v}|<r\left(1-4 \theta+\frac{2 c_{0} \varepsilon}{\theta^{3}}\right)<r(1-4 \theta+\theta)=r(1-3 \theta) .
\]

Чтобы доказать вторую часть леммы, покажем, что при $|z|<r(1-2 \theta)$ уравнение $\zeta+\widehat{v}=z$ имеет решение из круга $|\zeta|<r(1-\theta)$. В силу теоремы Руше достаточно доказать при $|\zeta|=r(1-\theta)$ неравенство $|\widehat{v}| \leqslant r \theta$, так как $r \theta<|\zeta|-|z|$. Но это неравенство также является следствием неравенства (3.3) и предположения леммы.
Лемма 3. Если
\[
2 c_{0} \varepsilon<\theta^{4} \quad u \quad 0<\varepsilon<\theta<\frac{1}{5},
\]

то отображение $\Phi=v^{-1} \circ f \circ v$ или $\zeta_{1}=\Phi(\zeta)$ определено при $|\zeta|<r(1-5 \theta)=\rho$.
Кроме того, если записать это отображение в виде
\[
\zeta_{1}=\lambda \zeta+\widehat{\Phi}, \quad \text { mo } \quad\left|\widehat{\Phi}^{\prime}\right|<c_{1} \frac{\varepsilon^{2}}{\theta^{4}} \quad \text { при } \quad|\zeta|<\rho,
\]

где $c_{1}<3 c_{0}$.

ДоКазательСТво.

В силу леммы 2 при отображении $v$ круг $|\zeta|<r(1-4 \theta)$ переходит внутрь круга $|z|<r(1-3 \theta)$. Функция $f=\lambda z+f$ в силу (3.4) отображает этот круг в круг
\[
|z| \leqslant r(1-3 \theta)+r \varepsilon<r(1-2 \theta) .
\]

Наконец, в силу леммы 2 в этом круге определено отображение $v^{-1}$ и, следовательно, $\Phi$ определено при $|\zeta|<r(1-4 \theta)$. Для оценки $\Phi$ перепишем соотношение $v \circ \Phi=f \circ v$ с помощью $\widehat{v}=v-\zeta, \widehat{f}=f-\lambda z$, $\widehat{\Phi}=\Phi-\lambda \zeta$. Получим
\[
\widehat{\Phi}+\widehat{v}(\lambda \zeta+\widehat{\Phi})=\lambda \widehat{v}(\zeta)+\widehat{f}(v) .
\]

Так как $\widehat{v}$ является решением уравнения (3.2), то
\[
\widehat{\Phi}=\widehat{v}(\lambda \zeta)-\widehat{v}(\lambda \zeta+\widehat{\Phi})+\widehat{f}(v)-\widehat{f}(\zeta) .
\]

Оценивая правую часть с помощью теоремы о среднем значении, получаем
\[
|\widehat{v}(\lambda \zeta)-\widehat{v}(\lambda \zeta+\Phi)| \leqslant \sup \left|\widehat{v}^{\prime}\right| \sup |\widehat{\Phi}| \leqslant \frac{1}{5} \sup |\widehat{\Phi}| .
\]

Мы использовали в этой оценке тот факт, что в силу (3.4)
\[
\left|\widehat{v}^{\prime}\right|<\frac{2 \varepsilon c_{0}}{\theta^{3}}<\theta<\frac{1}{5} .
\]

Следовательно, при $|\zeta|<(1-4 \theta) r$ в силу (3.3)
\[
\frac{4}{5} \sup |\widehat{\Phi}| \leqslant\left|\widehat{f}(v)-f^{\prime}(\zeta)\right| \leqslant \sup \left|\widehat{f}^{\prime}\right||\widehat{v}|<\varepsilon \frac{2 c_{0} \varepsilon}{\theta^{3}} r .
\]

Сужая область до круга $|\zeta|<(1-5 \theta) r$ и применяя неравенства Коши, получаем
\[
\left|\widehat{\Phi}^{\prime}\right| \leqslant \varepsilon \frac{5}{2} c_{0} \frac{\varepsilon}{\theta^{4}} .
\]

Лемма полностью доказана.
Мы сумели преобразовать первоначальное отображение $f(z)$, которое удовлетворяет условиям (3.1), в новое отображение $\Phi$, которое

намного ближе к линейному отображению. Будем повторять эту конструкцию и покажем, что полученная последовательность отображений $f_{n}$ сойдется. В самом деле, если $f_{n}=\lambda z+\widehat{f}_{n}$ и в круге $|z|<r_{n}$
\[
\left|\widehat{f}_{n}^{\prime}(z)\right| \leqslant \varepsilon_{n},
\]

то из леммы 3 следует, что отображение $f_{n+1}=v_{n}^{-1} \circ f_{n} \circ v_{n}$ удовлетворяет в круге $|z|<r_{n+1}$ соотношению
\[
\left|\widehat{f}_{n+1}^{\prime}\right| \leqslant 2 c_{0} \frac{\varepsilon_{n}^{2}}{\theta_{n}^{4}}=\varepsilon_{n+1} .
\]

Радиусы кругов $r_{n}$ должны убывать, и поэтому мы выберем
\[
r_{n}=\frac{r\left(1+2^{-n}\right)}{2} .
\]

Определим тогда $\theta=\theta_{n}$ с помощью соотношения $\frac{r_{n+1}}{r_{n}}=1-5 \theta_{n}$ так, что
\[
5 \theta_{n}=\frac{1}{2\left(2^{n}+1\right)} .
\]

Для того чтобы доказать сходимость к линейному отображению, достаточно показать, что последовательность $\varepsilon_{n}$, определяемая равенством (3.5), стремится к нулю. Из (3.5) и (3.7) находим
\[
\varepsilon_{n+1} \leqslant c_{2}^{n+1} \varepsilon_{n}^{2}, \quad \text { где } \quad c_{2}=2^{5} c_{0} \quad(n=0,1, \ldots) .
\]

Конечно, последовательность $\varepsilon_{n}^{\prime}=c_{2}^{n+2} \varepsilon_{n}$ удовлетворяет неравенству $\varepsilon_{n+1}^{\prime} \leqslant \varepsilon_{n}^{\prime 2}$, т.е. для $\varepsilon_{0}^{\prime}=c_{2}^{2} \varepsilon_{0}<1$ последовательность $f_{n}$ сходится. Мы должны проверить еще выполнение неравенств (3.4) для $\theta=\theta_{n}$, $\varepsilon=\varepsilon_{n}$, но это очевидно при достаточно малом $\varepsilon_{0}$, так как последовательность $\varepsilon_{n}$ убывает гораздо быстрее, чем $\theta_{n}$. Таким образом, мы построили последовательность отображений $v_{0}, v_{1}, \ldots, v_{n}, \ldots$, причем $v_{n}$ преобразует отображение $f_{n}$ в $f_{n-1}$, если обозначить данное отображение $f$ через $f_{0}$. Следовательно, отображение $u_{n}=v_{0} \circ v_{1} \circ \ldots \circ v_{n-1}$ преобразует $f$ в
\[
f_{n}=u_{n}^{-1} \circ f \circ u_{n} .
\]

Из леммы 2 нетрудно усмотреть, что отображение $u_{n}$ определено в круге $|\zeta|<r_{n-1}$. В самом деле, $v_{n-1}$ отображает круг $|\zeta|<r_{n-1}$

в круг $|\zeta|<r_{n-2}$ и т.д. Более того, из построения отображения $f_{n}$ следует, что оно также определено в этом круге. Bсе $r_{n} \geqslant \frac{r}{2}$ (см. (3.6)), и нетрудно показать, что последовательность $u_{n}$ равномерно сходится в круге $|\zeta|<\frac{r}{2}$. Длн этого рассмотрим произведение $u_{n}^{\prime}=\prod_{
u=0}^{n-1} v_{
u}^{\prime}=\prod_{
u=0}^{n-1}\left(1+\widehat{v}_{
u}^{\prime}\right)$, где производную $v_{
u}^{\prime}$ нужно вычислять в точке $v_{
u+1} \circ \ldots \circ v_{n-1}(\zeta)$. Из оценки, приведенной перед формулой (3.3), следует, что $\left|\widehat{v}_{
u}^{\prime}\right| \leqslant c_{3}^{
u} \varepsilon_{
u}$, и, таким образом, бесконечное произведение $\prod_{
u=0}^{\infty}\left(1+\left|\widehat{v}_{
u}^{\prime}\right|\right) \leqslant c_{4}$ равномерно сходится в круге $|\zeta|<\frac{r}{2}$. Из этого следует, что
\[
\left|u_{n+1}-u_{n}\right| \leqslant c_{4} \sup \left|v_{n}(\zeta)-\zeta\right| \leqslant c_{4}\left|\widehat{v}_{n}\right| \rightarrow 0 .
\]

Таким образом, $u_{n}(\zeta) \rightarrow u(\zeta)$ и $f_{n}(\zeta) \rightarrow \lambda \zeta$ и из $(3.8) u^{-1} \circ f \circ u(\zeta)=\lambda \zeta$. Так как $v_{n}(0)=0, v_{n}^{\prime}(0)=1$, то также $u(0)=0, u^{\prime}(0)=1$.

Таким образом, изложенная выше конструкция приводит к цели, если только $\varepsilon_{0}=\sup _{|z|<r}\left|\widehat{f}^{\prime}\right|$ выбрано достаточно малым. Этого можно достигнуть, выбирая $r$ достаточно малым, так как $\widehat{f}(0)=\widehat{f}^{\prime}(0)=0$. Теорема Зигеля полностью доказана.