a) В §5 мы убедились, что любое минимальное слоение, листы которого являются графиками, может быть описана функцией $U=$ $=U(x, \theta)$, удовлетворяющей дифференциальному уравнению в частных производных (5.9) для некоторого вектора $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$, а также условию

периодичности (5.3) и условию монотонности по $\theta$. Сейчас мы рассмотрим нахождение такой функции $U$ как аналитическую задачу, отдельно от ее связи со слоениями и опишем непосредственное построение $U$, основанное на регуляризованной вариационной задаче.

Отметим, что уравнения (5.9) можно рассматривать как уравнения Эйлера задачи
\[
\int_{\bar{Q}} F(x, U, D U) d x d \theta,
\]

где $\bar{Q}=[0,1]^{n+1}$ и $D_{
u}=\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{\theta}$. Это интеграл на $(n+1)$-мерном кубе, и хотя $F$ удовлетворяет условию Лежандра для вариационной задачи (1.7), условию Лежандра для (8.1) она не удовлетворяет. Поэтому эта задача вырождается. Вторая трудность, связанная с (8.1), заключается в том, что мы требует монотонность экстремали по $\theta$; это затрудняет вывод уравнений Эйлера для экстремалей. Обе эти трудности преодолеваются с помощью аппроксимации (8.1) невырожденной вариационной задачей
\[
\int_{\bar{Q}}\left(\frac{\varepsilon}{2} U_{\theta}^{2}+F(x, U, D U)\right) d x d \theta,
\]

которая при $\varepsilon>0$ имеет гладкие минимали, удовлетворяющие условиям периодичности (5.3), они автоматически строго монотонны по $\theta$. Нужные решения (5.9) будут получены при вычислении предела при $\varepsilon \downarrow 0$. При взятии предела возможна потеря регулярности и мы снова приходим к двум случаям А) или В), в зависимости от того, непрерывная или нет предельная функция. Эти случаи не различаются при данной процедуре, которая работает при произвольном $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$.
б) Сначала мы обсудим вопросы существования и регулярности для задачи (8.1) и положим более обобщенно
\[
J(U)=\int_{\bar{Q}} G(x, U, \bar{D} U) d x d \theta,
\]

где в примере, упомянутом ранее,
\[
\begin{array}{c}
G(\bar{x}, \bar{p})=\frac{\varepsilon}{2} p_{n+1}^{2}+F(\bar{x}, p), \\
D_{
u}=\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{\theta}, \quad D_{n+1}=-\partial_{\vartheta}, \quad \bar{D}=\left(D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n+1}\right) .
\end{array}
\]

Однако, в более общем смысле, можно предположить, что $G \in C^{2, \eta}\left(T^{n+1} \times \mathbb{R}^{n+1}\right)$ удовлетворяет условию Лежандра по $\bar{p}$ и условию квадратичного роста по $\bar{p}$, по аналогии с (1.8). Для $\varepsilon>0$ функция $G$ задачи (8.3) удовлетворяет этим условиям, хотя и не равномерно, при $\varepsilon \rightarrow 0$.
Для $J(U)$ рассмотрим пространство допустимых функций
\[
\mathcal{A}=\left\{U \mid U(x, \theta)-\theta \in H^{1,2}\left(T^{n+1}\right)\right\}
\]

и минимизируем $J$ по $U \in \mathcal{A}$. По условию квадратичного роста $J$ определено на $\mathcal{A}$ и полунепрерывно снизу по условию Лежандра. Отметим, что $U^{0}=\theta$ принадлежит $\mathcal{A}$ и
\[
J\left(U^{0}\right)=\int_{\bar{Q}} G(x, \theta, \bar{\alpha}) d x d \theta=c_{1} .
\]

Таким образом, $\mathcal{A}
eq \varnothing$.
Стандартное доказательство из теории вариационного исчисления показывает, что $\min J(U)$ находится в $\mathcal{A}$.

Далее существенным будет то, что функционал $J$ инвариантен относительно переносов $U(x, \theta) \rightarrow U(x, \theta+$ const $)$. В частности, поскольку $U(x, \theta+1)-U(x, \theta)=1$, получим
\[
\int_{\bar{Q}}(U(x, \theta+s)-U(x, \theta)) d x d \theta=s
\]

и можно нормализовать $U$ так, что
\[
\int_{\bar{Q}} U(x, \theta) d x d \theta=0 .
\]

Для нормализованной таким образом минимали получим оценку для $\int_{\bar{Q}}\left(U^{2}+|
abla U|^{2}\right) d x d \theta$.

Используя метод Джиаквинты и Джиусти, можно установить поточечные границы и регулярность минимали $U \in C^{2}$, удовлетворяющей уравнениям Эйлера
\[
\sum_{
u=1}^{n+1} D_{
u} G_{p_{
u}}(x, U, \bar{D} U)=G_{x_{n+1}}(x, U, \bar{D} U) .
\]

Предложение 8.1. При вышеупомянутых предположениях на $G$ функционал $J(U)$ достигает минимума в $\mathcal{A}$ на функции $U \in C^{2}$, удовлетворяющей уравнению Эйлера. Если $U=U(x, \theta)$ – минималь, то $U(x, \theta+s)$ также является минималью.

Предложение 8.2. Если $U_{1}, U_{2}$ – два $C^{2}$-решения уравнения Эйлера (8.5), и $U_{1} \leqslant U_{2}$ в открытой связной области $\Omega$, тогда либо $U_{1}<U_{2}$ в $\Omega$, либо $U_{1} \equiv U_{2}$ в $\Omega$.

Предложение 8.3. Если снова $U_{1}, U_{2} \in \mathcal{A}-$ два $C^{2}$-решения уравнения Эйлера (8.5), то существует константа $s$ такая, что
\[
U_{2}(x, \theta)=U_{1}(x, \theta+s),
\]
т.е. эти решения в $\mathcal{A} \cap C^{2}$ единственны с точностью до переноса.

Предложение 8.4. Любое решение уравнения Эйлера $U \in \mathcal{A} \cap C^{2}$ строго монотонно и $\frac{\partial U}{\partial \theta}>0$.

Предложение 8.1 уже обсуждалось, а предложения 8.2-8.4 являются следствиями принципа максимума. В самом деле, поскольку $U_{1}-U_{2}$ может рассматриваться как решение эллиптического дифференциального уравнения в частных производных, оно не может достигать максимума в открытой связной области, что доказывает предложение 8.2. Чтобы доказать предложение 8.3 , положим
\[
f(s)=\min _{x, \theta}\left(U_{1}(x, \theta+s)-U_{2}(x, \theta)\right) .
\]
Т. к. $U_{1}(x, \theta+1)=U_{1}(x, \theta)+1$ для $U_{1} \in A$, заметим, что $f(+\infty)=+\infty$, $f(-\infty)=-\infty$, и поскольку $f$ непрерывна, то существует $s^{*}$ с $f\left(s^{*}\right)=$ $=0$. Применение предложения 8.2 к $U_{1}\left(x, \theta+s^{*}\right) \geqslant U_{2}(x, \theta)$ доказывает предложение 8.3.
Наконец, чтобы доказать предложение 8.4, рассмотрим
\[
g(s)=\min _{x, \theta}(U(x, \theta+s)-U(x, \theta)) .
\]

Утверждается, что $g(s) \geqslant 0$ для $s \geqslant 0$, что влечет монотонность $U$.
Действительно, иначе получим $g(s)<0$ для некоторого положительного $s$, и т. к. снова $g(+\infty)=+\infty$, то найдется положительное $s^{*}$

такое, что $g\left(s^{*}\right)=0$. Применяя предложение 8.2 к $U\left(x, \theta+s^{*}\right) \geqslant U(x, \theta)$, получим
\[
U\left(x, \theta+s^{*}\right)=U(x, \theta) \quad \text { для некоторых } \quad s^{*}>0 .
\]

Из этого следует периодичность $U$, что противоречит неограниченности:
\[
U(x, \theta+m)=U(x, \theta)+m, \quad m \in \mathbb{Z} .
\]

Следовательно, $U$ монотонно и $U_{\theta}(x, \theta) \geqslant 0$. Дифференцируя (8.5) по $\theta$, получим эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных для $U_{\theta}$, и по принципу максимума либо $U_{\theta}>0$, либо $U_{\theta}
ot \equiv 0$. Последний случай исключается из-за неограниченности $U$.

Эти простые следствия принципа максимума и инвариантности $J$ относительно переносов $\theta \rightarrow \theta+$ const приводят к следующим очевидным выводам: минималь функционала $J$ в $\mathcal{A}$ является единственной с точностью до переносов. Фактически, $J$ не имеет других локально ограниченных экстремалей, т.е. не существует других слабых решений (8.5) в $\mathcal{A}$, которые локально ограничены. На самом деле известно (см. [12], [9]), что все локально ограниченные экстремали регулярны, т.е. они являются $C^{2}$-решениями, но представляется возможным, что (8.5) имеет слабые решения в $A$, которые не являются локально ограниченными ${ }^{1}$. С другой стороны, все минимали принадлежат классу $C^{2}$ и самая сложная часть в доказательстве регулярности – это доказательство локальной ограниченности минималей.

Помимо этих возможных нерегулярных экстремалей функционал $J$ не имеет других экстремумов, а только минимум в $\mathcal{A}$.

Доказательство монотонности в предложении 8.4 показывает, что минимали $U=U(x, \theta+s)$ образуют поле экстремалей, однократно покрывающее $T^{n+2}$.
в) Применим эти результаты к функционалу (8.2), который обозначим $J_{\alpha}^{\varepsilon}(U)$, зависимость от $\alpha$ входит через $D_{
u}=\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{\theta}$. В соответствии с ранее полученным результатом существует $C^{2}$-минималь в $\mathcal{A}$, обозначенная $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ такая, что
\[
M^{\varepsilon}(\alpha)=\min _{U \in \mathcal{A}} J_{\alpha}^{\varepsilon}(U)=J_{\alpha}^{\varepsilon}\left(U_{\alpha}^{\varepsilon}\right) .
\]

Кроме того,
\[
\frac{\partial}{\partial \theta} U_{\alpha}^{\varepsilon}>0, \quad \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial \theta} U_{\alpha}^{\varepsilon} d \theta=1
\]

Очень важно получить оценки для $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$, которые не зависят от $\varepsilon>0$.

Предложение 8.5. Существует константа $c>0$, не зависящая от $\varepsilon>0$, зависящая только от $F$, и такая, что для минимали $U=$ $=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ функционала $J_{\alpha}^{\varepsilon}$ выполнено
\[
\left|D_{
u} U\right|_{L^{\infty}}, \quad\left|D_{
u} D_{\mu} U\right|_{L^{\infty}} \leqslant c \quad \text { для } \quad
u, \mu \leqslant n
\]
$u$
\[
\sqrt{\varepsilon}\left|D_{n+1} U\right|_{L^{\infty}} \leqslant c .
\]

Это утверждение показывает, что производные вдоль листов $\theta=(\alpha, x)+$ const ограничены независимо от $\varepsilon$, в то время как трансверсальные к этим листам производные растут не быстрее чем $\varepsilon^{-1 / 2}$. Эффект регуляризующего $\varepsilon$-слагаемого в (8.2) нужен, чтобы сгладить разрывность $U$, подобно тому, как в теории гиперболических дифференциальных уравнений ударные волны сглаживаются слагаемым вязкости.

Доказательство предложения 8.5 может быть получено с помощью масштабного преобразования вариационной задачи
\[
\sigma_{\varepsilon}:(x, \lambda) \rightarrow(x,(\alpha, x)+\sqrt{\varepsilon} \lambda=\theta)
\]

так, чтобы при $V=U \circ \sigma_{\varepsilon}$ выполнялось
\[
\int_{\bar{Q}} \frac{\varepsilon}{2} U_{\theta}^{2}+F(x, U, D U) d x d \theta=\sqrt{\varepsilon} \int_{\sigma_{\varepsilon}^{-1} \bar{Q}} \frac{1}{2} V_{\lambda}^{2}+F\left(x, V, V_{x}\right) d x d \lambda .
\]

Можно заменить $\sigma_{\varepsilon}^{-1} \bar{Q}$ другой фундаментальной областью $\mathbb{R}^{n+1} / \sigma_{\varepsilon}^{-1} \mathbb{Z}^{n+1}$, например
\[
P_{\varepsilon}=\left\{x, \left.\lambda|| x_{
u}\left|\leqslant \frac{1}{2}, \quad\right| \lambda \right\rvert\, \leqslant \frac{1}{2 \sqrt{\varepsilon}}\right\}
\]

и получить для минимали $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ оценку для
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\left|P_{\varepsilon}\right|} \int_{P_{\varepsilon}}\left\{\frac{1}{2} V_{\lambda}^{2}+F(x, V,\right. & \left.\left.V_{x}\right)\right\} d x d \lambda= \\
& =\int_{\bar{Q}}\left\{\frac{\varepsilon}{2} U_{\theta}^{2}+F(x, U, D U)\right\} d x d \theta \leqslant c_{1}(\alpha)
\end{aligned}
\]

с константой, не зависящей от $\varepsilon$. Здесь $\left|P_{\varepsilon}\right|=\varepsilon^{-1 / 2}$ обозначает объем $P_{\varepsilon}$. Такая же оценка верна, конечно, для $2 P_{\varepsilon}$ (с объемом $2^{n+1} \varepsilon^{-1 / 2}$ ) вместо $P_{\varepsilon}$, и, воспользовавшись предположениями о $F$, получим
\[
\frac{1}{\left|2 P_{\varepsilon}\right|} \int_{2 P_{\varepsilon}}\left(V_{\lambda}^{2}+\left|V_{x}\right|^{2}\right) d x d \lambda \leqslant c_{2}(\alpha)
\]

независимо от $\varepsilon$. Мы рассматриваем $2 P_{\varepsilon}$ как объединение кубов
\[
C_{m}=\left\{(x, \lambda) \in \mathbb{R}^{n+1}, \quad\left|x_{
u}\right| \leqslant 1, \quad|\lambda-2 m| \leqslant 1\right\}
\]

для целых $m$ с $|m| \leqslant N=\left[\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}-1\right]$ так, чтобы хотя бы для одного из этих кубов $C=C_{m^{*}}$ выполнялось
\[
\frac{1}{|C|} \int_{C}\left(V_{\lambda}^{2}+\left|V_{x}\right|^{2}\right) d x d \lambda \leqslant c_{2}(\alpha) .
\]

С помощью метода де Джорджи (см., например, [12]), можно получить для этой перенормированной вариационной задачи
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{osc} V \leqslant c_{3}(\alpha) . \\
\frac{1}{2} C
\end{array}
\]

Если соединить это с тем фактом, что $V$ является монотонно возрастающей функцией $\lambda$ и согласно (8.7) удовлетворяет
\[
\int_{-\varepsilon^{-1 / 2}}^{+\varepsilon^{-1 / 2}} \frac{\partial}{\partial \lambda} V d \lambda=2
\]

то из (8.9) легко получить
\[
\underset{P_{\varepsilon}}{\operatorname{osc}} V \leqslant c_{4}(\alpha) .
\]

Сейчас применим стандартную теорию регулярности [12] к перенормированной не зависящей от $\varepsilon$ вариационной задаче (8.8), чтобы получить поточечные оценки для
\[
\left|V_{\lambda}\right|,\left|V_{x}\right|,\left|V_{x x}\right| \leqslant c_{5}(\alpha)
\]

и т.д. в $P_{\varepsilon}$. После преобразования получим утверждения нашего предложения. Это рассуждение было использовано Дензлером [6] в случае $n=1$.
г) Предположим, что $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ – минималь задачи (8.2), нормализованная к виду (8.4). Тогда можно найти стремящуюся к нулю последовательность $\varepsilon_{m}>0$ такую, что
\[
U_{\alpha}^{\varepsilon_{m}} \rightarrow U_{\alpha}^{0} \text { почти всюду }
\]

к функции, удовлетворяющей уравнению Эйлера (5.9), условию периодичности и монотонности. Доказате.ьство зависит от полученных выше оценок и слабой формы уравнений Эйлера для $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ :
\[
\int_{\bar{Q}}\left\{\frac{\varepsilon}{2} \varphi_{\theta} U_{\theta}+\sum_{
u} F_{p_{
u}}(x, U, D U) D_{
u} \varphi+F_{u} \varphi\right\} d x d \theta=0
\]

для всех $\varphi \in C^{1}\left(T^{n+1}\right)$. Т. к. $\sqrt{\varepsilon}\left|U_{\theta}\right|$ равномерно ограничено, легко проверить, что $U=U_{\alpha}^{0}$ удовлетворяет
\[
\int_{\bar{Q}}\left\{\sum_{
u} F_{p_{
u}}(x, U, D U) D_{
u} \varphi+F_{U}(x, U, d U) \varphi\right\} d x d \theta=0
\]

для всех $\varphi \in C^{1}\left(T^{n+1}\right)$, слабой форме (5.9). Таким образом, $U_{\alpha}^{0}(x,(\alpha, x)+$ $+\theta)=u(x)$ при почти всех $\theta$ является решением исходного уравнения Эйлера (1.10). Конечно, в общем случае $U_{\alpha}^{0}$ не будет непрерывной по $\theta$. Мы опустим доказательство того, что $U_{\alpha}^{0}$ почти всюду совпадает с функцией $U^{ \pm}$, построенной в $\S 5$.

На этом завершается наше схематическое обсуждение построения функции $U^{ \pm}$с помощью регуляризованной вариационной задачи.

Стоит заметить, что $(n+1)$-мерный интеграл $J_{\alpha}^{\varepsilon}$ может быть получен из $n$-мерного интеграла с помощью усреднения:
\[
J_{\alpha}^{\varepsilon}(U)=\lim _{r \rightarrow \infty} \frac{1}{\left|B_{r}\right|} \int_{B_{r}}\left(\frac{\varepsilon}{2} U_{\theta}^{2}+F(x, U, D U)\right) d x,
\]

где $\theta=(\alpha, x)+\beta$ для любой $C^{1}$-функции при условии, что $\alpha$ иррационально. Это является следствием равномерного распределения слоения $x_{n+1}=(\alpha, x)+$ const при иррациональном $\alpha$.
д) В заключении покажем, что минимальная энергия $M^{\varepsilon}(\alpha)$, заданная выражением (8.6), является выпуклой функцией $\alpha$. Мы докажем это для $\varepsilon>0$, когда $M^{\varepsilon}(\alpha)$ является гладкой функцией $\alpha$, затем с помощью предельного перехода докажем выпуклость $M^{0}(\alpha)$. Для $n=1$ выпуклость усреднения минимальной энергии была доказана Обри и Мезером [20]. Похоже, что их доказательство не применимо при $n>1$.

Дифференцируя (8.6) по $\alpha_{
u}$ и используя то, что первая вариация $J_{\alpha}^{\varepsilon}$ обращается в ноль, получим при $\varepsilon>0$ формулу
\[
\frac{\partial}{\partial \alpha_{
u}} M^{\varepsilon}(\alpha)=\int_{\bar{Q}} F_{p_{
u}}(x, U, D U) U_{\theta} d x d \theta,
\]

где $U-$ минималь $U_{\alpha}^{\varepsilon}$. Отметим, чго при $\varepsilon>0 U_{\alpha}^{\varepsilon}$ и $M^{\varepsilon}(\alpha)$ дважды непрерывно дифференцируемы по $\alpha$. Если неявно определить функции $\psi_{
u}(\bar{x})$ с помощью уравнения
\[
\psi_{
u}(x, U(x, \theta))=D_{
u} U(x, \theta),
\]

которые, благодаря (8.7), вполне определены, то получим
\[
\frac{\partial}{\partial \alpha_{
u}} M^{\varepsilon}(\alpha)=\int_{\bar{Q}} F_{p_{
u}}\left(x, x_{n+1}, \psi\right) d \bar{x} .
\]

Вычисление вторых производных $M^{\varepsilon}(\alpha)$ более сложно, но по формуле (8.10) можно предположить, что $M^{\varepsilon}(\alpha)$ зависит от $F$ только через положительно определенный гессиан $F_{p p}$. Это действительно так, и мы приведем результаты вычислений.
Положим
\[
D_{\xi}=\sum_{
u=1}^{n} \xi_{
u} \frac{\partial}{\partial \alpha_{
u}}
\]

и вычислим
\[
D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon}(\alpha)=\sum_{
u, \mu=1}^{n} \xi_{
u} \xi_{\mu} \frac{\partial^{2} M^{\varepsilon}}{\partial \alpha_{
u} \partial \alpha_{\mu}}
\]

При $U=U_{\alpha}^{\varepsilon}$ и
\[
W=W(x, \theta)=U_{\theta}^{-1}\left(D_{\xi} U\right)
\]

получим
\[
\begin{aligned}
D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon}(\alpha)= & \int_{\bar{Q}} U_{\theta}^{2}\left\{\frac{\varepsilon}{2}\left(D_{n+1} W\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}}(x, U, D U)\left(\xi_{
u}+D_{
u} W\right)\left(\xi_{\mu}+D_{\mu} W\right)\right\} d x d \theta,
\end{aligned}
\]

что доказывает выпуклость $M^{\varepsilon}(\alpha)$ для $\varepsilon>0$.
Фактически получена нижняя грань
\[
\begin{array}{rl}
D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon}(\alpha) \geqslant \delta \int_{\bar{Q}} U_{\theta}^{2} \sum_{
u=1}^{n}\left(\xi_{
u}+D_{
u} W\right)^{2} & d x d \theta \geqslant \\
& \geqslant \delta\left(\int_{\bar{Q}}\left(U_{\theta}\right)^{-2} d x d \theta\right)^{-1}|\xi|^{2} .
\end{array}
\]

Это следствие неравенства Шварца
\[
\xi_{
u}^{2}=\left(\int_{\bar{Q}}\left(\xi_{
u}+D_{
u} W\right) d x d \theta\right)^{2} \leqslant \int_{\bar{Q}} U_{\theta}^{2}\left(\xi_{
u}+D_{
u} W\right)^{2} d x d \theta \int U_{\theta}^{-2} d x d \theta .
\]

Подобным образом можно вывести оценку сверху для $D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon}$. Она вытекает из другой формулы для этой производной, которая получена с помощью дифференциального уравнения для $W$. Получим
\[
\begin{aligned}
D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon} & =\int_{\bar{Q}} U_{\theta_{
u}}^{2} \sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}} \xi_{
u} \xi_{\mu} d x d \theta- \\
& -\int U_{\theta}^{2}\left\{\frac{\varepsilon}{2}\left(D_{n+1} W\right)^{2}+\sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}} D_{
u} W D_{\mu} W\right\} d x d \theta
\end{aligned}
\]

что приводит к
\[
D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon} \leqslant c \int_{\bar{Q}} U_{\theta}^{2} d x d \theta|\xi|^{2} .
\]

Оценка (8.12) ясно показывает, что из ограниченности сверху $U_{\theta}$ следует ограниченность сверху $D_{\xi}^{2} M^{\varepsilon}$.

Вычисление второй производной $M^{\varepsilon}$ требует некоторых преобразований вариационной задачи и слишком длинно, чтобы воспроизводить его в этой работе.