(a). Здесь рассматриваются слоения коразмерности 1 на торе $T^{d}$ высокой размерности, листы которых являются экстремалями некоторой вариационной задачи. Частный случай представляет слоение, листы которого являются минимальными поверхностями относительно заданной метрики. Обычно рассматриваются компактные минимальные поверхности, мы же придем к слоениям с некомпактными листами. Назовем такое слоение $у$ стойчивым, если при малых возмущениях вариационной задачи (соответственно, метрики) существует другое слоение, которое является сопряженным к заданному относительно диффеоморфизма, близкого к тождественному. Цель данной работы – установить устойчивость таких слоений при определенных предположениях. В частности, необходимо, чтобы каждый лист был плотным на торе.

С аналитической точки зрения, наш результат приводит к существованию квазипериодических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что обобщает такие утверждения для гамильтоновых систем.

Прежде чем сформулировать результат, проиллюстрируем его на примере слоений минимальных поверхностей на плоском торе. Рассмотрим тор $T^{d}=\mathbb{R}^{d} / \mathbb{Z}^{d}$, обозначим $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{d}$ координаты в $\mathbb{R}^{d}$ и плоскую метрику
\[
d s_{0}^{2}=\sum_{
u=1}^{d} d x_{
u}^{2} .
\]

Тогда для любого вектора $\bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{d}\right)
eq 0$ параллельные гиперповерхности
\[
\sum_{
u=1}^{d} \alpha_{
u} x_{
u}=\text { const }
\]

задают слоение минимальных поверхностей. Не всякое такое слоение будет устойчивым относительно возмущений метрики. Мы должны потребовать, чтобы эти листы были плотны на торе. Это эквивалентно тому условию, что нормаль $\{\lambda \bar{\alpha}\}, \lambda \in \mathbb{R}$ не проходит ни через какой узел решетки $\mathbb{Z}^{d}$, кроме 0 . В действительности, мы должны наложить более строгое ограничение, а именно, чтобы расстояние от этой нормали до узла решетки $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{d} \backslash(0)$ было «не слишком малым». Мы предположим, что существуют положительные константы $\gamma, \tau$ такие, что для всех $\bar{j}=\left(j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{d}\right) \in \mathbb{Z}^{d} \backslash(0)$ выполнено неравенство
\[
\sum_{
u, \mu=1}^{d}\left(\alpha_{
u} j_{\mu}-\alpha_{\mu} j_{
u}\right)^{2} \geqslant \gamma\left(\sum_{
u=1}^{d} j_{
u}^{2}\right)^{-\tau} .
\]

Мы покажем, что при диофантовом условии (1.1) данное слоение действительно будет устойчивым относительно гладких возмущений метрики. С другой стороны, как показал Бангерт [1], при бо́льших возмущениях метрики в общем случае таких минимальных слоений не существует. При возрастании возмущения слоения теряют гладкость и распадаются на «ламинации» (disintedrate to «laminations») [16]. Заметим, что если условие (1.1) нарушается, такое слоение может разрушаться при произвольно малых возмущениях; другими словами, устойчивости может не быть, если нарушено условие (1.1). Необходимость условия (1.1) для устойчивости в случае $d=2$ следует из работы [13].

(b) Чтобы записать задачу в более общей постановке, представим листы слоения в непараметрическом виде: $n=d-1$, положим $x=$ $=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ и запишем гиперповерхность коразмерности 1 в виде
\[
x_{n+1}=u(x), \quad d=n+1 .
\]

В дальнейшем $(n+1)$-векторы будем обозначать $\bar{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)$. Вариационная задача запишется в виде
\[
\int F\left(x, u, u_{x}\right) d x,
\]

где $d x=d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{n}$ и $F=F(\bar{x}, p)$ – гладкая функция периода 1 по первым $d=n+1$ переменным, здесь $p$ меняется в открытом подмножестве в $\mathbb{R}^{n}$. Таким образом
\[
F \in C^{\infty}(\Omega),
\]
$\Omega$ – открытая область в $T^{n+1} \times \mathbb{R}^{n}$ такая, что $\pi(\Omega)=T^{n+1}$, где $\pi$ это проекция $\pi(\bar{x}, p)=\bar{x}$. Потребуем, чтобы функция $F$ удовлетворяла условию Лежандра (Legendre)
\[
\sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}}(\bar{x}, p) \xi_{
u} \xi_{\mu} \geqslant \lambda|\xi|^{2}
\]

для всех $\xi \in \mathbb{R}^{n},(\bar{x}, p) \in \Omega$. Положительную константу можно взять равной 1.

Функции $u$, представляющие листы слоения, должны удовлетворять уравнению Эйлера
\[
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}}\left(F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)\right)=F_{u}\left(x, u, u_{x}\right),
\]

которое является нелинейным дифференциальным уравнением эллиптического типа. Решения уравнения (1.5) называются экстремалями.

Чтобы определить минимальное слоение на торе, поднимем его на $\mathbb{R}^{n+1}$, используя $\mathbb{Z}^{n+1}$-действие.

Определение. Для заданной вариационной задачи (1.3) и $0 \leqslant r \leqslant \infty$ определим $\mathbb{Z}^{n+1}$-инвариантное $C^{r}$ – минимальное слоение как функцию $u \in C^{r}\left(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}\right),(x, \lambda) \rightarrow u=u(x, \lambda)$ такую, что:

(i) Для каждого фиксированного $\lambda \in \mathbb{R}$ функция $u(x, \lambda)$ – это экстремаль уравнения (1.5).
(ii) Для фиксированного $x \in \mathbb{R}^{n}$ это отображение является $C^{r}$-гомеоморфизмом $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}$ таким, что $u(x, \lambda)<u\left(x, \lambda^{\prime}\right)$ при $\lambda<\lambda^{\prime}$ и $\partial u / \partial \lambda>0$ при $r \geqslant 1$.
(iii) Слоение, заданное листами $x_{n+1}=u(x, \lambda), \lambda \in \mathbb{R}^{n+1}$, инвариантно относительно $\mathbb{Z}^{n+1}$-действия.

Мы будем главным образом иметь дело с $C^{\infty}$-слоениями, соответствующими случаю $r=\infty$. Отметим, тем не менее, что даже для $F \in C^{\infty}$ минимальное слоение может не быть дифференцируемым (см. [17]).

Экстремали, представляющие листы минимального слоения, являются частными решениями уравнения Эйлера. Они минимизируют функционал (1.3), взятый по большому шару, среди всех допустимых функций с одинаковыми граничными условиями. Это следует из того, что листы такого слоения можно рассматривать как «поле экстремалей» в смысле вариационного исчисления. Известно, что всякая экстремаль этого поля, для которой выполнено условие (1.4), будет доставлять минимум. Другими словами, поле экстремалей – это всегда поле минимумов. Кроме того, листы минимального слоения, очевидно, не имеют самопересечений на торе $T^{n+1}$. Иными словами, для листов минимального слоения (записанных в непараметрическом виде) имеются только минимальные решения уравнения (1.5) без самопересечений.

Такие минимальные решения уравнения (1.5) без самопересечений были изучены в $[\mathbf{1 6}],[\mathbf{1 7}]$ и $[\mathbf{2}]$ при дополнительном условии роста функции $F$. Из этих работ вытекает, что заданному $\mathbb{Z}^{n+1}$-инвариантному минимальному слоению можно поставить в соответствие единственный «вектор нормали» $\bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n},-1\right)$ такой, что для каждого листа
\[
\sup _{x}|u(x)-(\alpha, x)|<\infty, \quad \alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) .
\]

Кроме того, существует функция $U=U(x, \theta)$,
\[
U(x, \theta)-\theta \in C^{r}\left(T^{d}\right), \quad \partial_{\theta} U(x, \theta)>0, \quad \text { если } r \geqslant 1,
\]

такая, что листы слоения принимают вид
\[
x_{n+1}=U(x,(\alpha, x)+\beta), \quad \beta=\text { const. }
\]

Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только гладкие слоения такого вида.

Геометрический смысл представления (1.6) состоит в следующем. Слоение (1.6) является сопряженным к слоению параллельных гиперповерхностей
\[
x_{n+1}=(\alpha, x)+\beta, \quad \beta=\mathrm{const},
\]

относительно $C^{r}$-гомеоморфизма
\[
\bar{x} \rightarrow(x, U(\bar{x})),
\]

который индуцирует $C^{r}$-гомеоморфизм на торе. В частности, два гладких слоения, отвечающих одному вектору $\alpha$, являются сопряженными.

Таким образом, минимальное слоение (1.6) определяется вектором $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ и функцией $U=U(\bar{x})$, которая должна удовлетворять условиям
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{L}_{\alpha}(F, U)=\sum_{
u=1}^{n} D_{
u} F_{p_{
u}}(x, U, D U)-F_{u}(x, U, D U)=0, \\
D_{
u}=\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{x_{n+1}},
\end{array}
\]
(ii) $U-x_{n+1} \in C^{r}\left(T^{n+1}\right)$,
(iii) $\partial_{x_{n+1}} U>0$.

Здесь уравнение (1.7) (i) уже не имеет эллиптический тип, а является вырожденным. Это уравнение Эйлера-Лагранжа для вырожденной вариационной задачи
\[
\int_{T^{n+1}} F(x, U, D U) d \bar{x},
\]

которая неявно зависит от $\alpha$. Важным свойством этого функционала является его инвариантность относительно сдвига $x_{n+1} \rightarrow x_{n+1}+$ const.

Таким образом, поиск минимальных слоений для функционала (1.3) сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных (1.7). Соотношение (ii) можно рассматривать как граничное условие. Задача устойчивости сводится к задаче о возмущениях для уравнения (1.7). Предположим, что для заданного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ и подынтегральной функции $F^{*} \in C^{\infty}(\Omega)$ определено гладкое решение $U=U^{*}$ уравнения (1.7),
\[
\mathfrak{L}\left(F^{*}, U^{*}\right)=0, \quad U^{*}-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right), \quad \partial_{x_{n+1}} U^{*}>0,
\]

такое, что $\left(x, U^{*}, D U^{*}\right)$ принадлежит области определения $\Omega$ функции $F^{*}$. Пусть $F$ близко к $F^{*}$ в $C^{r}$-топологии. Мы ищем решение уравнения (1.7), в котором $\alpha$ такое же, а $\left|U-U^{*}\right|_{C^{1}}$ достаточно малое, так что $\partial_{x_{n+1}} U>0$ и $(x, U, D U) \in \Omega$. В этом случае решение $U$ определяет при помощи (1.6) слоение, которое отвечает тому же вектору $\alpha$, а потому является сопряженным к невозмущенному слоению.
(c) Чтобы сформулировать наш основной результат, мы наложим на вектор $\alpha$ диофантово условие. Потребуем существование положительных констант $\tau, \gamma$ таких, чтобы неравенство
\[
\sum_{
u=1}^{n}\left(\alpha_{
u} j_{n+1}+j_{
u}\right)^{2} \geqslant \gamma\left(1+j_{n+1}^{2}\right)^{-\tau}
\]

выполнялось для всех $\bar{j}=\left(j_{1}, \ldots, j_{n}, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1} \backslash(0)$. Это условие похоже на (1.1); на самом деле, при $\alpha_{n+1}=-1$ и $|\alpha| \leqslant c$ эти условия эквивалентны с различными константами (см. [17]). Для $\tau>\frac{1}{n}$ и для почти всех $\alpha$ существует константа $\gamma$ такая, что выполнено (1.9) (см., например, [22]). Для простоты мы будем выбирать $\tau$ целым.

Следующая теорема утверждает, что решения уравнения (1.7) существуют, если известно приближенное решение $U^{*}$. Предположим, что для некоторых $M>0$ и $a \in \mathbb{N}$ выполнены соотношения
\[
\begin{aligned}
U^{*} \bar{x}-x_{n+1} & \in C^{a}\left(T^{n+1}\right), \\
\left|U^{*}-x_{n+1}\right|_{C^{a}} & \leqslant M, \quad \partial_{x_{n+1}} U^{*}>M^{-1}, \\
\left(x, U^{*}(\bar{x}), D U^{*}(\bar{x})\right) & \in \Omega \quad \text { для всех } \bar{x} \in T^{n+1}
\end{aligned}
\]

и $\left|\mathfrak{L}\left(F, U^{*}\right)\right|_{C^{\tau}}$ мало́.
Теорема 1. Пусть заданы функция $F \in C^{\infty}(\Omega)$ и вектор $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$, удовлетворяющий условию (1.9). Мы можем найти положительные целые числа $a=a(n, \tau), b=b(n, \tau)$, для которых выполнимо следующее свойство. Для любых $\varepsilon>0, M>0$ найдется $\delta$, зависящее от $n, \tau, \gamma, \varepsilon, M$ и от верхних грании для $|\alpha|$ и для $|F|_{C^{b}(\Omega)}$ такое, что если $U^{*}$ удовлетворяет условиям (1.10) и
\[
\left|\mathfrak{L}\left(F, U^{*}\right)\right|_{C^{\tau}}<\delta,
\]

то существует точное решение $U$ уравнения (1.7) такое, что
\[
\left|U-U^{*}\right|_{C^{2}}<\varepsilon, \quad U^{*}-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right) .
\]

Эта теорема показывает, что необязательно предполагать, что $U^{*}$ является решением уравнения $\mathfrak{L}\left(F^{*}, U^{*}\right)=0$ для некоторого $F^{*}$; достаточно потребовать, чтобы $U^{*}$ было «приближенным решением» уравнения (1.7). Кроме того, нет необходимости требовать, чтобы $U^{*}$ было класса $C^{\infty}$. Отметим также, что условие малости (1.11) зависит лишь от конечного числа производных от $F, U^{*}$, поэтому мы можем гарантировать, что $U \in C^{\infty}$. Это можно использовать наряду с теоремой единственности (см. §5) для доказательства теоремы о регулярности для уравнения (1.7), взяв в качестве $U^{*}$ само решение.

Мы установим точные значения $a$ и $b$ в последующей теореме, где соответствующие условия будут выражены в терминах соболевских норм. Что касается класса дифференцируемости, здесь наши результаты очень грубые. Для получения оптимальных результатов потребовался бы более точный выбор норм, которые приобрели бы довольно сложный вид. Необязательно также предполагать, что $F \in C^{\infty}(\Omega)$, достаточно считать, что $F \in C^{l}(\Omega)$ для некоторого большого $l$.
(d) Мы упомянем о некоторых типичных приложениях.

ПримЕР 1.1. Для подынтегральной функции
\[
F(\bar{x}, p)=\frac{1}{2}|p|^{2}+\lambda V(\bar{x}), \quad V \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right),
\]

уравнение Эйлера превращается в дифференциальное уравнение в частных производных с периодическими коэффициентами
\[
\Delta u=\lambda V_{u}(x, u) .
\]

Тогда теорема 1 обеспечивает существование квазипериодических решений
\[
u(x)=U(x,(\alpha, x)+\beta)
\]

для любого $\alpha$, удовлетворяющего (1.9), и достаточно малого $|\lambda|$. Действительно, выберем в качестве приближенного решения $U^{*}(\bar{x})=x_{n+1}$. Это решение является точным для уравнения (1.7) при $\lambda=0$. Поэтому при помощи выбора $\lambda$ выражение
\[
\mathfrak{L}\left(F, U^{*}\right)=\sum_{
u=1}^{n}\left(\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{x_{n+1}}\right)^{2} U^{*}-\lambda V(\bar{x})=-\lambda V(\bar{x})
\]

можно сделать малым. Здесь нужно иметь в виду, что в формулировке условия малости, $|\lambda|<\lambda^{*}$, число $\lambda^{*}$ зависит от верхней границы для $|\alpha|$. Тем не менее, в этом конкретном примере можно найти квазипериодические решения и для больших $|\alpha|$.

ПРимеР 1.2. Мы упомянем, что наше доказательство, которое будет приведено ниже, также будет давать квазипериодические решения вида (1.6) без каких-либо условий малости на потенциал. Мы снова предположим, что
\[
F(\bar{x}, p)=\frac{1}{2}|p|^{2}+V(\bar{x}),
\]

где $V \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right)$. Тогда для любого $\alpha$, удовлетворяющего (1.9), и $|\alpha|$ достаточно большого существует решение $U$ уравнения (1.7).

Дело в том, что для подынтегральных функций типа (1.13) константу $\delta$ можно выбрать независимо от верхней границы на $|\alpha|$, поскольку $D U$ не входит в нелинейность $V=V(x, U)$. Это уточнение теоремы 1 доказывается непосредственно.

Чтобы получить приближенное решение для $\mathfrak{L}\left(F, U^{*}\right) \sim 0$ в этом случае, мы заменим уравнение (1.7) на
\[
|\alpha|^{2} \partial_{x_{n+1}}^{2} U^{*}=V_{u}(\bar{x}) .
\]

Можно прибавить к $V$ функцию, зависящую только от $x$, так, чтобы уравнение Эйлера не изменилось, и получить $V=\partial_{x_{n+1}} Z(\bar{x})$, $Z \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right)$. Тогда для
\[
U^{*}=x_{n+1}+|\alpha|^{-2} Z(\bar{x}),
\]

очевидно, выполняется
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{L}\left(F, U^{*}\right)=\left(\sum_{
u=1}^{n} D_{
u}^{2}-|\alpha|^{2} \partial_{x_{n+1}}^{2}\right) U^{*}- \\
-\left(V_{u}\left(x, x_{n+1}+|\alpha|^{-2} Z\right)-V_{u}(\bar{x})\right)=O\left(|\alpha|^{-1}\right) .
\end{array}
\]

В этой ситуации теорема дает решение $U$ такое, что
\[
\left|U-x_{n+1}\right|_{C^{2}}=O\left(|\alpha|^{-1}\right) .
\]

ПРимер 1.3. Рассмотрим слоения, листы которых являются минимальными гиперповерхностями относительно метрики $g=\left(g_{
u \mu}(\bar{x})\right) \in C^{\infty}$, близкой к плоской метрике $g^{*}$. В этом случае мы полагаем
\[
F=\left(\sum_{
u, \mu=1}^{n+1} g^{
u \mu}(\bar{x}) p_{
u} p_{\mu}\right)^{1 / 2}(\operatorname{det} g)^{1 / 2}, \quad p_{n+1}=-1, \quad\left(g^{
u \mu}\right)=\left(g_{
u \mu}\right)^{-1} .
\]

Для плоской метрики $g^{*}$, не зависящей от $\bar{x}$, мы можем выбирать $U^{*}=$ $=x_{n+1}$ для любого $\alpha$. Таким образом, наша теорема обеспечивает гладкое минимальное слоение для любого $\alpha$, удовлетворяющего (1.9), и $C^{\infty}$-метрики, достаточно близкой к плоской метрике $g^{*}$. Поскольку условие (1.9) при $|\alpha| \leqslant$ const эквивалентно (1.1), это доказывает утверждение об устойчивости, сформулированное в начале введения, скажем, для $|\alpha| \leqslant 1$. Заменой координат мы всегда можем прийти к этому случаю.

Отметим, что эта подынтегральная не имеет квадратичного роста при $|p| \rightarrow \infty$, уместного для глобальной теории $[\mathbf{1 6}]$. Однако для нашей теоремы никаких условий роста не требуется, поскольку функция $F$ должна быть известна только в области
\[
\Omega=T^{n+1} \times B_{r}(\alpha),
\]

здесь $B_{r}(\alpha)$ – шар в $\mathbb{R}^{n}$ радиуса $r>0$ с центром в $\alpha$ такой, что
\[
\left(x, U^{*}, D U^{*}\right)=(\bar{x}, \alpha)
\]

принадлежит $\Omega$.
(е) Существует обширный список литературы по теории слоений. Мы установим связь между проблемами, затронутыми там, и нашими результатами. Один из центральных изучаемых вопросов – когда слоение будет «натянутым» (taut), т.е. для каких слоений можно найти такую риманову метрику, в которой все листы являются минимумами. Основные результаты по этому вопросу, в частности, для случая компактных слоений, принадлежат Раммлеру (Rummler) [20] и Салливану (Sullivan) $[\mathbf{2 3}]$. Эти авторы также получили критерий, согласно которому метрика, заданная на листах слоения, может быть продолжена на объемлющее пространство таким образом, что листы станут минимальными подмногообразиями. Хефлигер (Haefliger) [5] записал критерий в другом виде, включающем в себя только трансверсальную группу голономии, которая в нашем случае является конечнопорожденной группой коммутирующих диффеоморфизмов окружности. Действительно, для слоения коразмерности один, заданного параллельными гиперповерхностями на $T^{d}$ в начале статьи, этот критерий гласит, что любая $C^{\infty}$-метрика, определенная на листах, может быть продолжена до метрики на $T^{d}$ такой, что листы являются минимальными гиперповерхностями в точности, если выполнено диофантово условие (1.1). В работе $[\mathbf{6}]$ были изучены другие действия окружности.

В этих работах ищется слоение и имеется метрика такая, что листы являются минимумами относительно этой метрики. Здесь же нас интересует обратная задача: определить по заданной метрике минимальное слоение из некоторого класса сопряженности. В отличие от тех работ, которые имеют дело со слоениями произвольной размерности $q$ и произвольными многообразиями $M$, мы ограничимся частным случаем, а именно, $q=1, M=T^{d}$, и будем рассматривать только малые возмущения метрики. С аналитической точки зрения наша задача нелинейная, а вышеупомянутая задача продолжения линейная. Однако следует отметить, что существует тесная связь между этими проблемами, поскольку разрешимость линеаризованного уравнения в нашей задаче имеет отношение к задаче продолжения метрики, заданной на листах. Можно ожидать, что минимальное слоение коразмерности один на компактном многообразии $M$ будет устойчивым, всякий раз когда имеется свойство продолжения, т. е. любую метрику на листах можно продолжить на $M$, так что листы станут минимумами, для тора $T^{d}$ это действительно выполнено; мы надеемся вернуться к этому вопросу в будущем.

К сожалению, термин «устойчивость слоения» может ввести в заблуждение, поскольку он был использован Раммлером $[\mathbf{2 0}]$ в несколько ином смысле, в котором он применим только к компактным слоенинм. Мы имеем в виду понятие структурной устойчивости динамических систем, т.е. устойчивость минимального слоения означает здесь, что при малых возмущениях метрики имеется сохранение слоения в том же классе эквивалентности.
(f) Теорему 1 можно рассматривать в контексте предыдущей статьи $[16]$, в которой были построены обобщенные решения вырожденного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа при определенных ограничениях на квадратичный рост функции $F$. Эти обобщенные решения обычно разрывные; Бангерт [1] в явном виде построил примеры, иллюстрирующие их разрывное поведение. В этом контексте вышеприведенный результат можно рассматривать как теорему регулярности для этих решений, при дополнительных предположениях, а именно, диофантовом условии (1.9) и условии малости (1.11). Обзор этих задач и их связь с гамильтоновой механикой, в частности, с теорией Обри (Aubry) и Мезера (Mather), можно найти в работах $[\mathbf{3}],[\mathbf{1 7}],[\mathbf{1 2}]$.

Эта теорема является в чистом виде распространением теории возмущений инвариантных торов для гамильтоновых систем на диффе-

ренциальные уравнения в частных производных эллиптического типа. Действительно, для $n=1$ она совпадает с теоремой о сохранении инвариантных торов на некоторой изоэнергетической поверхности для систем с двумя степенями свободы, слоение соответствует двумерному тору
\[
(x, \theta) \rightarrow(x, U(x, \theta), D U(x, \theta))
\]

в трехмерном фазовом пространстве.
Мы отметим, что традиционное доказательство этих результатов основывается на теории преобразований, т.е. на использовании канонических преобразований. Поскольку для дифференциальных уравнений в частных производных канонические преобразования по существу определяются продолжением точечных преобразований $[\mathbf{1 9}]$, мы вынуждены отказаться от такого способа. Мы действительно можем без него обойтись, последующее доказательство, основанное на изучении уравнений Эйлера в конфигурационном пространстве (вместо гамильтоновых уравнений в фазовом пространстве), в известном смысле, значительно проще, чем ранние доказательства, по крайней мере, применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тем не менее, основная идея – использование быстро сходящегося итерационального метода – остается той же самой. Для гамильтоновых систем с более чем двумя степенями свободы появляется дополнительная сложность из-за некоммутативности матриц. Недавно Саламон (Salamon) и Цендер (Zehnder) [21] нашли изящный способ преодоления этой сложности и, таким образом, получили простое доказательство теоремы об инвариантных торах для гамильтоновых систем с $n$ степенями свободы.

Для дифференциальных уравнений в частных производных можно также свести эту задачу к решению линейных, но вырожденных дифференциальных уравнений. Сложности, которые появляются при решении таких уравнений, включая малые знаменатели, можно преодолеть с помощью приема, который использовал С. М. Козлов при изучении линейной задачи о собственных значениях $[\mathbf{1 0}]$. Дифференциальные уравнения можно записать в таком виде, который содержит только дифференциальные операторы $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ уравнения (1.7), это приводит к довольно простым априорным $L^{2}$-оценкам. Короче говоря, после этих предварительных преобразований теорему 1 можно доказать с помощью обычного итерационального мегода, работая с соболевскими нормами (включая отрицательные) вместо гёльдеровских. Далее мы при-

держиваемся подхода, изложенного в [15], несмотря на то, что он дает довольно грубые результаты. В работе [15] также используются соболевские оценки и выписаны необходимые оценки для норм. Тем не менее, из наших рассуждений видно, что этот результат можно получить из абстрактной теоремы о неявной функции, как это сделал Цендер [24].

В следующем параграфе мы представим (1.7) в регуляризованном виде и сформулируем обобщение теоремы 1 в этом случае. В § 3 мы получим оценки для линеаризованного уравнения. Читателю, знакомому с этими методами из результатов $\S 3$ будет понятно, как действовать дальше. Для полноты мы приведем детали доказательства в $\S 4$.