Вышеперечисленные оценки были справедливы при очень общих предположениях (2.2), которые не учитывают вида уравнений Эйлера, в частности, их эллиптичность. Теперь мы усилим предположения и потребуем
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\text { i) } & F \in C^{l, \varepsilon}\left(\mathbb{R}^{2 n+1}\right), l \geqslant 2, \varepsilon>0 \\
\text { ii) } & F \text { имеет период } 1 \text { по } x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, u . \\
\text { iii) } & \delta|\xi|^{2} \leqslant \sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}}(x, u, p) \xi_{
u} \xi_{\mu} \leqslant \delta^{-1}|\xi|^{2} \\
& \left|F_{p u}\right|+\left|F_{p x}\right| \leqslant c(1+|p|) \\
& \left|F_{u u}\right|+\left|F_{u x}\right|+\left|F_{x x}\right| \leqslant c\left(1+|p|^{2}\right),
\end{array}\right.
\]

с некоторыми константами $\delta \in(0,1), c>0$.
Очевидно, что из этих предположений следует (2.2) с некоторыми положительными константами $\delta_{0}, c_{0}$, значит, наши предыдущие оценки справедливы и для произвольного минимального решения $u(x)$. В частности,
\[
\widehat{u}(x)=u(x)-\alpha(x)-u(0)
\]

равномерно ограничены вличиной $c_{1} \sqrt{1+|\alpha|^{2}}$. При предположениях (3.1) можно показать, что $u$ имеет непрерывные по Гельдеру производные, которые можно равномерно оценить. Для этой цели условие периодичности (3.1) ii) не имеет значения, т. к. были найдены поточечные

границы для $\widehat{u}$. Утонченный метод оценок поточечных границ $\widehat{u}_{x}$ в терминах sup $|\widehat{u}|$ был разработан Ладыженской и Уральцевой [15] и позже расширен и модифицирован Морри [17] (Morrey), Трудингером, Джиаквинта, Джиусти и др. Для обобщения, включающего препятствия и такие условия, см. Айзен [6] (Eisen), чьи доказательства основаны на подходе Ладыженской-Уральцевой. Другой подход, не использующий дивергентную структуру, был разработан Аманном (Amann) и Грэндолом [1] (Grandall) и основан на идее Томи (Tomi).

Теорема 3.1. Пусть и является минимальным решением (2.1) без самопересечений с вектором вращения $\alpha$, где $F=F\left(x, u, u_{x}\right)$ удовлетворяет (3.1) i) и iii), но необязательно іi). Если и удовлетворяет
\[
|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y| \leqslant c_{1} \sqrt{1+|\alpha|^{2}},
\]

тогда $u \in C^{l, \varepsilon}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ для некоторого положительного $\varepsilon$, не зависящего от $и$, но зависящего от $|\alpha|, c, \delta$ и
\[
\left|u_{x}\right|_{C^{\varepsilon}} \leqslant \gamma_{1},
\]

где $\gamma_{1}$ – константа, зависящая от $c, \delta u|\alpha|$.
В дальнейшем константы, зависящие только от $c, \delta$ и $|\alpha|$, будем обозначать $\gamma, \gamma_{1}$ и др., и предполагается, что они являются монотонными возрастающими функциями от $|\alpha|$. Заметим, что обычно $\gamma_{1}$ возрастает быстрее линейной функции, даже для $n=1$ она может возрастать экспоненциально относительно $|\alpha|$.

Сведем доказательство к результатам Ладыженской и Уральцевой. Отметим, что
\[
v(x)=u(x)-u(0)-\alpha \cdot x
\]

является минимальным решением вариационной задачи
\[
\int \tilde{F}\left(x, v, v_{x}\right) d x,
\]

где
\[
\widetilde{F}\left(x, v, v_{x}\right)=F\left(x, u(0)+\alpha \cdot x+v, \alpha+v_{x}\right) .
\]

Исходя из (3.1) iii), имеем
\[
\begin{array}{c}
\delta|\xi|^{2} \leqslant \Sigma \widetilde{F}_{v_{x_{
u} v_{x}}} \xi_{
u} \xi_{\mu} \leqslant \delta^{-1}|\xi|^{2} \\
\left|\widetilde{F}_{v_{x} v}\right|+\left|\widetilde{F}_{v_{x} x}\right|=\left|F_{p u}\right|+\left|F_{p x}+\alpha F_{p u}\right| \leqslant \\
\leqslant c(1+|\alpha|)\left(1+\left|\alpha+v_{x}\right|\right) \leqslant \gamma\left(1+\left|v_{x}\right|\right)
\end{array}
\]

и аналогично
\[
\left|\widetilde{F}_{v v}\right|+\left|\widetilde{F}_{v x}\right|+\left|\widetilde{F}_{x x}\right| \leqslant \gamma\left(1+\left|v_{x}\right|^{2}\right),
\]

при $\gamma=c(1+|\alpha|)^{4}$.
Теперь используем результаты Ладыженской и Уральцевой ([15], глава 4), которые применимы в более общем случае к слабым решениям квазилинейных дифференциальных уравнений
\[
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} a_{
u}\left(x, v, v_{x}\right)+a\left(x, v, v_{x}\right)=0 .
\]

В нашем случае выполняются равенства
\[
a_{
u}\left(x, v, v_{x}\right)=\widetilde{F}_{v_{x_{
u}}}, \quad a\left(x, v, v_{x}\right)=-\widetilde{F}_{v}\left(x, v, v_{x}\right),
\]
(3.2) и (5.7) для $m=2$ в книге [15]. Кроме того, по нашему предположению $|v(x)| \leqslant c_{1} \sqrt{1+\alpha^{2}}=\gamma_{0}$. Следовательно, по теореме 5.2 в [15] (глава 4) $v \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, и существует константа $\gamma_{1}$, зависящая только от $c, \delta$ и $|\alpha|$ такая, что
\[
\left|v_{x}\right| \leqslant \gamma_{1}
\]

для всех $x \in \mathbb{R}^{n}$. Далее, по теореме $6.1[15], v \in C^{1, \varepsilon}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ для некоторого $\varepsilon>0$, тоже зависящего только от $c, \delta$ и $|\alpha|$, и получаем оценку
\[
|v|_{C^{1, \varepsilon}} \leqslant \gamma_{1} \text {. }
\]

Это доказывает теорему (3.1).
Для данного доказательства условие периодичности (3.1) іi) было несущественным. Но если восстановить его, то можно применить теорему 2.1 и получить

Следствие 3.2. Пусть и является минимальным решением (2.1) без самопересечений с вектором вращения $\alpha$, где $F$ удовлетворяет (3.1) i),ii), iii). Тогда $u \in C^{1, \varepsilon} u$
\[
|u(x)-u(0)-\alpha \cdot x|_{C^{1, \varepsilon}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant \gamma_{1}^{\prime} .
\]

Кроме того, все минимальные решения удовлетворяют слабым уравнениям Эйлера
\[
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left(\sum_{
u=1}^{n} \varphi_{x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)+\varphi F_{u}\left(x, u, u_{x}\right)\right) d x=0
\]

для всех $\varphi \in C_{\text {comp }}^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$. Эти формулы имеют смысл, т. к. $u, u_{x}$ являются непрерывными. Фактически, из общей теории следует, что $u \in C^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ и является классическим решением уравнения Эйлера
\[
\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)-F_{u}\left(x, u, u_{x}\right)=0 .
\]

Если $F \in C^{l, \varepsilon}$, следовательно, $u \in C^{l, \varepsilon}$. Для нас количественные оценки теоремы 3.1 будут более важными, чем эти качественные утверждения.

Произвольное минимальное решение $u$ мы связали с вектором вращения $\alpha$, и теперь будем обозначать через $\mathscr{M}(\alpha)$ множество всех минимальных решений без самопересечений, принадлежащих вектору вращения $\alpha$. Кроме того, для $A>0$ положим
\[
\mathscr{M}_{A}=\bigcup_{|\alpha| \leqslant A} \mathscr{M}|\alpha|, \quad \mathscr{M}=\bigcup_{\alpha \in \mathbb{R}^{n}} \mathscr{M}|\alpha| .
\]

В $\mathscr{M}$ используется топология $C^{1}$ на компактных множествах.
Следствие 3.3. Множество $\mathscr{M}_{A} / \mathbb{Z}$ является компактным относительно топологии $C^{1}$ на компактных множествах в $\mathbb{R}^{n}$. Другими словами, любая последовательность $\boldsymbol{u}^{(s)} \in \mathcal{M}_{\Lambda}$ обладпет подпоследовательностью, например $u^{\left(s_{
u}\right)}$, и целым числом $k_{
u}$, для которого $u^{\left(s_{
u}\right)}-k_{
u}$ сходится вместе с первыми производными равномерно на любом компактном множестве к функции $u^{*} \in \mathscr{M}_{A}$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВО.
Это немедленно получается из следствия (3.2). Заменив $u^{(s)}$ на $u^{(s)}+$ целое число, можно предположить, что $0 \leqslant u^{(s)}(0)<1$. Так как для $u^{(s)} \in \mathscr{M}_{A}$ вектор вращения $\alpha^{(s)}$ удовлетворяет $\left|\alpha^{(s)}\right| \leqslant A$, можно взять подпоследовательность, для которой $\alpha^{(s)}$ сходится к вектору $\alpha^{*}$, и по теореме Арцела-Асколи для любого замкнутого шара $B_{\mu}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n},|x| \leqslant \mu\right\}$, существует такая последовательность $s=$ $=s_{
u}^{(\mu)} \rightarrow \infty$, что $u^{(s)}$ сходится в $C^{1}\left(B_{\mu}\right)$ при $
u \rightarrow \infty$. Таким образом диагональная последовательность $u^{(s)}$ для $s=s_{
u}^{(
u)}$ сходится в данной топологии к функции $u^{*} \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$.

Если бы $u^{*}$ не являлась минималью, тогда существовало бы $\varphi \in H_{\text {comp }}^{1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ такое, что
\[
I_{B}\left(u^{*}+\varphi\right)<I_{B}\left(u^{*}\right), \quad \text { где } \quad I_{\Omega}(u)=\int_{\Omega} F\left(x, u, u_{x}\right) d x,
\]

где $B$ – замкнутый шар, содержащий $\operatorname{supp} \varphi$. Если $u^{(s)}$ обозначает ранее упомянутую подпоследовательность, сходящуюся к $u^{*}$, тогда
\[
I_{B}\left(u^{(s)}+\varphi\right) \geqslant I_{B}\left(u^{(s)}\right),
\]
т. к. $u^{(s)} \in \mathscr{M}$. Поскольку $u^{(s)} \rightarrow u^{*}$ в $C^{1}(B)$, то
\[
I_{B}\left(u^{(s)}+\varphi\right) \rightarrow I_{B}\left(u^{*}+\varphi\right)
\]

по теореме о доминантной сходимости. Т.к. также $I_{B}\left(u^{(s)}\right) \rightarrow I_{B}\left(u^{*}\right)$, можно сделать вывод, что $I_{B}\left(u^{*}+\varphi\right) \geqslant I_{B}\left(u^{*}\right)$. Это противоречит ранее указанному. Следовательно, $u^{*}$ является минимальным решением. У него также нет самопересечений. На самом деле, для любого $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}$
\[
\tau_{\bar{j}} u^{(s)}-u^{(s)}=u^{(s)}(x+j)-j_{n+1}-u^{(s)}(x)
\]

либо больше нуля, либо меньше нуля, либо тождественно равно нулю и, таким образом,
\[
\tau_{\bar{j}} u^{*}-u^{*} \geqslant 0 \text { или } \leqslant 0 .
\]

В следующем параграфе в лемме 4.2 мы покажем, что это влечет
\[
\tau_{\bar{j}} u^{*}-u^{*}>0, \text { или }<0, \text { или } \equiv 0,
\]
т. е. $u^{*} \in . \mathcal{M}$.

Чтобы показать, что $u^{*} \in \mathscr{M}_{A}$, докажем, что $\alpha^{*}=\lim _{s \rightarrow \infty} \alpha^{(s)}$ является вектором вращения для $u^{*}$. Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.4. Функиия
\[
\alpha: \mathscr{M}_{A} \rightarrow \mathbb{R}^{n},
\]

сопоставляющая $u \in \mathscr{M}$ его вектор вращения $\alpha=\alpha(u)$ является непрерывной в равномерной топологии на всех компактных множествах $\mathbb{R}^{n}$, а, следовательно, тем более в ранее упомянутой топологии $C^{1}$-сходимости на компактных множествах.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
Пусть $u, v \in \mathscr{M}_{A}$ с векторами вращения $\alpha, \beta$ соответственно. Положим $w=v-u$ и $\gamma=\beta-\alpha$ так, что по теореме 3.1
\[
|w(x)-w(0)-\gamma \cdot x| \leqslant c^{*} \cdot A,
\]

следовательно,
\[
|\beta-\alpha|=|\gamma|=\frac{1}{R} \max _{|x| \leqslant R}(\gamma \cdot x) \leqslant \frac{c^{*} A}{R}+\frac{1}{R} \max _{|x| \leqslant R}|w(x)-w(0)| .
\]

Правую часть можно сделать меньше, чем $2 \varepsilon$, если сначала выбрать $R$ настолько большим, что $c^{*} A R^{-1}<\varepsilon$, и затем для фиксированного $R$ уменьшить второе слагаемое. Таким образом, лемма 3.4 и следствие 3.3 доказаны.