Вышеперечисленные оценки были справедливы при очень общих предположениях (2.2), которые не учитывают вида уравнений Эйлера, в частности, их эллиптичность. Теперь мы усилим предположения и потребуем
$$\{\begin{array}{ll}\text{ i) }& F\in C^{l,\epsilon }\left({\mathbb{R}}^{2n+1}\right),l⩾2,\epsilon >0\\ \text{ ii) }& F\text{ имеет период }1\text{ по }{x}_1,x_2,\dots ,x_n,u.\\ \text{ iii) }& \delta |\xi {|}^2⩽\sum _{u,\mu =1}^n{F}_{p_u{p}_{\mu }}(x,u,p){\xi }_u{\xi }_{\mu }⩽{\delta }^{-1}|\xi {|}^2\\ & \left|F_{pu}\right|+\left|F_{px}\right|⩽c(1+|p|)\\ & \left|F_{uu}\right|+\left|F_{ux}\right|+\left|F_{xx}\right|⩽c(1+|p{|}^2),\end{array}$$

с некоторыми константами $\delta \in (0,1),c>0$.
Очевидно, что из этих предположений следует (2.2) с некоторыми положительными константами ${\delta }_0,c_0$, значит, наши предыдущие оценки справедливы и для произвольного минимального решения $u(x)$. В частности,
$$\hat{u}(x)=u(x)-\alpha (x)-u(0)$$

равномерно ограничены вличиной $c_1\sqrt{1+|\alpha {|}^2}$. При предположениях (3.1) можно показать, что $u$ имеет непрерывные по Гельдеру производные, которые можно равномерно оценить. Для этой цели условие периодичности (3.1) ii) не имеет значения, т. к. были найдены поточечные

границы для $\hat{u}$. Утонченный метод оценок поточечных границ ${\hat{u}}_x$ в терминах sup $|\hat{u}|$ был разработан Ладыженской и Уральцевой [15] и позже расширен и модифицирован Морри [17] (Morrey), Трудингером, Джиаквинта, Джиусти и др. Для обобщения, включающего препятствия и такие условия, см. Айзен [6] (Eisen), чьи доказательства основаны на подходе Ладыженской-Уральцевой. Другой подход, не использующий дивергентную структуру, был разработан Аманном (Amann) и Грэндолом [1] (Grandall) и основан на идее Томи (Tomi).

Теорема 3.1. Пусть и является минимальным решением (2.1) без самопересечений с вектором вращения $\alpha$, где $F=F(x,u,u_x)$ удовлетворяет (3.1) i) и iii), но необязательно іi). Если и удовлетворяет
$$|u(x+y)-u(x)-\alpha \cdot y|⩽c_1\sqrt{1+|\alpha {|}^2},$$

тогда $u\in C^{l,\epsilon }\left({\mathbb{R}}^n\right)$ для некоторого положительного $\epsilon$, не зависящего от $и$, но зависящего от $|\alpha |,c,\delta$ и
$${\left|u_x\right|}_{C^{\epsilon }}⩽{\gamma }_1,$$

где ${\gamma }_1$ — константа, зависящая от $c,\delta u|\alpha |$.
В дальнейшем константы, зависящие только от $c,\delta$ и $|\alpha |$, будем обозначать $\gamma ,{\gamma }_1$ и др., и предполагается, что они являются монотонными возрастающими функциями от $|\alpha |$. Заметим, что обычно ${\gamma }_1$ возрастает быстрее линейной функции, даже для $n=1$ она может возрастать экспоненциально относительно $|\alpha |$.

Сведем доказательство к результатам Ладыженской и Уральцевой. Отметим, что
$$v(x)=u(x)-u(0)-\alpha \cdot x$$

является минимальным решением вариационной задачи
$$\int \tilde{F}(x,v,v_x)dx,$$

где
$$\tilde{F}(x,v,v_x)=F(x,u(0)+\alpha \cdot x+v,\alpha +v_x).$$

Исходя из (3.1) iii), имеем
$$\begin{array}{c}\delta |\xi {|}^2⩽\mathrm{\Sigma }{\tilde{F}}_{v_{x_u{v}_x}}{\xi }_u{\xi }_{\mu }⩽{\delta }^{-1}|\xi {|}^2\\ \left|{\tilde{F}}_{v_{x}v}\right|+\left|{\tilde{F}}_{v_{x}x}\right|=\left|F_{pu}\right|+|F_{px}+\alpha F_{pu}|⩽\\ ⩽c(1+|\alpha |)(1+|\alpha +v_x|)⩽\gamma (1+\left|v_x\right|)\end{array}$$

и аналогично
$$\left|{\tilde{F}}_{vv}\right|+\left|{\tilde{F}}_{vx}\right|+\left|{\tilde{F}}_{xx}\right|⩽\gamma (1+{\left|v_x\right|}^2),$$

при $\gamma =c(1+|\alpha |{)}^4$.
Теперь используем результаты Ладыженской и Уральцевой ([15], глава 4), которые применимы в более общем случае к слабым решениям квазилинейных дифференциальных уравнений
$$\sum _{u=1}^n\frac{\partial }{\partial x_u}{a}_u(x,v,v_x)+a(x,v,v_x)=0.$$

В нашем случае выполняются равенства
$$a_u(x,v,v_x)={\tilde{F}}_{v_{x_u}},a(x,v,v_x)=-{\tilde{F}}_v(x,v,v_x),$$
(3.2) и (5.7) для $m=2$ в книге [15]. Кроме того, по нашему предположению $|v(x)|⩽c_1\sqrt{1+{\alpha }^2}={\gamma }_0$. Следовательно, по теореме 5.2 в [15] (глава 4) $v\in C^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$, и существует константа ${\gamma }_1$, зависящая только от $c,\delta$ и $|\alpha |$ такая, что
$$\left|v_x\right|⩽{\gamma }_1$$

для всех $x\in {\mathbb{R}}^n$. Далее, по теореме $6.1[15],v\in C^{1,\epsilon }\left({\mathbb{R}}^n\right)$ для некоторого $\epsilon >0$, тоже зависящего только от $c,\delta$ и $|\alpha |$, и получаем оценку
$$|v{|}_{C^{1,\epsilon }}⩽{\gamma }_1\text{. }$$

Это доказывает теорему (3.1).
Для данного доказательства условие периодичности (3.1) іi) было несущественным. Но если восстановить его, то можно применить теорему 2.1 и получить

Следствие 3.2. Пусть и является минимальным решением (2.1) без самопересечений с вектором вращения $\alpha$, где $F$ удовлетворяет (3.1) i),ii), iii). Тогда $u\in C^{1,\epsilon }u$
$$|u(x)-u(0)-\alpha \cdot x{|}_{C^{1,\epsilon }\left({\mathbb{R}}^n\right)}⩽{\gamma }_1^{\prime }.$$

Кроме того, все минимальные решения удовлетворяют слабым уравнениям Эйлера
$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}(\sum _{u=1}^n{\phi }_{x_u}{F}_{p_u}(x,u,u_x)+\phi F_u(x,u,u_x))dx=0$$

для всех $\phi \in C_{\text{comp }}^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$. Эти формулы имеют смысл, т. к. $u,u_x$ являются непрерывными. Фактически, из общей теории следует, что $u\in C^2\left({\mathbb{R}}^n\right)$ и является классическим решением уравнения Эйлера
$$\sum _{u=1}^n\frac{\partial }{\partial x_u}{F}_{p_u}(x,u,u_x)-F_u(x,u,u_x)=0.$$

Если $F\in C^{l,\epsilon }$, следовательно, $u\in C^{l,\epsilon }$. Для нас количественные оценки теоремы 3.1 будут более важными, чем эти качественные утверждения.

Произвольное минимальное решение $u$ мы связали с вектором вращения $\alpha$, и теперь будем обозначать через $\mathcal{M}(\alpha )$ множество всех минимальных решений без самопересечений, принадлежащих вектору вращения $\alpha$. Кроме того, для $A>0$ положим
$${\mathcal{M}}_A=\bigcup _{|\alpha |⩽A}\mathcal{M}|\alpha |,\mathcal{M}=\bigcup _{\alpha \in {\mathbb{R}}^n}\mathcal{M}|\alpha |.$$

В $\mathcal{M}$ используется топология $C^1$ на компактных множествах.
Следствие 3.3. Множество ${\mathcal{M}}_A/\mathbb{Z}$ является компактным относительно топологии $C^1$ на компактных множествах в ${\mathbb{R}}^n$. Другими словами, любая последовательность ${\mathit{u}}^{(s)}\in {\mathcal{M}}_{\mathrm{\Lambda }}$ обладпет подпоследовательностью, например $u^{\left(s_u\right)}$, и целым числом $k_u$, для которого $u^{\left(s_u\right)}-k_u$ сходится вместе с первыми производными равномерно на любом компактном множестве к функции $u^{\ast }\in {\mathcal{M}}_A$.

ДоКаЗаТЕЛЬСТВО.
Это немедленно получается из следствия (3.2). Заменив $u^{(s)}$ на $u^{(s)}+$ целое число, можно предположить, что $0⩽u^{(s)}(0)<1$. Так как для $u^{(s)}\in {\mathcal{M}}_A$ вектор вращения ${\alpha }^{(s)}$ удовлетворяет $\left|{\alpha }^{(s)}\right|⩽A$, можно взять подпоследовательность, для которой ${\alpha }^{(s)}$ сходится к вектору ${\alpha }^{\ast }$, и по теореме Арцела-Асколи для любого замкнутого шара $B_{\mu }=\{x\in {\mathbb{R}}^n,|x|⩽\mu \}$, существует такая последовательность $s=$ $=s_u^{(\mu )}\to \mathrm{\infty }$, что $u^{(s)}$ сходится в $C^1\left(B_{\mu }\right)$ при $u\to \mathrm{\infty }$. Таким образом диагональная последовательность $u^{(s)}$ для $s=s_u^{(u)}$ сходится в данной топологии к функции $u^{\ast }\in C^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$.

Если бы $u^{\ast }$ не являлась минималью, тогда существовало бы $\phi \in H_{\text{comp }}^1\left({\mathbb{R}}^n\right)$ такое, что
$$I_B(u^{\ast }+\phi )<I_B\left(u^{\ast }\right),\text{ где }{I}_{\mathrm{\Omega }}(u)={\int }_{\mathrm{\Omega }}F(x,u,u_x)dx,$$

где $B$ — замкнутый шар, содержащий $\mathrm{supp}\phi$. Если $u^{(s)}$ обозначает ранее упомянутую подпоследовательность, сходящуюся к $u^{\ast }$, тогда
$$I_B(u^{(s)}+\phi )⩾I_B\left(u^{(s)}\right),$$
т. к. $u^{(s)}\in \mathcal{M}$. Поскольку $u^{(s)}\to u^{\ast }$ в $C^1(B)$, то
$$I_B(u^{(s)}+\phi )\to I_B(u^{\ast }+\phi )$$

по теореме о доминантной сходимости. Т.к. также $I_B\left(u^{(s)}\right)\to I_B\left(u^{\ast }\right)$, можно сделать вывод, что $I_B(u^{\ast }+\phi )⩾I_B\left(u^{\ast }\right)$. Это противоречит ранее указанному. Следовательно, $u^{\ast }$ является минимальным решением. У него также нет самопересечений. На самом деле, для любого $\overline{j}\in {\mathbb{Z}}^{n+1}$
$${\tau }_{\overline{j}}{u}^{(s)}-u^{(s)}=u^{(s)}(x+j)-j_{n+1}-u^{(s)}(x)$$

либо больше нуля, либо меньше нуля, либо тождественно равно нулю и, таким образом,
$${\tau }_{\overline{j}}{u}^{\ast }-u^{\ast }⩾0\text{ или }⩽0.$$

В следующем параграфе в лемме 4.2 мы покажем, что это влечет
$${\tau }_{\overline{j}}{u}^{\ast }-u^{\ast }>0,\text{ или }<0,\text{ или }\equiv 0,$$
т. е. $u^{\ast }\in .\mathcal{M}$.

Чтобы показать, что $u^{\ast }\in {\mathcal{M}}_A$, докажем, что ${\alpha }^{\ast }=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }^{(s)}$ является вектором вращения для $u^{\ast }$. Это вытекает из следующей леммы.
Лемма 3.4. Функиия
$$\alpha :{\mathcal{M}}_A\to {\mathbb{R}}^n,$$

сопоставляющая $u\in \mathcal{M}$ его вектор вращения $\alpha =\alpha (u)$ является непрерывной в равномерной топологии на всех компактных множествах ${\mathbb{R}}^n$, а, следовательно, тем более в ранее упомянутой топологии $C^1$-сходимости на компактных множествах.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВо.
Пусть $u,v\in {\mathcal{M}}_A$ с векторами вращения $\alpha ,\beta$ соответственно. Положим $w=v-u$ и $\gamma =\beta -\alpha$ так, что по теореме 3.1
$$|w(x)-w(0)-\gamma \cdot x|⩽c^{\ast }\cdot A,$$

следовательно,
$$|\beta -\alpha |=|\gamma |=\frac{1}{R}\underset{|x|⩽R}{max}(\gamma \cdot x)⩽\frac{c^{\ast }A}{R}+\frac{1}{R}\underset{|x|⩽R}{max}|w(x)-w(0)|.$$

Правую часть можно сделать меньше, чем $2\epsilon$, если сначала выбрать $R$ настолько большим, что $c^{\ast }A{R}^{-1}<\epsilon$, и затем для фиксированного $R$ уменьшить второе слагаемое. Таким образом, лемма 3.4 и следствие 3.3 доказаны.