1. Теория Денжуа (Denjoy). В этом и в следующем разделе мы ограничимся рассмотрением случая $n=2$, т.е. четырехмерного тора. Мы приведем специальный пример, иллюстрирующий тот факт, что свойства голоморфного слоения изменяются в резонансном случае, т. е. когда существует точка $j\in {\mathbb{Z}}^4\mathrm{\setminus }(0)$ такая, что
$$(j,\alpha )=0.$$

Этот пример основан на теории Денжуа действительных векторных полей на 2 -торе, содержащих параметр
$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)+\lambda .$$

Здесь $f\in C^{\mathrm{\infty }}\left(T^2\right),\lambda$ — действительный параметр. Если $y=y(x,\lambda ,y_0)$ означает решение с начальным условием $y(0)=y_0$, то
$$\frac{y(x,\lambda ,y_0)}{x}\to \rho (\lambda )\text{ при }x\to \pm \mathrm{\infty },$$

где $\rho (\lambda )$ не зависит от $y_0$, а зависит только от $\lambda$. Число $\rho (\lambda )$ называется числом поворота; это непрерывная функция переменного $\lambda$, а вообще говоря, это канторова функция, которая принимает рациональные значения на интервалах положительной длины. Из теории Денжуа известно, что для иррационального $\rho =\rho (\lambda )$ поток, определяемый уравнением (6.1), является топологически сопряженным к кронекеровскому

потоку: существует гомеоморфизм
$$(x,0)\to (x,y=g(x,0))$$

тора, где $g-\theta \in C\left(T^2\right),g$ строго монотонно возрастает по $\theta$ такой, что каждое решение уравнения (6.1) имеет вид (см. [7])
$$y=g(x,\rho x+{\theta }_0).$$

Другими словами, (6.1) топологически сопряжен к
$$\frac{d\theta }{dx}=\rho ,$$

если $\rho$ рационально.
С другой стороны, если $\rho =p/q$ рационально, то, вообще говоря, (6.1) не является топологически сопряженным к кронекеровскому потоку. Действительно, периодические решения, для которых выполнено
$$y(x+q)=y(x)+p$$

типично изолированные, а для кронекеровского потока они покрывают весь тор.

Теперь легко построить примеры гладких функций $f$ таких, что $\rho (\lambda )$ не постоянно, и таких, что (6.1) не сопряжен к кронекеровскому потоку всякий раз, когда $\rho (\lambda )$ принимает рациональные значения. Такие примеры можно построить при помощи надстройки (содержащей параметр со схожими свойствами) над отображениями окружности (см., например, работу Эрмана (Herman) [12]). В силу известной теоремы Эрмана [12], которую обобщил Йокоз (Yoccoz) [26], сопряженное отображение является гладким, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию.

Мы построим почти комплексную структуру на $T^4$, в которой встречается этот феномен для голоморфных слоений.

2. Псевдоголоморфные кривые как графики. Уравнение Монжа-Ампера (Mouge-Ampere). Мы используем переменные $x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)$ в ${\mathbb{R}}^4$ и запишем поверхность в виде графика
$$y=u(x).$$

Почти комплексная структура задается соотношениями
$$\omega =C^{\prime }(x,y)dx+C^{\prime \prime }(x,y)dy,$$

где
$$C=(C^{\prime },C^{\prime \prime })$$

соответствует $(2\times 4)$-матрица из (2.2). Следовательно, на (6.3) 1-форма $\omega$ сводится к
$$(C^{\prime }(x,u)+C^{\prime \prime }(x,u)u_x)dx.$$

Здесь две компоненты — это формы, которые должны быть линейно независимыми для того, чтобы поверхность (6.3) была псевдоголоморфной. Поэтому дифференциальное уравнение
$$\det (C^{\prime }(x,u)+C^{\prime \prime }(x,u)u_x)=0.$$

Это уравнение является квадратным по первым производным, если $\det C^{\prime \prime }eq0$ :
$$\left(\det C^{\prime \prime }\right)\det u_x+\ell (x,u,u_x)+h(x,u)=0,$$

где функция $\ell$ линейная по первым производным.
Запишем это представление в стандартной комплексной структуре
$${\omega }_1=d{x}_1+id{y}_1,{\omega }_2=d{x}_2+id{y}_2$$

так, что всякая голоморфная функция $h$ приводит к голоморфной кривой $x_2+i{y}_2=h(x_1+i{y}_1)$. Если записать эту кривую в виде $(6.3)$, то дифференциальное уравнение (6.4) превратится в
$$\det (I+i{u}_x)=1-\det u_x+i(u_{1x_1}+u_{2x_2})=0.$$

Чтобы приравнять мнимую часть к нулю, мы положим $u_1={\phi }_2$, $u_2=-{\phi }_{x_1}$, где функция $\phi$ удовлетворяет уравнению Монжа-Ампера
$$\det {\phi }_{xx}=1.$$

3. Пример, иллюстрирующий резонансные эффекты. Рассмотрим почти комплексную структуру
$$\{\begin{array}{l}{\omega }_1=d{x}_1+id{y}_1+ip(x_2,y_1)d{x}_2,\\ {\omega }_2=d{x}_2+id{y}_2+id{x}_1,\end{array}$$

где $p=p(x_2,y_1)$ — действительная, гладкая, ${\mathbb{Z}}^2$-периодическая функция. Можно проверить, что в обозначениях (2.3) $\mathrm{\Delta }=-4eq0$. Кроме того, легко устанавливается, что система (6.6) является интегрируемой тогда и только тогда, когда
$$p_{y_1}\equiv 0,$$
т. е. $p$ не зависит от $y_1$.
Дифференциальное уравнение (6.4) для этого примера имеет вид
$$1+p+u_{1x_2}+p{u}_{2x_1}-\det u_x+i\mathrm{tr}\left(u_x\right)=0.$$

Для $c>0$ мы найдем специальное решение в виде
$$u_1=u_1\left(x_2\right),u_2=c{x}_1,$$

если
$$\frac{d{u}_1}{d{x}_2}+p(x_2,u_1)+\frac{1}{1+c}=0.$$

Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение на торе, и если мы выберем $p=-f,\frac{1}{1+c}=-\lambda$, то мы получим пример (6.1). Обозначим число поворота через $\rho =\rho (c)$. Тогда решение имеет вид
$$u=Ax+\text{ ограниченная функция, }$$

где
$$A=\left(\begin{array}{ll}0& \rho \\ c& 0\end{array}\right).$$

Для вектора $\alpha \in {\mathbb{C}}^4$ в представлении (1.12) мы получим
$$\alpha =\left(\begin{array}{c}{\alpha }^{\prime }\\ A{\alpha }^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ \rho {\alpha }_2\\ c{\alpha }_1\end{array}\right),\text{ где }{\alpha }^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right),\mathrm{Im}\left({\alpha }_1{\overline{\alpha }}_2\right)eq0$$

и, следовательно, для $j=\left(\begin{array}{l}{j}^{\prime }\\ j^{\prime \prime }\end{array}\right)\in {\mathbb{Z}}^4$
$$(j,\alpha )=(j^{\prime },{\alpha }^{\prime })+(j^{\prime \prime },A{\alpha }^{\prime })=(j^{\prime }+A^T{j}^{\prime \prime },{\alpha }^{\prime })=(j_1+c{j}_4){\alpha }_1+(j_2+\rho j_3){\alpha }_2.$$

Таким образом, если $\rho$ (или $c$ ) рациональное, мы получим соотношение $(j,\alpha )=0$ с $jeq0$. С другой стороны, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию
$$|j_2+\rho j_3|⩾c_0^{-1}{\left|j_3\right|}^{-r}\text{ для всех }{j}_3\in \mathbb{Z}\mathrm{\setminus }(0)$$

и $c$ диофантово, то $\alpha$ удовлетворяет диофантову условию (1.11). Если ${\left|p_{y_1}\right|}_{C^1}$ мало́, то наша теорема определяет гладкое слоение гладко сопряженное к параллельным плоскостям. В нашем специальном примере такие слоения получаются из теоремы Эрмана, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию, даже без требования малости $p$. С другой стороны, если $\rho$ принимает рациональные значения, соответствующее слоение не будет даже топологически сопряженным к такому слоению параллельных плоскостей. Это иллюстрирует тот факт, что в случае обращения в ноль $(j,\alpha )$ для некоторого $j\in {\mathbb{Z}}^4\mathrm{\setminus }(0)$ мы имеем различные феномены.

Заметим, что в примере (6.1) функция $f$ может быть выбрана произвольно малой, что соответствует малому $p_{y_1}$. С другой стороны, интегрируемый случай $p_{y_1}=0$ соответствует линейному дифференциальному уравнению (6.1) с $f_y\equiv 0$, которое, очевидно, является сопряженным к кронекеровскому потоку. Это отражает тот факт, что разрушение (break ир) кронекеровского потока встречается только для неинтегрируемых почти комплексных структур.

Мы заметили, что для иррациональных $\rho$ и $c$ соответствующие голоморфные кривые плотны. Можно проверить также, что они имеют тип $\mathbb{C}$, если $\rho$ и $c$ иррациональны, и тип ${\mathbb{C}}^{\ast }$, если $\rho$ иррационально, а $c$ рационально. С другой стороны, если $\rho$ рационально и $c$ иррационально, то мы имеем голоморфные ${\mathbb{C}}^{\ast }$-вложения, которые не плотны на $T^2$. Они соответствуют изолированным периодическим траекториям уравнения (6.1) наряду с соотношением $y_2-c{x}_1=$ const. Наконец, если $\rho$ и $c$ рациональны, то имеется однопараметрическое семейство $T^2$-вложений, заполняющих трехмерный подтор. В последних случаях мы имеем пример голоморфных ${\mathbb{C}}^{\ast }$ или $T^2$-вложений, к которым асимптотически приближаются другие голоморфные кривые.

4. Пример изолированных сохраняющихся псевдоголоморфных вложений. В разделе 2 мы видели, что голоморфные вложения тора либо являются изолированными, либо сохраняются, если комплексная структура задается постоянной матрицей. Аналогичное

утверждение имеет место для близких интегрируемых комплексных структур, поскольку они являются сопряженными к постоянной комплексной структуре. Тем не менее, как будет показано в следующем примере, для почти комплексных структур могут существовать изолированные и сохраняющиеся вложения тора.

Пример. Тор $T^2=\{(x,y)\in T^4,y=0\}$ является голоморфным относительно почти комплексной структуры, заданной соотношениями
$$\{\begin{array}{l}{\omega }_1=d{x}_1+\tau d{x}_2,\\ {\omega }_2=d{y}_1+id{y}_2+\frac{1}{2\pi }((a+b)\sin 2\pi y_1+i(a-b)\sin 2\pi y_2){\overline{\omega }}_1,\end{array}$$

где $a=a(x),b=b(x)$ — гладкие ${\mathbb{Z}}^2$-периодические функции и $\tau \in \mathbb{C}$, $\mathrm{Im}\tau >0$.

Мы покажем, что для $a=0$ и ненулевого постоянного $b$ этот тор является изолированным и сохраняется.
Представим близкие поверхности как графики в виде
$$y_1=f_1(z),y_2=f_2(z),z=x_1+\tau x_2.$$

Эта поверхность является голоморфной, если величина
$$d(f_1+i{f}_2)+\frac{1}{2\pi }((a+b)\sin 2\pi f_1+i(a-b)\sin 2\pi f_2)d\overline{z}$$

кратна ${\omega }_1=dz$. Другими словами, комплексная функция $f=f_1+i{f}_2$ должна удовлетворять уравнению
$$f_{\overline{z}}+\frac{1}{2\pi }((a+b)\sin 2\pi f_1+i(a-b)\sin 2\pi f_2)=0.$$

Тривиальное решение $f=0$ соответствует нашему тору $T^2$. Чтобы доказать, что он является изолированным и сохраняющимся, достаточно показать, что линеаризованное уравнение
$$f_{\overline{z}}+af+b\overline{f}=g$$

имеет единственное решение для любой функции $g\in {\mathbb{C}}^{\mathrm{\infty }}(T^2,\mathbb{C})$. Поскольку индекс этого оператора равен нулю, достаточно доказать единственность в классе ${\mathbb{Z}}^2$-периодических функций. Конечно, здесь рассматривается не общий случай, а частный, при некоторых условиях на $a$ и $b$. Если $a=0,b=$ const, то из
$$f_{\overline{z}}+b\overline{f}=0$$

следует
$$f_{\overline{z}z}=-b(\overline{f}{)}_z=-b\overline{\left(f_{\overline{z}}\right)}=|b{|}^{2}f.$$

Следовательно, умножая это на $\overline{f}$ и интегрируя по частям, мы получим
$${\int }_{T^2}|b{|}^2|f{|}^2={\int }_{T^2}{f}_{\overline{z}z}\overline{f}=-{\int }_{T^2}{\left|f_{\overline{z}}\right|}^2⩽0,$$

откуда следует, что $f=0$, если $beq0$.
Заметим, что линеаризованное уравнение для голоморфного тора для произвольной почти комплексной структуры может быть записано в виде (6.11), где предполагается, что $a=$ const. Это относится к изучению нормальных форм и инвариантов почти комплексных структур на нормальном расслоении голоморфного тора, которые будут представлены в других работах. Однородный вид уравнения (6.11) встречается в теории псевдоаналитических функций (см. [4]).

Если комплексная структура является интегрируемой, то $b=0$. Можно рассматривать $|b|$ как меру неинтегрируемости почти комплексной структуры. Не удивительно, что условие $beq0$ необходимо для единственности решения.