1. Теория Денжуа (Denjoy). В этом и в следующем разделе мы ограничимся рассмотрением случая $n=2$, т.е. четырехмерного тора. Мы приведем специальный пример, иллюстрирующий тот факт, что свойства голоморфного слоения изменяются в резонансном случае, т. е. когда существует точка $j \in \mathbb{Z}^{4} \backslash(0)$ такая, что
\[
(j, \alpha)=0 .
\]

Этот пример основан на теории Денжуа действительных векторных полей на 2 -торе, содержащих параметр
\[
\frac{d y}{d x}=f(x, y)+\lambda .
\]

Здесь $f \in C^{\infty}\left(T^{2}\right), \lambda$ – действительный параметр. Если $y=y\left(x, \lambda, y_{0}\right)$ означает решение с начальным условием $y(0)=y_{0}$, то
\[
\frac{y\left(x, \lambda, y_{0}\right)}{x} \rightarrow \rho(\lambda) \quad \text { при } \quad x \rightarrow \pm \infty,
\]

где $\rho(\lambda)$ не зависит от $y_{0}$, а зависит только от $\lambda$. Число $\rho(\lambda)$ называется числом поворота; это непрерывная функция переменного $\lambda$, а вообще говоря, это канторова функция, которая принимает рациональные значения на интервалах положительной длины. Из теории Денжуа известно, что для иррационального $\rho=\rho(\lambda)$ поток, определяемый уравнением (6.1), является топологически сопряженным к кронекеровскому

потоку: существует гомеоморфизм
\[
(x, 0) \rightarrow(x, y=g(x, 0))
\]

тора, где $g-\theta \in C\left(T^{2}\right), g$ строго монотонно возрастает по $\theta$ такой, что каждое решение уравнения (6.1) имеет вид (см. [7])
\[
y=g\left(x, \rho x+\theta_{0}\right) .
\]

Другими словами, (6.1) топологически сопряжен к
\[
\frac{d \theta}{d x}=\rho,
\]

если $\rho$ рационально.
С другой стороны, если $\rho=p / q$ рационально, то, вообще говоря, (6.1) не является топологически сопряженным к кронекеровскому потоку. Действительно, периодические решения, для которых выполнено
\[
y(x+q)=y(x)+p
\]

типично изолированные, а для кронекеровского потока они покрывают весь тор.

Теперь легко построить примеры гладких функций $f$ таких, что $\rho(\lambda)$ не постоянно, и таких, что (6.1) не сопряжен к кронекеровскому потоку всякий раз, когда $\rho(\lambda)$ принимает рациональные значения. Такие примеры можно построить при помощи надстройки (содержащей параметр со схожими свойствами) над отображениями окружности (см., например, работу Эрмана (Herman) [12]). В силу известной теоремы Эрмана [12], которую обобщил Йокоз (Yoccoz) [26], сопряженное отображение является гладким, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию.

Мы построим почти комплексную структуру на $T^{4}$, в которой встречается этот феномен для голоморфных слоений.

2. Псевдоголоморфные кривые как графики. Уравнение Монжа-Ампера (Mouge-Ampere). Мы используем переменные $x=\left(x_{1}, x_{2}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ в $\mathbb{R}^{4}$ и запишем поверхность в виде графика
\[
y=u(x) .
\]

Почти комплексная структура задается соотношениями
\[
\omega=C^{\prime}(x, y) d x+C^{\prime \prime}(x, y) d y,
\]

где
\[
C=\left(C^{\prime}, C^{\prime \prime}\right)
\]

соответствует $(2 \times 4)$-матрица из (2.2). Следовательно, на (6.3) 1-форма $\omega$ сводится к
\[
\left(C^{\prime}(x, u)+C^{\prime \prime}(x, u) u_{x}\right) d x .
\]

Здесь две компоненты – это формы, которые должны быть линейно независимыми для того, чтобы поверхность (6.3) была псевдоголоморфной. Поэтому дифференциальное уравнение
\[
\operatorname{det}\left(C^{\prime}(x, u)+C^{\prime \prime}(x, u) u_{x}\right)=0 .
\]

Это уравнение является квадратным по первым производным, если $\operatorname{det} C^{\prime \prime}
eq 0$ :
\[
\left(\operatorname{det} C^{\prime \prime}\right) \operatorname{det} u_{x}+\ell\left(x, u, u_{x}\right)+h(x, u)=0,
\]

где функция $\ell$ линейная по первым производным.
Запишем это представление в стандартной комплексной структуре
\[
\omega_{1}=d x_{1}+i d y_{1}, \quad \omega_{2}=d x_{2}+i d y_{2}
\]

так, что всякая голоморфная функция $h$ приводит к голоморфной кривой $x_{2}+i y_{2}=h\left(x_{1}+i y_{1}\right)$. Если записать эту кривую в виде $(6.3)$, то дифференциальное уравнение (6.4) превратится в
\[
\operatorname{det}\left(I+i u_{x}\right)=1-\operatorname{det} u_{x}+i\left(u_{1 x_{1}}+u_{2 x_{2}}\right)=0 .
\]

Чтобы приравнять мнимую часть к нулю, мы положим $u_{1}=\varphi_{2}$, $u_{2}=-\varphi_{x_{1}}$, где функция $\varphi$ удовлетворяет уравнению Монжа-Ампера
\[
\operatorname{det} \varphi_{x x}=1 .
\]

3. Пример, иллюстрирующий резонансные эффекты. Рассмотрим почти комплексную структуру
\[
\left\{\begin{array}{l}
\omega_{1}=d x_{1}+i d y_{1}+i p\left(x_{2}, y_{1}\right) d x_{2}, \\
\omega_{2}=d x_{2}+i d y_{2}+i d x_{1},
\end{array}\right.
\]

где $p=p\left(x_{2}, y_{1}\right)$ – действительная, гладкая, $\mathbb{Z}^{2}$-периодическая функция. Можно проверить, что в обозначениях (2.3) $\Delta=-4
eq 0$. Кроме того, легко устанавливается, что система (6.6) является интегрируемой тогда и только тогда, когда
\[
p_{y_{1}} \equiv 0,
\]
т. е. $p$ не зависит от $y_{1}$.
Дифференциальное уравнение (6.4) для этого примера имеет вид
\[
1+p+u_{1 x_{2}}+p u_{2 x_{1}}-\operatorname{det} u_{x}+i \operatorname{tr}\left(u_{x}\right)=0 .
\]

Для $c>0$ мы найдем специальное решение в виде
\[
u_{1}=u_{1}\left(x_{2}\right), \quad u_{2}=c x_{1},
\]

если
\[
\frac{d u_{1}}{d x_{2}}+p\left(x_{2}, u_{1}\right)+\frac{1}{1+c}=0 .
\]

Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение на торе, и если мы выберем $p=-f, \frac{1}{1+c}=-\lambda$, то мы получим пример (6.1). Обозначим число поворота через $\rho=\rho(c)$. Тогда решение имеет вид
\[
u=A x+\text { ограниченная функция, }
\]

где
\[
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & \rho \\
c & 0
\end{array}\right) .
\]

Для вектора $\alpha \in \mathbb{C}^{4}$ в представлении (1.12) мы получим
\[
\alpha=\left(\begin{array}{c}
\alpha^{\prime} \\
A \alpha^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \\
\alpha_{2} \\
\rho \alpha_{2} \\
c \alpha_{1}
\end{array}\right), \quad \text { где } \quad \alpha^{\prime}=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1} \\
\alpha_{2}
\end{array}\right), \quad \operatorname{Im}\left(\alpha_{1} \bar{\alpha}_{2}\right)
eq 0
\]

и, следовательно, для $j=\left(\begin{array}{l}j^{\prime} \\ j^{\prime \prime}\end{array}\right) \in \mathbb{Z}^{4}$
\[
(j, \alpha)=\left(j^{\prime}, \alpha^{\prime}\right)+\left(j^{\prime \prime}, A \alpha^{\prime}\right)=\left(j^{\prime}+A^{T} j^{\prime \prime}, \alpha^{\prime}\right)=\left(j_{1}+c j_{4}\right) \alpha_{1}+\left(j_{2}+\rho j_{3}\right) \alpha_{2} .
\]

Таким образом, если $\rho$ (или $c$ ) рациональное, мы получим соотношение $(j, \alpha)=0$ с $j
eq 0$. С другой стороны, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию
\[
\left|j_{2}+\rho j_{3}\right| \geqslant c_{0}^{-1}\left|j_{3}\right|^{-r} \quad \text { для всех } \quad j_{3} \in \mathbb{Z} \backslash(0)
\]

и $c$ диофантово, то $\alpha$ удовлетворяет диофантову условию (1.11). Если $\left|p_{y_{1}}\right|_{C^{1}}$ мало́, то наша теорема определяет гладкое слоение гладко сопряженное к параллельным плоскостям. В нашем специальном примере такие слоения получаются из теоремы Эрмана, если $\rho$ удовлетворяет диофантову условию, даже без требования малости $p$. С другой стороны, если $\rho$ принимает рациональные значения, соответствующее слоение не будет даже топологически сопряженным к такому слоению параллельных плоскостей. Это иллюстрирует тот факт, что в случае обращения в ноль $(j, \alpha)$ для некоторого $j \in \mathbb{Z}^{4} \backslash(0)$ мы имеем различные феномены.

Заметим, что в примере (6.1) функция $f$ может быть выбрана произвольно малой, что соответствует малому $p_{y_{1}}$. С другой стороны, интегрируемый случай $p_{y_{1}}=0$ соответствует линейному дифференциальному уравнению (6.1) с $f_{y} \equiv 0$, которое, очевидно, является сопряженным к кронекеровскому потоку. Это отражает тот факт, что разрушение (break ир) кронекеровского потока встречается только для неинтегрируемых почти комплексных структур.

Мы заметили, что для иррациональных $\rho$ и $c$ соответствующие голоморфные кривые плотны. Можно проверить также, что они имеют тип $\mathbb{C}$, если $\rho$ и $c$ иррациональны, и тип $\mathbb{C}^{*}$, если $\rho$ иррационально, а $c$ рационально. С другой стороны, если $\rho$ рационально и $c$ иррационально, то мы имеем голоморфные $\mathbb{C}^{*}$-вложения, которые не плотны на $T^{2}$. Они соответствуют изолированным периодическим траекториям уравнения (6.1) наряду с соотношением $y_{2}-c x_{1}=$ const. Наконец, если $\rho$ и $c$ рациональны, то имеется однопараметрическое семейство $T^{2}$-вложений, заполняющих трехмерный подтор. В последних случаях мы имеем пример голоморфных $\mathbb{C}^{*}$ или $T^{2}$-вложений, к которым асимптотически приближаются другие голоморфные кривые.

4. Пример изолированных сохраняющихся псевдоголоморфных вложений. В разделе 2 мы видели, что голоморфные вложения тора либо являются изолированными, либо сохраняются, если комплексная структура задается постоянной матрицей. Аналогичное

утверждение имеет место для близких интегрируемых комплексных структур, поскольку они являются сопряженными к постоянной комплексной структуре. Тем не менее, как будет показано в следующем примере, для почти комплексных структур могут существовать изолированные и сохраняющиеся вложения тора.

Пример. Тор $T^{2}=\left\{(x, y) \in T^{4}, y=0\right\}$ является голоморфным относительно почти комплексной структуры, заданной соотношениями
\[
\left\{\begin{array}{l}
\omega_{1}=d x_{1}+\tau d x_{2}, \\
\omega_{2}=d y_{1}+i d y_{2}+\frac{1}{2 \pi}\left((a+b) \sin 2 \pi y_{1}+i(a-b) \sin 2 \pi y_{2}\right) \bar{\omega}_{1},
\end{array}\right.
\]

где $a=a(x), b=b(x)$ – гладкие $\mathbb{Z}^{2}$-периодические функции и $\tau \in \mathbb{C}$, $\operatorname{Im} \tau>0$.

Мы покажем, что для $a=0$ и ненулевого постоянного $b$ этот тор является изолированным и сохраняется.
Представим близкие поверхности как графики в виде
\[
y_{1}=f_{1}(z), \quad y_{2}=f_{2}(z), \quad z=x_{1}+\tau x_{2} .
\]

Эта поверхность является голоморфной, если величина
\[
d\left(f_{1}+i f_{2}\right)+\frac{1}{2 \pi}\left((a+b) \sin 2 \pi f_{1}+i(a-b) \sin 2 \pi f_{2}\right) d \bar{z}
\]

кратна $\omega_{1}=d z$. Другими словами, комплексная функция $f=f_{1}+i f_{2}$ должна удовлетворять уравнению
\[
f_{\bar{z}}+\frac{1}{2 \pi}\left((a+b) \sin 2 \pi f_{1}+i(a-b) \sin 2 \pi f_{2}\right)=0 .
\]

Тривиальное решение $f=0$ соответствует нашему тору $T^{2}$. Чтобы доказать, что он является изолированным и сохраняющимся, достаточно показать, что линеаризованное уравнение
\[
f_{\bar{z}}+a f+b \bar{f}=g
\]

имеет единственное решение для любой функции $g \in \mathbb{C}^{\infty}\left(T^{2}, \mathbb{C}\right)$. Поскольку индекс этого оператора равен нулю, достаточно доказать единственность в классе $\mathbb{Z}^{2}$-периодических функций. Конечно, здесь рассматривается не общий случай, а частный, при некоторых условиях на $a$ и $b$. Если $a=0, b=$ const, то из
\[
f_{\bar{z}}+b \bar{f}=0
\]

следует
\[
f_{\bar{z} z}=-b(\bar{f})_{z}=-b \overline{\left(f_{\bar{z}}\right)}=|b|^{2} f .
\]

Следовательно, умножая это на $\bar{f}$ и интегрируя по частям, мы получим
\[
\int_{T^{2}}|b|^{2}|f|^{2}=\int_{T^{2}} f_{\bar{z} z} \bar{f}=-\int_{T^{2}}\left|f_{\bar{z}}\right|^{2} \leqslant 0,
\]

откуда следует, что $f=0$, если $b
eq 0$.
Заметим, что линеаризованное уравнение для голоморфного тора для произвольной почти комплексной структуры может быть записано в виде (6.11), где предполагается, что $a=$ const. Это относится к изучению нормальных форм и инвариантов почти комплексных структур на нормальном расслоении голоморфного тора, которые будут представлены в других работах. Однородный вид уравнения (6.11) встречается в теории псевдоаналитических функций (см. [4]).

Если комплексная структура является интегрируемой, то $b=0$. Можно рассматривать $|b|$ как меру неинтегрируемости почти комплексной структуры. Не удивительно, что условие $b
eq 0$ необходимо для единственности решения.