(a) Доказательство теоремы 3 основано на итерационном построении решения, которое в то же время обеспечивает независимость оценок от $
u$. Поскольку задача была поставлена в виде теоремы о неявной функции, наиболее подходящей для такого построения является работа Цендера $[\mathbf{2 4}]$. Мы также приведем изящные представления Хёрмандера (Hörmander) ([7], [8]), основанные на подходе Нэша (Nash). Тем не менее, эти работы не удается непосредственно применить, поскольку здесь оценки для линеаризованных уравнений несколько слабее, чем требуется там. Мы приведем также формулировку (без доказательства) теоремы о неявной функции, основанной на работе Хермандера, из статьи Ивасаки (Iwasaki) [9], в которой утверждается существование только приближенного решения линеаризованного уравнения. Впоследствии мы применим метод, развитый в работе [15]. Он состоит в поочередном использовании метода Ньютона и процесса сглаживания.
Все эти методы основаны на нахождении приближенного решения линейного уравнения
\[
E^{\prime}(U) V+E(U)=0
\]
здесь $E^{\prime}(U)$ – это производная Фреше функционала $E(U)$, определенного в (2.12). Отметим, что здесь нет необходимости (и возможности) находить приближенное решение уравнения $E^{\prime}(U) V+g=0$ для произвольной функции $g$. Если $U$ – это решение уравнения $E(U)=0$, то дифференцирование по $x_{n+1}$ дает решение $V=U_{x_{n+1}}$ однородного уравнения
\[
E^{\prime}(U) V=0 .
\]
Поэтому разрешимость неоднородного уравнения накладывает условие совместности на $g$.
Чтобы записать это условие совместности, мы введем, следуя Козлову $[\mathbf{1 0}]$, функцию $W=V \cdot U_{x_{n+1}}^{-1}$, зная, что $U_{x_{n+1}}>0$. Тогда это преобразование переводит $V=U_{x_{n+1}}$ в $W=1$.
Эта ситуация выражается следующим равенством
\[
\begin{aligned}
U^{\prime}\left\{E^{\prime}(U)\left(U^{\prime} W\right)\right. & \left.-W \partial_{x_{n+1}} E(U)\right\}= \\
& =\sum_{\mu, \lambda=1}^{n+1} D_{\mu}\left(U^{\prime 2} G_{p_{\mu} p_{\lambda}} D_{\lambda} W\right)=-L(W),
\end{aligned}
\]
здесь $U^{\prime}=\partial_{x_{n+1}} U$, а дифференциальный оператор $L$ определяется из этой формулы. Теперь мы проверим это равенство при помощи непосредственных вычислений; оно вытекает также из формулы преобразования (2.7). Если $E(U)=0$, то можно видеть, что (3.2) представляет собой преобразование дифференциального оператора $E^{\prime}(U)$ в оператор $L$, для которого константа является нулевым решением. Тем не менее, это равенство выполнено в любом случае, даже если $E(U)$ не обращается в нуль.
Чтобы доказать (3.2), запишем
\[
\begin{aligned}
E^{\prime}(U) V & =\sum_{\mu, \lambda=1}^{n+1} D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} D_{\lambda} V\right)-b V, \\
E^{\prime}(U) U^{\prime} & =\sum_{\mu, \lambda=1}^{n+1} D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} D_{\lambda} U^{\prime}\right)-b U^{\prime},
\end{aligned}
\]
где
\[
a_{\mu \lambda}=G_{p_{\mu} p_{\lambda}}(x, U, \bar{D} U), \quad b=\sum_{\mu=1}^{n+1} D_{\mu} G_{p_{\mu} u}-G_{u u} .
\]
Полагая $V=U^{\prime} W$, мы найдем
\[
\begin{aligned}
E^{\prime}(U) U^{\prime} W-W \partial_{x_{n+1}} E(U)= & \sum_{\mu, \lambda}\left\{D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} U^{\prime} D_{\lambda} W\right)+D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} W D_{\lambda} U^{\prime}\right)-\right. \\
& \left.-W D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} D_{\lambda} U^{\prime}\right)\right\}= \\
= & \sum_{\mu, \lambda}\left\{D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} U^{\prime} D_{\lambda} W\right)+a_{\mu \lambda}\left(D_{\mu} W\right)\left(D_{\mu} U^{\prime}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]
Заметим, что это выражение совпадает с
\[
\left(U^{\prime}\right)^{-1} \sum D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda} U^{\prime 2} D_{\lambda} W\right)
\]
откуда следует (3.2).
Для того чтобы найти приближенное решение для (3.1), мы можем воспользоваться этой формулой и, отбрасывая слагаемое $W \partial_{x_{n+1}} E$ второго порядка малости, заменить уравнение (3.1) на
\[
L W=U^{\prime} E(U), \quad V=U^{\prime} W, \quad U^{\prime}=\partial_{x_{n+1}} U .
\]
Это неоднородное уравнение автоматически удовлетворнет условию совместности.
Действительно, в силу (2.8) мы имеем
\[
\int_{T^{d}} U_{x_{n+1}} E(U) d \bar{x}=0 .
\]
Это позволяет нам решать уравнение (3.3) для функции $W$, периодической по всем переменным с периодом 1.
В дальнейшем нам будет нужно получить не зависящие от $
u$ оценки для решений уравнения
\[
L \varphi=g,
\]
где
\[
L \varphi=-\left\{\sum_{
u, \lambda=1}^{n} D_{\mu}\left(a_{\mu \lambda}(\bar{x}) D_{\lambda} \varphi\right)+
u D_{n+1}\left(a_{n+1} D_{n+1} \varphi\right)\right\} .
\]
В наших приложениях мы будем использовать (с изменением обозначений)
\[
a_{\mu \lambda}(\bar{x})={U^{\prime}}^{2} G_{p_{\mu} p_{\lambda}}: \quad a_{n+1}={U^{\prime}}^{2} a_{0},
\]
однако в данный момент мы рассматриваем коэффициенты как известные функции из $C^{\infty}\left(T^{d}\right)$, которые удовлетворяют условию
\[
\sum_{\mu, \lambda=1}^{n} a_{\mu \lambda} \xi_{\mu} \xi_{\lambda}+
u a_{n+1} \xi_{n+1}^{2} \geqslant \sum_{\mu=1}^{n} \xi_{\mu}^{2}+
u \xi_{n+1}^{2}
\]
Такая оценка с множителем, скажем, $\frac{1}{2}$, следует из (2.11), если ${U^{\prime 2}}^{2}>\frac{1}{2}$. В дальнейшем мы будем опускать этот множитель, например, заменяя $G$ на $2 G$.
(b) При $
u>0$ оператор $L$ из (3.5) является эллиптическим и взаимнооднозначно отображает пространство Соболева
\[
H_{0}^{r}=\left\{\varphi \in H^{r} \mid \int_{T^{d}} \varphi d \bar{x}=0\right\}
\]
на $H_{0}^{r-2}$, если $r \geqslant 2$. Для того чтобы получить оценки, которые не зависят от $
u$, нам необходима следующая лемма.
Лемма 3.1. Для $\varphi \in C^{\infty}\left(T^{d}\right)$ мы имеем
\[
\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{0}^{2}+
u\left\|D_{n+1} \varphi\right\|_{0}^{2} \leqslant(L \varphi, \varphi) .
\]
Кроме того, если $\alpha$ удовлетворяет условию (1.9), то для всех действительных г выполнено
\[
\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{r}^{2} \geqslant \gamma\|\varphi\|_{-\tau+r}^{2}, \quad \operatorname{ecлu}(\varphi, 1)=0,
\]
здесь ( , ) означает внутреннее произведение
\[
(\varphi, \psi)=\int_{T^{d}} \varphi \psi d \bar{x}
\]
Доказательство неравенства (3.8) непосредственно следует из (3.5) и (3.7). Неравенство (3.9) сразу вытекает из неравенства (1.9) и представления Фурье функции $\varphi$. Это неравенство отражает снижение гладкости на $\tau$ благодаря «малым знаменателям». Действительно, согласно (1.9) имеется снижение гладкости на $\tau$ только в $x_{n+1}$-направлении. Заменяя $j_{n+1}^{2}$ на $|\bar{j}|^{2}$, мы не учитываем этот факт; хотя его следовало бы рассмотреть, если бы нам нужно было получить лучший порядок гладкости.
Следствие 3.2 (Из леммы (3.1)). При $
u>0$ отображения
\[
L: H_{0}^{1} \rightarrow H_{0}^{-1}
\]
имеет ограниченное обратное. Кроме того, если $g \in H_{0}^{\infty}=\bigcap_{r} H_{0}^{r}$, то единственное решение $\varphi \in H_{0}^{1}$ уравнения $L \varphi=g$ принадлежит $H_{0}^{\infty}$.
В самом деле, первое утверждение следует из (3.8), поскольку для $\varphi \in H_{0}^{1}$ левая часть мажорирует $\|\varphi\|_{1}$, следовательно
\[
\|\varphi\|_{1} \leqslant c(
u)(L \varphi, \varphi) \leqslant c(
u)\|L \varphi\|_{-1}\|\varphi\|_{1} .
\]
Отсюда следует существование и ограниченность $L^{-1}$. Второе утверждение также стандартно, поскольку $L-$ это эллиптический оператор (при $
u>0$ ) с гладкими коэффициентами. Тем не менее, норма $\left\|L^{-1}\right\|$ зависит от $
u$. Чтобы получить не зависящие от $
u$ оценки, покажем, что $L^{-1}$, рассматриваемое как отображение из $H_{0}^{\tau}$ в $H_{0}^{-\tau}$, имеет норму, ограниченную $\gamma^{-1}$.
Следствие 3.3. Для $0 \leqslant
u \leqslant 1$ и $1 H_{0}^{\infty}$ выполняется неравенство
\[
\gamma\|\varphi\|_{-\tau} \leqslant\|L \varphi\|_{\tau} .
\]
Это следует из неравенства (3.9) для $r=0$ и (3.8):
\[
\gamma\|\varphi\|_{-\tau}^{2} \leqslant(L \varphi, \varphi) \leqslant\|L \varphi\|_{\tau}\|\varphi\|_{-\tau} .
\]
(c) Нам нужны аналогичные оценки для $\|\varphi\|_{-\tau+r}$ при больших положительных $r$. Для этого необходимо проверить, как константы зависят
от коэффициентов $a_{\mu \lambda}$. Мы выберем $A>1$ такое, что для заданного положительного целого $r$ выполнено
\[
\sum_{\mu, \lambda=1}^{n}\left\|a_{\mu \lambda}\right\|_{r}+\mid a_{n+1} \|_{r} \leqslant A .
\]
Пусть для некоторой константы $c_{0}$
\[
\sum_{\mu, \lambda=1}^{n}\left|a_{\mu \lambda}\right|_{C^{1}}+\left|a_{n+1}\right|_{C^{1}} \leqslant c_{0} .
\]
Лемма 3.4. В предположениях (3.11), (3.12) для всех $\varphi \in H_{0}^{\infty}$ выполнена оценка
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{r}^{2} & +
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{r}^{2} \leqslant \\
& \leqslant c_{r}\left\{(L \varphi, \varphi)_{r}+A^{2}\left(\sum_{\mu=1}^{n}\left|D_{\mu} \varphi\right|_{0}^{2}+
u\left|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right|_{0}^{2}\right)\right\},
\end{aligned}
\]
где $c_{r}$ зависит от $c_{0}$ и $r$, но не зависит от $
u$ и $A$; здесь $(,)_{r}$ обозначает внутреннее произведение в $H_{0}^{r}$.
При доказательстве (3.13) используется представление
\[
(L \varphi, \varphi)_{r}=\left(\left(1-(2 \pi)^{-2} \Delta\right)^{r} L \varphi, \varphi\right)
\]
и требуется оценка коммутаторов дифференциальных операторов порядка $2 r$ и $L$. Мы опустим выкладки, поскольку они были более или менее подробно проведены Козловым [10]. Они понадобятся в дальнейшем, чтобы проверить зависимость от коэффициентов оператора $L$, выраженную через константу $A$.
(d) Запишем оценку (3.13) в более точном виде. Используя (2.10) и (2.17), мы получим для $r>t>(n+1) / 2$
\[
\begin{aligned}
& \sum_{\mu=1}^{n}\left|D_{\mu} \varphi\right|_{0}^{2}+
u\left|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right|_{0}^{2} \leqslant \sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{t}^{2}+
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{t}^{2} \leqslant \\
\leqslant & \varepsilon^{-t /(r-t)}\left(\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{0}^{2}+
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{0}^{2}\right)+\varepsilon\left\{\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{r}^{2}+
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{r}^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]
Полагая $\varepsilon=\left(2 c_{r} A^{2}\right)^{-1}$, мы можем переписать уравнение (3.13) как
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{r}^{2} & +
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{r}^{2} \leqslant \\
& \leqslant c_{r}^{\prime}\left\{(L \varphi, \varphi)_{r}+A^{2 r /(r-t)}\left(\sum\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{0}^{2}+
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{0}^{2}\right)\right\} .
\end{aligned}
\]
Наконец, используя (3.8), мы можем заменить последнее слагаемое справа на $A^{2 r /(r-t)}(L \varphi, \varphi)_{0}$ и получить для $r>t>(n+1) / 2$
\[
\sum_{\mu=1}^{n}\left\|D_{\mu} \varphi\right\|_{r}^{2}+
u\left\|\partial_{x_{n+1}} \varphi\right\|_{r}^{2} \leqslant c_{r}^{\prime}\left\{(L \varphi, \varphi)_{r}+A^{2 r /(r-t)}(L \varphi, \varphi)_{0}\right\} .
\]
В силу (3.9) левая часть больше, чем $\gamma\|\varphi\|_{-\tau+r}^{2}$ и, поскольку выполнено
\[
(L \varphi, \varphi)_{r} \leqslant\|L \varphi\|_{\tau+r}\|\varphi\|_{-\tau+r},
\]
Мы находим
\[
\gamma\|\varphi\|_{-\tau+r}^{2} \leqslant c_{r}^{\prime \prime}\left\{\|L \varphi\|_{\tau+r}^{2}+A^{2 r /(r-t)}(L \varphi, \varphi)_{0}\right\} .
\]
Наконец, наряду с (3.10) мы имеем
\[
(L \varphi, \varphi)_{0} \leqslant\|L \varphi\|_{\tau}\|\varphi\|_{-\tau} \leqslant \gamma^{-1}\|L \varphi\|_{\tau}^{2} .
\]
Поэтому для всех $\varphi \in H_{0}^{\infty},
u \in(0,1)$ и любого положительного целого $r$ выполнены неравенства
\[
\|\varphi\|_{-\tau} \leqslant \gamma^{-1}\|L \varphi\|_{\tau}, \quad\|\varphi\|_{-\tau+r} \leqslant c_{r}\left\{\|L \varphi\|_{\tau+r}+A^{r /(r-t)}\|L \varphi\|_{\tau}\right\},
\]
где константа $c_{r}$ зависит от $\gamma, c_{0}$, но не зависит от $
u$ и $A$.
Лемма 3.5. Пусть оператор $L$ задан соотношением (3.5) и пусть выполнено (3.7), (3.11), (3.12). Тогда для $
u \in(0,1)$ и $g \in H_{0}^{\infty}\left(T^{d}\right)$ уравнение
\[
L \varphi=g
\]
имеет единственное решение $\varphi \in H_{0}^{\infty}\left(T^{d}\right)$, для которого выполнены не зависящие от $
u$ оценки
\[
\|\varphi\|_{-\tau} \leqslant \gamma^{-1}\|g\|_{\tau}, \quad\|\varphi\|_{-\tau+r} \leqslant c_{r}\left\{\|g\|_{\tau+r}+A^{r /(r-t)}\|g\|_{\tau}\right\} .
\]
(е) С помощью этой леммы мы можем доказать теорему 3, строя решение уравнения $E(U)=0$ из приближенного решения в некоторой не зависящей от $
u$ окрестности. Основной шаг состоит в построении из приближенного решения $U \in C^{\infty}$ с малой $\|E(U)\|_{\tau}$ улучшенного решения $U+V$, где $V$ определяется следующим образом. Пусть $W \in H_{0}^{\infty}\left(T^{d}\right)$ – единственное решение уравнения
\[
L W=U_{x_{n+1}} E(U),
\]
где $L$ определено как и в (3.2). Положим
\[
V=S_{N}\left(U_{x_{n+1}} W\right),
\]
где $S_{N}$ – срезка, описанная в конце $\S 2, N$ – достаточно большое.
Чтобы увидеть, что $U+V$ – улучшенное решение, нужно показать, что $E(U+V)$ меньше, чем $E(U)$ в соответствующей норме. Детали будут приведены в $\S 4$, а здесь мы объясним идею доказательства. Выражение
\[
E(U+V)-E(U)-E^{\prime}(U) V
\]
имсст второй порядою малости по $V$, а значит и по $E(U)$, и мы должны показать, что
\[
E(U)+E^{\prime}(U) V=E(U)+E^{\prime}(U)\left(U_{x_{n+1}} W\right)+E^{\prime}(U)\left(I-S_{N}\right)\left(U_{x_{n+1}} W\right)
\]
мало. Для этого мы используем равенства (3.2) и (3.15) и получим
\[
E^{\prime}(U)\left(U_{x_{n+1}} W\right)=W\left(\partial_{x_{n+1}} E\right)-U_{x_{n+1}}^{-1} L W=W\left(\partial_{x_{n+1}} E\right)-E(U),
\]
поэтому
\[
E(U)+E^{\prime}(U) V=W\left(\partial_{x_{n+1}} E\right)+E^{\prime}(U)\left(I-S_{N}\right)\left(U_{x_{n+1}} W\right) .
\]
Первое слагаемое справа квадратично зависит от $E$, поскольку $W$ можно оценить линейно по $E$. Второе слагаемое можно сделать малым с помощью выбора $N$.
Здесь сглаживающий оператор $S_{N}$ необходим, в силу снижения гладкости в этом процессе. Если $l, \tau$ – целые, $l$ достаточно большое, то
\[
E: H^{l-\tau} \rightarrow H^{l-\tau-2},
\]
так как $E$ – дифференциальный оператор второго порядка. Далее мы рассматриваем $L^{-1}$ как оператор из $H_{0}^{\tau+r}$ в $H_{0}^{-\tau+r}$, поскольку он ограничен независимо от $
u \in(0,1)$ (см. лемму 3.5); следовательно, для $r=l-2 \tau-2$
\[
L^{-1} U_{x_{n+1}} E(U): H^{l-\tau} \rightarrow H^{l-q-\tau},
\]
где $q=2 \tau+2$, характеризует снижение гладкости от $U$ до $\left(U_{x_{n+1}} W\right)$. Подставляя $S_{N}$ и определяя $V$ равенством (3.16), снова получим, что $V \in H^{\infty}\left(T^{d}\right)$, но здесь нужно оценить ошибку. Это будет сделано в следующем параграфе.
