a) В предыдущем параграфе мы доказали для пространств Соболева неравенства (1.3′) и аппроксимационные свойства, выражаемые леммами 1 и 2 . Отметим, что существуют и другие семейства пространств $V^{\rho}$ $(0 \leqslant \rho \leqslant r)$, обладающие этими свойствами. Для удобства перечислим снова нужные нам свойства пространств $V^{\rho}$.

Итак, $V^{\rho}(0 \leqslant \rho \leqslant r)$ – это семейство банаховых пространств $V^{0} \supset V^{\rho} \supset V^{r}$, причем
$\alpha$ ) Норма в $V^{\rho}$ имеет вид $\left(\|v\|_{0}^{2}+\|v\|_{\rho}^{2}\right)^{1 / 2}$, где выражения $\|v\|_{\rho}$ связаны неравенством ${ }^{1}$
\[
\|v\|_{\rho} \leqslant c\|v\|_{0}^{1-\rho / r} \cdot\|v\|_{r}^{\rho / r},
\]

а $c$ зависит только от $n, \rho$ и $r$.
$\beta)$ Если $v \in V^{\rho}$ и $\|v\|_{\rho} \leqslant K$, то для любого $Q>1$ существует элемент $w \in V^{r}$ такой, что
\[
\|v-w\|_{0} \leqslant c K Q^{-\mu}, \quad\|w\|_{r} \leqslant K Q,
\]

где $c$ зависит только от $n, r, \rho$ и $\mu=\frac{\rho}{r-\rho}$.
Обратно, если $v \in V^{0}$ и удовлетворяет неравенствам (2.2) при некотором $w \in V^{r}$ и $K \geqslant\|v\|_{0}$, то $v \in V^{\rho^{\prime}}$, где $\frac{\rho^{\prime}}{r}<\frac{\mu}{\mu+1}$.
b) Очевидно, что пространства векторнозначных функций на торе $v=\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)$, для которых $\|v\|_{\rho}^{2}=\sum_{\mu=1}^{m}\left\|v_{\mu}\right\|_{\rho}^{2}$, где $\left\|v_{\mu}\right\|_{\rho}$ определяется формулами (1.2), удовлетворяют всем сформулированным выше требованиям.
Более интересный пример возникает, если рассмотреть пару норм
\[
|v|_{0}=\max _{x} \sqrt{\sum_{\mu=1}^{m}\left|v_{\mu}\right|^{2}}, \quad\|v\|_{r}=\int v(-\Delta)^{r} v d x .
\]

Пусть $V^{0}$ состоит из всех непрерывных функций с нормой $|v|_{0}$, а $V^{r}-$ из функций с нормой $\left(\|v\|_{r}^{2}+\|v\|_{0}^{2}\right)^{1 / 2}$.

Как определить теперь пространство $V^{\rho}$ для промежуточных значений $\rho$ ? Мы сделаем это только для целых $\rho, 0<\rho<r$. Положим $\|v\|_{\rho}$ равной выражению, стоящему в левой части неравенства
\[
\left\{\sup \int\left|D_{x}^{\rho} v_{\mu}\right|^{2 r / \rho} d x\right\}^{\rho / 2 r} \leqslant c|v|_{0}^{1-\rho / r}\|v\|_{r}^{\rho / r},
\]

где верхняя грань берется по всем производным $D^{\rho}$ порядка $\rho$ от всех компонент $v_{\mu}$ вектор-функции $v$. Константа $c$ зависит только от $r, \rho, n$.

Неравенство (2.3), из которого следует, что норма $\|v\|_{\rho}$ удовлетворяет соотношению (2.1), является частным случаем одной общей теоремы Л. Ниренберга [21], см. также [22].
c) Неравенство (2.3) позволяет оценивать норму суперпозиции двух функций. Пусть $\varphi=\varphi(x, y)$ – функция, определенная при $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)$ с условием $|y|^{2}=\sum_{\mu=1}^{m} y_{\mu}^{2}<1$ и при всех $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и периодическая с периодом $2 \pi$ по аргументам $x_{1}, \ldots, x_{n}$.

Лемма. Допустим, что $\varphi$ имеет частные производные до порядка $r$ включительно, ограниченные общей константой В. Тогда для $\varphi \circ v=\varphi(x, v(x))$ имеет место оценка
\[
\|\varphi \circ v\|_{r} \leqslant c B\left(\|v\|_{r}+1\right)
\]

при условии, что $v \in V^{r} u \max _{x}|v|=|v|_{0}<1$.
ЗамечаниЕ. Эта оценка показывает, что с ростом $\|v\|_{r}$ норма $\|\varphi \circ v\|_{r}$ растет не быстрее, чем линейно, что на первый взгляд не кажется очевидным. ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.

Достаточно доказать неравенство (2.4) для скалярных функций класса $C^{\infty}$. Обозначая через $D^{\rho}$ любую частную производную по аргументам $x_{1}, \ldots, x_{n}$ порядка $\rho$, мы можем найти производную от сложной функции
\[
D_{x}^{r}(\varphi \circ v)=\sum_{\rho+\sigma \leqslant r}\left(D_{x}^{\sigma} \frac{\partial^{\rho} \varphi}{\partial y^{\rho}}\right) \sum_{\alpha} c_{\sigma \rho \alpha}(D v)^{\alpha_{1}}\left(D^{2} v\right)^{\alpha_{2}} \ldots\left(D^{r} v\right)^{\alpha_{r}},
\]

где $c_{\sigma \rho \alpha}$ – константы, а $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}$ – неотрицательные целые числа, удовлетворяющие соотношениям
\[
\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{r}=\sigma, \quad \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\ldots+r \alpha_{r}+\sigma=r .
\]

Эти соотношения можно получить, вычисляя порядок дифференцирования по $y$ и по $x$. Для оценки интегралов от квадратов произведений, встречающихся в правой части (2.5), применим неравенство Гёльдера. Положим
\[
v_{0}=D_{x}^{\sigma} \frac{\partial^{\rho} \varphi}{\partial y^{\rho}}, v_{\lambda}=D^{\lambda} v(\lambda=1, \ldots, r) \quad \text { и } \quad p_{0}=\frac{r}{\sigma}, \alpha_{0}=1, p_{\lambda}=\frac{r}{\lambda \alpha_{\lambda}} .
\]

Получим из (2.6)
\[
\sum_{\lambda=0}^{r} \frac{1}{p_{\lambda}}=1 .
\]

Заметим, что значение $p_{\lambda}=\infty$ допустимо. Из неравенства Гёльдера следует, что
\[
\begin{aligned}
\int \prod_{\lambda=0}^{r} v_{\lambda}^{2 \alpha_{\lambda}} d x \leqslant \prod_{\lambda=0}^{r} & \left(\int\left|v_{\lambda}\right|^{2 \alpha_{\lambda} p_{\lambda}} d x\right)^{1 / p_{\lambda}}= \\
& =\left(\int\left|v_{0}\right|^{2 r / \sigma} d x\right)^{\sigma / r}\left(\prod_{\lambda=0}^{r} \int\left|D_{\lambda} v\right|^{2 r / \lambda} d x\right)^{\lambda \alpha_{\lambda} / r} .
\end{aligned}
\]

Первый сомножитель оценивается сверху величиной $B^{2}$, второй сомножитель оценивается с помощью формулы (2.3). В результате получаем
\[
\int \prod_{\lambda=0}^{r} v_{\lambda}^{2 \alpha_{\lambda}} d x \leqslant B^{2} c^{r} \prod_{\lambda=0}^{r}|v|_{0}^{\left(1-\frac{\lambda}{r}\right)^{2 \alpha_{\lambda}}}\|v\|_{r}^{\frac{2 \lambda \alpha_{\lambda}}{r}} .
\]

Это выражение можно упростить, так как $|v|_{0}<1$, а
\[
\sum \frac{\lambda \alpha_{\lambda}}{r}=1-\frac{\sigma}{r} \leqslant 1,
\]

так что правая часть неравенства меньше, чем $B^{2} c^{r}\|v\|_{r}^{2}$ (если $\|v\|_{r}>1$ ) или $B^{2} c^{r}$ (если $\|v\|_{r} \leqslant 1$ ). Эта оценка справедлива для каждого слагаемого в сумме (2.5), следовательно,
\[
\|\varphi \circ v\|_{r}^{2} \leqslant B^{2} c\left(1+\|v\|_{r}\right)
\]
(с другой константой $c$ ). Таким образом, формула (2.4) доказана.
Приведем еще одну аналогичную оценку, которая понадобится нам в дальнейшем. Пусть $\varphi(x, y, p)$ – функция, имеющая по аргументам $x_{1}, \ldots, x_{n}$ период $2 \pi$ и определенная при значениях аргументов $y_{1}, \ldots, y_{m}$ и $p_{\mu
u}, \mu=1, \ldots, m ;
u=1, \ldots, n$, удовлетворяющих условиям: $\left|y_{\mu}\right|<1,\left|p_{\mu
u}\right|<1$.

Пусть, кроме того, функция $\varphi$ имеет непрерывные частные производные по всем переменным порядка до $r-1$ включительно и все эти производные ограничены константой $B$.

Рассмотрим функцию $\varphi\left(x, v, v_{x}\right)$, которая получается подстановкой $y_{\mu}=v_{\mu}, p_{\mu
u}=\frac{\partial v_{\mu}}{\partial x_{
u}}$ в $\varphi$, где функция $v \in V^{r}$ удовлетворяет условиям
\[
\left|v_{\mu}\right|<1, \quad\left|\frac{\partial v_{\mu}}{\partial x_{
u}}\right|<1 .
\]

Тогда
\[
\left\|\varphi\left(x, v, v_{x}\right)\right\|_{r-1} \leqslant c B\left(1+\|v\|_{r}\right) .
\]

Доказательство этого неравенства легко сводится к применению формулы (2.4), если рассматривать $v$ и $v_{x}$ как независимые функции.