Описанный в $\S 2$ подход применим для изучения операторов $\mathfrak{F}(f, u)$, удовлетворяющих соотношениям (2.1). Укажем еще несколько примеров таких операторов. Пусть, например, $u=u(x)$ – дифференцируемое отображение $x \in E_{n}$ в $E_{n}$, а $u^{\prime}(x)$ – матрица Якоби этого отображения. Тогда оператор
\[
\mathfrak{F}(f, u)=u^{\prime-1}(f \circ u)
\]

удовлетворяет соотношениям (2.1). Как легко видеть, этот оператор задает закон преобразования дифференциального уравнения $\dot{x}=f(x)$ при преобразовании $y=u(x)$. Пусть $f$ – отображение пространства $X=$ $=E_{n}$ в пространство $Y=E_{m}$. Оператор
\[
\mathfrak{F}(f, u)=u_{1}^{-1} \circ f \circ u_{2}
\]

выражает закон преобразования отображения $f$ при действии двух автоморфизмов: $u_{1}$ – в пространстве $X$ и $u_{2}$ – в пространстве $Y$. Уравнение $\mathfrak{F}(f, u)=g$ означает, что отображение $f$ при надлежащих заменах

координат в пространствах $X$ и $Y$ переходит в отображение $g$. В случае $X=Y$ оператор
\[
\mathfrak{F}(f, u)=u^{-1} \circ f \circ u
\]

выражает закон преобразования отображения $f$ пространства $X$ в себя при преобразовании координат. Оператор, рассмотренный в $\S 2$, относится к этому типу. Наконец, оператор $\mathfrak{F}(f, u)=f \circ u$ также удовлетворяет соотношениям (2.1).

В качестве примера применения наших методов к последнему оператору рассмотрим следующую теорему Н.Левинсона [30] из теории функций многих комплексных переменных.

Теорема. Пусть
\[
f(z, w)=p_{0}(z, w)+w^{n+1} \widehat{f}(z, w)
\]
– степенной ряд, сходящийся при $|z|<\rho,|w|<\sigma$, причем $p_{0}$ – полином степени $\leqslant n$ относительно $w, p_{0}(0, w) \equiv w^{n}, a \widehat{f}-$ произвольный степенной ряд. Тогда существует преобразование координат $(z, w) \rightarrow(z, w)$,
\[
w=u(z, w)=w+w^{2} \widehat{u}(z, w),
\]

такое, что $\Phi(z, w)=f(z, u(z, w))$ – полином степени $\leqslant n$ относительно $w$.
Введем оператор
\[
\mathfrak{F}(f, u)=f(z, u(z, w))
\]

и будем пытаться решать уравнение
\[
\mathfrak{F}(f, u)=w^{n}\left(\bmod P_{n}\right),
\]

где $P_{n}$ – пространство полиномов относительно $w$ степени $\leqslant n$, обращающихся в нуль при $z=0$. Используя метод, описанный в $\S 2$, сведем задачу к решению линеаризованного уравнения
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I) v=g\left(\bmod P_{n}\right) .
\]

Нетрудно видеть, что $\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I)=\Phi_{w}(z, w) v$, где $\Phi_{w}$ – полином степени $\leqslant n-1$ и $\Phi_{w}(0, w)=n w^{n-1}$. При $v=w^{2} \widehat{u}$ уравнение (4.4) сводится к уравнению
\[
\left(w^{2} \Phi_{w}\right) \cdot \widehat{u}=g\left(\bmod P_{n}\right) .
\]

Это стандартная задача деления, и мы выберем полином $p(z, w) \in P_{n}$ так, чтобы при каждом $z$ в $(n+1)$-м корне полинома $w^{2} \Phi_{w}$ выполнялись равенства
\[
p\left(z, w_{
u}\right)=g\left(z, w_{
u}\right) \quad(
u=1, \ldots, n+1) .
\]

Такой многочлен единствен и его можно найти по интерполяционной формуле Лагранжа. Тогда формула
\[
\widehat{u}=\frac{g-p}{w^{2} \Phi_{w}}=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{g(z, \lambda) d \lambda}{\lambda^{2} \Phi_{w}(z, \lambda)(\lambda-w)},
\]

где интегрирование ведется по окружности, внутри которой лежат все корни полинома $\omega^{2} \Phi_{w}$, дает решение уравнения (4.4).

Сходимость приближенных решений можно установить с помощью стандартных оценок. Детальное доказательство читатель найдет в уже упоминавшейся работе Левинсона. Весьма замечательно, что, так же как и в теореме Зигеля, решение $u(z, w)$ можно найти сравнением коэффициентов степенных рядов, но метод мажорант Коши непригоден для доказательства сходимости полученного формального ряда, в то время как метод итераций приводит к цели.