a) В этом параграфе мы покажем, как можно использовать понятие приближенного решения для построения точных решений нелинейных уравнений.

Мы будем рассматривать оператор $\mathfrak{F}(u)$, определенный в окрестности элемента $u_{0}$. Полученные результаты в дальнейшем будут применяться в основном в случае дифференциальных уравнений в частных производных положительного типа, но мы сформулируем результаты в более общей форме, чем потребуется для этих приложений.

Одним из результатов такого рода является теорема типа теоремы об обратной функции, устанавливающая существование в окрестности элемента $u_{0}$ решения $u$ уравнения $\mathfrak{F}(u)=f$, если $f$ близко к $\mathfrak{F}\left(u_{0}\right)=f_{0}$.

Этот факт будет доказан в предположении, что линеаризованное уравнение
\[
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\mathfrak{F}(u+t v)-\mathfrak{F}(u)}{t}=\mathfrak{F}^{\prime}(u) v=g
\]

имеет приближенные решения, причем не только при $u=u_{0}$, но при любом $u$, близком к $u_{0}$. Дадим точную формулировку этого результата. Пусть $V^{r}, V^{0}$ — функциональные пространства, определенные в $\S 1$, и пусть $u \in V^{r}$. Обозначим область
\[
\left\|u-u_{0}\right\|<1
\]

через $\mathfrak{U} .^{1}$ Предположим, что оператор $\mathfrak{F}(u)$ определен во всей области $\mathfrak{U}$ и, если $u \in \mathfrak{U}$, то
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\left\|\mathfrak{F}(u)-f_{0}\right\|_{0}<M, \quad f_{0}=\mathfrak{F}\left(u_{0}\right) \in G^{s}, \\
\left\|\mathfrak{F}(u)-f_{0}\right\|_{s}<\infty \quad(0<s<r),
\end{array}\right. \\
\|\mathfrak{F}(u)\|_{s} \leqslant M K, \quad \text { если } \quad\|u\|_{r}<K
\end{array}
\]

для любого $K>1$. Предположим также, что для любого $u \in \mathfrak{U}$ существует производный оператор $\mathfrak{F}^{\prime}(u)$, определяемый формулой
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(u) v=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}(\mathfrak{F}(u+t v)-\mathfrak{F}(u)),
\]

причем $\mathfrak{F}^{\prime}(u) v \in G^{s}$ для любого $v \in V^{r}$. Пусть линеаризованное уравнение $\mathfrak{F}^{\prime}(u) v=g$ имеет приближенное решение в следующем смысле. Если $g \in G^{s},\|g\|_{0} \leqslant 1,{ }^{2}\|g\|_{s} \leqslant K$ и $\|u\|_{r}<K$, то для любого $Q>1$ существует элемент $v \in V^{r}$ такой, что ${ }^{3,{ }_{4}{ }^{r}}$
\[
\begin{array}{c}
\left\|\mathfrak{F}^{\prime}(u) v-g\right\|_{0} \leqslant K Q^{-\mu}, \quad\|v\|_{r} \leqslant K Q, \\
\left\|\mathfrak{F}^{\prime}(u) v\right\|_{0} \geqslant\|v\|_{0} .
\end{array}
\]

Предположим, наконец, что квадратичная часть оператора
\[
\mathfrak{Q}(u, v)=\mathfrak{F}(u+v)-\mathfrak{F}(u)-\mathfrak{F}^{\prime}(u) v
\]

допускает оценку
\[
\|\mathfrak{Q}(u, v)\|_{0} \leqslant M\|v\|_{0}^{2-\beta}\|v\|_{r}^{\beta} \quad(0 \leqslant \beta<1)
\]

при $u \in \mathfrak{U}, v \in V^{r}$, если $\|v\|_{0} \leqslant\|v\|_{r}$.
b) Мы докажем разрешимость уравнения $\mathfrak{F}(u)=f$ относительно $u$, если $f$ близко к $f_{0}=\mathfrak{F}\left(u_{0}\right)$ и выполнены все предположения п. а). По аналогии с линейным случаем мы будем говорить о приближенном решении этой задачи, если для любого $K>1$ существует $u=u^{K} \in \mathfrak{U}$, удовлетворяющее условиям
\[
\|\mathfrak{F}(u)-f\|_{0}<K^{-\lambda}, \quad\|u\|_{r}<K,
\]

и будем называть $\lambda$ порядком аппроксимации.
Цель формулируемой ниже теоремы состоит в том, чтобы показать, что существование приближенного решения линеаризованного уравнения с порядком аппроксимации $\mu$ можно использовать для построения приближенного решения нелинейного уравнения с порядком аппроксимации $\lambda$, где $\mu$ и $\lambda$ связаны соотношениями
\[
\begin{array}{c}
0<\lambda+1<\frac{1}{2}(\mu+1), \\
0<\beta<\frac{\lambda}{\lambda+1} \frac{\mu}{\mu+1}\left(1-\frac{2(\lambda+1)}{\mu+1}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $\beta$ — константа, фигурирующая в неравенстве (5.6).
Теорема. Пусть $\mathfrak{F}(u)$ удовлетворяет условиям, перечисленным в п. а). Тогда существует константа $K_{0}(M, \beta, \mu, \lambda)>1$ такая, что если
\[
\left\|f-f_{0}\right\|_{0}<K_{0}^{-\lambda}, \quad\left\|u_{0}\right\|_{r}<K \quad u \quad\|f\|_{s} \leqslant M K_{0},
\]

то можно построить последовательность приближенных решений $u_{n} \in \mathfrak{U}$ уравнения $\mathfrak{F}(u)=f$, для которых
\[
\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)-f\right\|_{0}<K_{n}^{-\lambda}, \quad\left\|u_{n}\right\|_{r}<K_{n}, \quad \text { где } \quad K_{n} \rightarrow \infty .
\]

Последовательность $u_{n}$ сходится к элементу $\widehat{u}$ в норме пространства $V^{\rho^{\prime}}$, если $\rho^{\prime}$ удовлетворяет неравенству
\[
\frac{\rho^{\prime}}{r}<\frac{\lambda}{\lambda+1} .
\]

Предполагая, что $\mathfrak{F}(u)$ непрерывно отображает $V^{\rho^{\prime}}$ в $G^{0}$, получаем, что $\mathfrak{F}(\widehat{u})=f$, т.е. $\widehat{u}$ — точное решение.

ЗАмЕчаниЕ. Сходимость построенной последовательности оказывается более быстрой, чем линейная, так как неравенство (5.11) будет доказано для последовательности $K_{n}$, определяемой рекуррентным соотношением
\[
K_{n}^{\varkappa}=K_{n+1}, \quad \text { где } \quad \varkappa>\left(1-\frac{\lambda+1}{\mu+1}\right)^{-1}>1 .
\]

Полезно отметить, что для проверки существования приближенных решений достаточно иметь оценки для производных от $u_{0}$ до некоторого порядка $\rho<r$. Если, например, $\mathfrak{F}(u)$ — оператор, задаваемый системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, и имеет место оценка
\[
\|\mathfrak{F}(u)-\mathfrak{F}(v)\|_{0} \leqslant c^{\prime}\|u-v\|_{1},
\]

то для существования приближенных решений достаточно потребовать выполнения условия
\[
\left\|f-f_{0}\right\|_{0} \leqslant K^{-\lambda}, \quad\|u\|_{\rho}<1
\]

при достаточно большом $K$ и некотором $\rho$, удовлетворяющем неравенству $\lambda<\frac{\rho-1}{r-\rho}$.

Чтобы установить это, аппроксимируем $u_{0}$ элементом $\widetilde{u} \in V^{r}$, удовлетворяющим неравенствам
\[
\left\|u-u_{0}\right\|_{1}<c h^{\rho-1}, \quad\|\widetilde{u}\|_{r}<c h^{\rho-r},
\]

где число $h<1$ определяется формулой $c^{\prime} c h^{\rho-1}=K^{-\lambda}$. Тогда $\|f-\mathfrak{F}(\widetilde{u})\|_{0} \leqslant$ $\leqslant 2 K^{-\lambda},\|\tilde{u}\|_{r} \leqslant c^{\prime \prime} K^{\alpha}$, где $\alpha>1$. Выбрав $K$ достаточно большим, видим, что условия (5.10) выполнены, если взять $\tilde{u}$ и $\tilde{f}=\mathfrak{F}(\widetilde{u})$ вместо $u_{0}$ и $f_{0}$.
ДоКаЗательСтво.
Построение приближенных решений $u_{n}$ мы будем вести по индукции. А именно, мы будем строить последовательность $u_{n}$, удовлетворяющую неравенствам
\[
\begin{array}{c}
\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)-f\right\|_{0}<K_{n}^{-\lambda}, \quad\left\|u_{n}-u_{n-1}\right\|_{0}<2 K_{n-1}^{-\lambda}, \\
\left\|u_{n}-u_{n-1}\right\|_{r}<\frac{1}{2} K_{n},
\end{array}
\]

где $K_{n}=K_{n-1}^{\varkappa}$ с некоторым показателем $\varkappa, 1<\varkappa<2$. При $n=0$ первое из неравенств (5.14) выполнено, а два остальных не имеют смысла, так как элемент $u_{-1}$ не определяется. Предположим теперь, что найдены $u_{0}, \ldots, u_{n}$, удовлетворяющие неравенствам (5.14), и найдем $u_{n+1}$. Из третьего неравенства получаем
\[
\begin{aligned}
\left\|u_{n}\right\|_{r}=\left\|u_{0}\right\|_{r} & +\sum_{
u=1}^{n}\left\|u_{
u}\right\|_{r}-\left\|u_{
u-1}\right\|_{r}< \\
& <\left\|u_{0}\right\|_{r}+\sum_{
u=1}^{n}\left\|u_{
u}-u_{
u-1}\right\|_{r} \leqslant K_{0}+\frac{1}{2} \sum_{
u=0}^{n} K_{
u}<K_{n},
\end{aligned}
\]

если, конечно, $K_{0}$ выбрано достаточно большим ${ }^{1}$.
В силу (5.3) $\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)\right\|_{s}<M K_{n}$. Следующее приближение $u_{n+1}$ мы будем строить в виде $u_{n+1}=u_{n}+v$, где $v$ — приближенное решение линеаризованного уравнения
\[
\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{n}\right) v+\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)=f .
\]

Положив в (5.4) $g=f-\mathfrak{F}\left(u_{n}\right), u=u_{n}$, видим, тто существует элемент $v$, удовлетворяющий условиям ${ }^{2}$
\[
\begin{array}{c}
\left\|\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{n}\right) v+\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)-f\right\|_{0} \leqslant 2 M K_{n} Q^{-\mu}, \\
\|v\|_{r} \leqslant 2 K_{n} Q,
\end{array}
\]

и в силу (5.5)
\[
\|v\|_{0} \leqslant\left\|\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{n}\right) v\right\|_{0} .
\]

Из первого и третьего из этих неравенств получаем
\[
\|v\|_{0} \leqslant\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)-f\right\|_{0}+2 K_{n} M Q^{-\mu} \leqslant K_{n}^{-\lambda}+2 M K_{n} Q^{-\mu} .
\]

Выберем $Q$ настолько большим, чтобы
\[
2 M K_{n} Q^{-\mu}<K_{n}^{-\lambda}
\]

и, следовательно,
\[
\left\|u_{n+1}-u_{0}\right\|=\|v\|_{0}<2 K_{n}^{-\lambda},
\]
т.е. второе из неравенств (5.14) выполнено. Также и третье из неравенств (5.14) немедленно следует из (5.16), если $Q$ выбрано так, что
\[
2 M K_{n} Q<\frac{1}{2} K_{n+1} .
\]

Проверим, наконец, выполнение первого из неравенств (5.14). В силу (5.15) и (5.16) имеем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n+1}\right)-f\right\|_{0}=\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}+v\right)-f\right\|_{0}= \\
=\left\|\mathfrak{F}\left(u_{n}\right)+\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{n}\right) v+\mathfrak{Q}\left(u_{n}, v\right)-f\right\|_{0} \leqslant c\left(K_{n} Q^{-\mu}+K_{n}^{-\lambda(2-\beta)}\left(K_{n} Q\right)^{\beta}\right),
\end{array}
\]

где $c>M$ зависит только от $M$ и от показателей $\mu, \lambda$ и $\beta$. Теорема будет доказана, если нам удастся выбрать $Q$ так, чтобы одновременно выполнялись неравенства (5.17), (5.18) и
\[
c\left(K_{n} Q^{-\mu}+K_{n}^{-\lambda(2-\beta)}\left(K_{n} Q\right)^{\beta}\right)<K_{n+1}^{\lambda} .
\]

Так как $K_{n+1}>K_{n}$, то из последнего неравенства, очевидно, следует неравенство (5.17). Поэтому достаточно найти $Q$, удовлетворяющее трем неравенствам:
\[
\begin{array}{c}
c K_{n} Q<K_{n+1}, \quad c\left(K_{n} Q\right)^{\beta} K_{n}^{-\lambda(2-\beta)}<K_{n+1}^{-\lambda}, \\
c K_{n} Q^{-\mu}<K_{n+1}^{\lambda} .
\end{array}
\]

Первые два неравенства дают для $Q$ оценку сверху, а последнее неравенство — оценку снизу. Воспользовавшись равенством $K_{n+1}=K_{n}^{\varkappa}$, получим из первого и третьего неравенств оценки для $Q$ через $K_{n}$
\[
Q<K_{n}^{\varkappa} c^{-1}, \quad Q>c^{1 / \mu} K_{n}^{(\varkappa \lambda+1) / \mu} .
\]

Так как $K_{n}$ достаточно велико, то для совместности этой системы достаточно выполнения неравенства $\varkappa-1>\frac{\varkappa \lambda+1}{\mu}$ или $\frac{\varkappa}{\varkappa-1}<\frac{\mu+1}{\lambda+1}$. Подставляя первую оценку для $Q$ во второе из неравенств (5.19) и снова учитывая, что $K_{n}$ достаточно велико, получим, что это неравенство

выполнено, если только $\frac{2-\varkappa}{\varkappa}>\frac{\lambda+1}{\lambda} \frac{\mu+1}{\mu} \beta$. Два полученных неравенства эквивалентны следующим:
\[
\varkappa>\frac{\mu+1}{\mu-\lambda}, \quad \varkappa<\frac{2 \lambda \mu}{(\lambda+1)(\mu+1) \beta+\lambda \mu} .
\]

Существование решения у этих неравенств, очевидно, следует из существования решения у неравенства
\[
\frac{2 \lambda \mu}{(\lambda+1)(\mu+1) \beta+\lambda \mu}>\frac{\mu+1}{\mu-\lambda} .
\]

Используя (5.9), имеем
\[
\frac{2 \lambda \mu}{(\lambda+1)(\mu+1) \beta+\lambda \mu}>\frac{2 \lambda \mu}{\lambda \mu\left(1-\frac{2(\lambda+1)}{\mu+1}\right)+\lambda \mu}=\frac{1}{1-\frac{\lambda+1}{\mu+1}}=\frac{\mu+1}{\mu-\lambda} .
\]

Таким образом, неравенства (5.19) выполнены, если только $K_{0}$ выбрано достатогно большим; $K_{0}$ зависит от $M, \mu, \lambda, \beta$. Следовательно, существование последовательности $u_{n}$, удовлетворяющей неравенствам (5.14), доказано.
Из (5.14) имеем (если $K_{0}$ достаточно велико)
\[
\left\|u_{n+1}\right\|_{r} \leqslant\left\|u_{0}\right\|_{r}+\sum_{
u=1}^{n+1}\left\|u_{
u}-u_{
u-1}\right\| \leqslant K_{0}+\frac{1}{2} \sum_{
u=1}^{n+1} K_{
u}<K_{n+1} .
\]

Тем самым доказана вторая половина (5.11).
Наконец, из неравенства $\|v\|_{\rho^{\prime}} \leqslant\|v\|_{0}^{1-\rho^{\prime} / r}\|v\|_{r}^{\rho^{\prime} / r}$ получаем
\[
\left\|u_{n}-u_{n-1}\right\|_{\rho^{\prime}} \leqslant c K_{n}^{-\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{r}\right) \lambda+\frac{\rho^{\prime}}{r} \varkappa .}
\]

Показатель степени отрицателен, если $\frac{\rho^{\prime}}{r}<\frac{\lambda}{\lambda+\varkappa}$. Следовательно, если $K_{0}$ достаточно велико, то все $u_{n}$ лежат в шаре $\left\|u-u_{0}\right\|_{\rho^{\prime}}<1$ и мы можем сузить область $\mathfrak{U}$ в (5.1) до области $\left\|u-u_{0}\right\|_{\rho^{\prime}}<1$, $\left\|u-u_{0}\right\|_{r}<\infty$.

Если $K_{0}$ достаточно велико, то
\[
\left\|u-u_{0}\right\|_{0} \leqslant \sum_{m=1}^{\infty}\left\|u_{m}-u_{m-1}\right\|_{0}<1,
\]

так что $\mathfrak{F}(u)$ определено. Так как оператор $\mathfrak{F}$ непрерывно отображает $V^{\rho^{\prime}}$ в $G^{0}$, то из (5.14) следует, что $\mathfrak{F}(u)=f$.
c) Рассмотрим теперь снова построение приближенного решения линейного уравнения в применении к нашему случаю — оператора $L v=$ $=\mathfrak{F}^{\prime}(u) v$, когда требуется построить решение, удовлетворяющее условию (5.4). Достаточные условия существования приближенного решения получены в $\S 3$. Здесь мы вкратце повторим результаты $§ 3$ для случая $L=\mathfrak{F}^{\prime}(u)$.

Очевидно, что оператор $L$ зависит от выбора $u$. Мы потребуем поэтому, чтобы для $u \in \mathfrak{U},\|u\|_{r} \leqslant K_{1}$ выполнялись оценки
\[
\|v\|_{0}^{2} \leqslant(L v, v)_{0}, \quad\|v\|_{0}^{2} \leqslant c\left((L v, v)_{s}+K_{1}^{2}\|v\|_{0}^{2}\right),
\]

где $c$ не зависит от $u$. Тогда соображения, изложенные в $\S 3$, позволяют установить существование приближенных решений, удовлетворяющих условию (5.4).

Выполнение условий (5.21) будет установлено для некоторых дифференциальных операторов в частных производных. Таким образом, проверка условий (5.4) также сводигся к априорным оценкам. Можно вместо (5.21) рассматривать случай, когда дана априорная оценка
\[
\|v\|_{0}^{2} \leqslant(L v, v)_{0}, \quad\|v\|_{s}^{2} \leqslant c\left((L v, v)_{s}+K_{1}^{2}|\sup v|^{2}\right),
\]

и показать, что предыдущие выводы остаются в силе при условии, что
\[
\lambda>\frac{n}{2 s-n}, \quad s>\frac{n}{2} .
\]

В самом деле, в конце $\S 3$ мы показали, что можно построить приближенное решение, удовлетворяющее (5.4), если выполнено условие (3.11), т.е. если
\[
\|g\|_{0} \leqslant K^{-n /(2 s-n)} .
\]

В доказательстве теоремы используется существование приближенного решения только при таких $g$. Это замечание окажется полезным в рассмотрениях гл. 2, где будет предполагаться только выполнение априорных оценок (5.22).