a) Рассмотрим вещественные функции $v(x)$ от $n$ переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ класса $C^{\infty}$, имеющие период $2 \pi$ по каждой переменной. С помощью оператора Лапласа
\[
\Delta=\sum_{
u=1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{
u}^{2}}
\]

определим для таких функций набор скалярных произведений
\[
(v, w)_{\rho}=\int v(-\Delta)^{\rho} w d x
\]

для $\rho=0,1, \ldots, r$. В этой формуле интегрирование ведется в пределах $0 \leqslant x_{
u} \leqslant 2 \pi$, а $d x$ есть сокращенная запись для элемента объема $d x, \ldots, d x_{n}$.

При $\rho>0$ выражение (1.1) не будет положительно определенным, так как при $v=$ const $\|v\|=(v, v)^{1 / 2}=0$. Однако выражение $(v, w)_{0}+$ $+(v, w)_{\rho}$ задает уже настоящее скалярное произведение, а выражение $\left(\|v\|_{0}^{2}+\|v\|_{\rho}^{2}\right)^{1 / 2}$ – невырожденную норму. В дальнейшем, там, где это не сможет привести к недоразумениям, мы будем называть $\|v\|_{\rho}$-нормами.

Замыкание множества функций периода $2 \pi$ из класса $C^{\infty}$ по норме $\left(\|v\|_{0}^{2}+\|v\|_{\rho}^{2}\right)^{1 / 2}$ представляет собой гильбертово пространство, которое мы обозначим $V^{\rho}$ (пространство Соболева). С помощью разложения в ряд Фурье
\[
v=\sum_{k} v_{k} e^{i(k, x)}, \quad k=\left(k_{1}, \ldots, k_{
u}\right), \quad k_{
u} \text { – целые числа, }
\]

можно определить пространства $V^{\rho}$ и для нецелых значений $\rho$. А именно положим
\[
\|v\|_{\rho}^{2}=2 \pi \sum_{k}|k|^{2 \rho}\left|v_{k}\right|^{2},
\]

где $|k|^{2}=k_{1}^{2}+\ldots+k_{n}^{2}$.

Замыкание множества тригонометрических полиномов по норме $\left(\|v\|_{0}^{2}+\|v\|_{\rho}^{2}\right)^{1 / 2}$ называется пространством $V^{\rho}$. При натуральных значениях $\rho$ это определение совпадает с предыдущим.
b) Нормы $\|v\|_{\rho}$ при различных $\rho$ связаны некоторыми неравенствами. Мы перечислили те из них, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Для данной функции $v \in V^{r}$ выражение $\log \|v\|_{\rho}=\varphi(\rho)$ является выпуклой функцией от $\rho$ в интервале $(0, r)$. Этот факт можно установить из следующих соображений. Формула (1.2) позволяет определить $\varphi$ как аналитическую функцию от $\rho$ при комплексных значениях $\rho$ в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re} \rho \leqslant r$, причем
\[
\max _{\operatorname{Re} z=\rho}|\varphi(z)|=\varphi(\rho) .
\]

Предположим теперь, что $\int v d x=0$. Из теоремы Адамара о трех прямых следует выпуклость $\varphi(\rho)$ при $0 \leqslant \rho \leqslant r$. Следовательно,
\[
\|v\|_{\rho} \leqslant\|v\|_{\rho_{1}}^{\alpha} \cdot\|v\|_{\rho_{2}}^{\beta} \quad \text { при } \quad \rho=\alpha \rho_{1}+\beta \rho_{2},
\]

где $\alpha, \beta>0$ и $\alpha+\beta=1$.
В частности,
\[
\|v\|_{\rho} \leqslant\|v\|_{\rho}^{1-\rho / r} \cdot\|v\|_{r}^{\rho / r} \quad \text { при } \quad 0 \leqslant \rho \leqslant r .
\]

Заметим также, что $V^{\rho} \supset V^{\rho^{\prime}}$ при $0 \leqslant \rho \leqslant \rho^{\prime}$. Неравенства (1.3) и (1.3′) получены в предположении $\int v d x=0$. Но если прибавить к $v$ константу, левые части этих неравенств останутся без изменения, а правые части не уменьшатся. Таким образом, мы видим, что неравенства (1.3) и (1.3′) справедливы для всех функций $v$.
c) Выясним, как можно приблизить функцию $v \in V^{\rho}$ функциями из пространства $V^{r}$, если $r>\rho$.

Лемма 1. Для любой функции $v \in V^{\rho}(0<\rho<r)$ и любого числа $Q>1$ существует функция $w \in V^{r}$ такая, что
\[
\|v-w\|_{0} \leqslant K Q^{-\mu}, \quad\|w\|_{r} \leqslant K Q,
\]

где $K=\|v\|_{\rho} u$
\[
\mu=\frac{\rho}{r-\rho} \quad \text { или } \quad \frac{\rho}{r}=\frac{\mu}{\mu+1} .
\]

ДоКАЗаТЕЛЬСТво.
В качестве $w$ нужно, очевидно, выбрать функцию с усеченным рядом Фурье
\[
w=\sum_{|k|^{2}<N} v_{k} e^{i(k, x)},
\]

где число $N$ будет выбрано ниже. Обозначив $v-w=z$, очевидно, имеем
\[
\|w\|_{r} \leqslant N^{r-\rho}\|w\|_{\rho}, \quad\|z\|_{\rho} \geqslant N^{\rho}\|z\|_{0} .
\]

Так как функции $e^{i(k, x)}$ ортогональны относительно скалярного произведения $(v, w)_{\rho},{ }^{1}$ то $\|w\|_{\rho} \leqslant\|v\|_{\rho}$. Поэтому
\[
\left\{\begin{array}{l}
\|v-w\|_{0} \leqslant N^{-\rho}\|z\|_{\rho} \leqslant K N^{-\rho}, \\
\|w\|_{r} \leqslant N^{r-\rho}\|w\|_{\rho} \leqslant K N^{r-\rho} .
\end{array}\right.
\]

Выбрав $N=Q^{\frac{1}{r-\rho}}$, получим утверждение леммы. Обратно, имеет место
Лемма 2. Если функция $v \in V^{0}$ такова, что для любого $Q>1$ существует функця $w \in V^{r}$, для которой
\[
\|v-w\|_{0} \leqslant K Q^{\mu}, \quad\|w\|_{r} \leqslant K Q \quad(\mu>0),
\]

то $v \in V^{\rho}$, если число $\rho$ удовлетворяет неравенству
\[
\frac{\rho}{r}<\frac{\mu}{\mu+1}
\]
$u\|v\|_{\rho}<c K$, если $\|v\|_{0} \leqslant K$, где с зависит только от $\rho, r$ и $n$.
ДоКАЗаТЕЛЬСТво.
Выберем $Q^{\prime}=2 Q$ и обозначим аппроксимирующую функцию, соответствующую $Q^{\prime}$, через $w^{\prime}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\left\|w-w^{\prime}\right\|_{0} \leqslant K\left(Q^{-\mu}+Q^{\prime-\mu}\right) \leqslant 2 K Q^{-\mu}, \\
\left\|w-w^{\prime}\right\|_{r} \leqslant K\left(Q+Q^{\prime}\right) \leqslant 3 K Q,
\end{array}
\]

и, согласно $\left(1.3^{\prime}\right)$,
\[
\left\|w-w^{\prime}\right\|_{\rho} \leqslant 3 K Q^{-q}, \quad \text { где } \quad q=\mu\left(1-\frac{\rho}{r}\right)-\frac{\rho}{r} .
\]

Из условия (1.7) следует, что $q>0$. Следовательно, если мы положим $Q_{n}=2^{n} Q$ и обозначим соответствующие аппроксимирующие функции через $w_{n}$, мы получим
\[
\left\|w_{n}-w_{n+1}\right\|_{\rho} \leqslant 3 K Q_{0}^{-q} 2^{-n q} .
\]

Таким образом, последовательность $w_{n}$ сходится в метрике $V^{\rho}$ к пределу $w_{\infty}$. Если рассмотреть $w_{\infty}$ как элемент пространства $V^{0}$, то условие $\left\|v-w_{n}\right\|_{0} \leqslant K Q_{n}^{-\mu}$ показывает, что $v=\omega_{\infty}$. Таким образом, $v \in V^{\rho}$.
Оценку для $\|v\|_{\rho}$ можно получить исходя из неравенства
\[
\left\|v-w_{0}\right\|_{\rho} \leqslant \sum_{n=0}^{\infty}\left\|w_{n}-w_{n+1}\right\|_{\rho} \leqslant K Q_{0}^{-q} c,
\]

где $c=3 \sum 2^{-n q}$. Используя неравенства $\left\|w_{0}\right\|_{r} \leqslant K Q_{0},\left\|\omega_{0}\right\|_{0} \leqslant$ $\leqslant\|v\|_{0}+K Q^{-\mu} \leqslant 2 K$, получим $\|v\|_{\rho} \leqslant\|w\|_{\rho}+Q_{0}^{-q} c K=K\left(2 Q_{0}^{\rho / r}+c Q_{0}^{-q}\right)$. Положив $Q_{0}=1$, получаем искомую оценку для $\|v\|_{\rho}$ с константой $c+2$.

Доказанные леммы показывают, что функции из пространства $V^{\rho}$ могут быть охараптсризованы тсм, паспольюо хорошо они аппрогсимируются функциями из пространства $V^{r}$.

Оценка для числа $\rho$, даваемая леммой 2 , является наилучшей возможной, как показывает следующий простой пример:
\[
v(x)=\sum_{|k|>0}|k|^{-\left(\sigma+\frac{n}{2}\right)} e^{i(k, x)}, \quad 0<\sigma<n .
\]

Усеченные ряды Фурье этой функции приближают ее в смысле леммы 2 с $\mu=\frac{\sigma}{r-\sigma}$. Однако функция $v$ не принадлежит пространству $V^{\sigma}$, хотя и принадлежит любому $V^{\rho}$ при $\rho<\sigma$.