a) Перейдем к доказательству теоремы 1 в том виде, как она была сформулирована в предыдущем параграфе. Как мы уже упоминали, этот результат содержится в работе В. И. Арнольда [11]. Мы дадим доказательство в такой форме, что его можно будет использовать для дифференциальных уравнений, у которых компоненты вектора $f(x)$ только достаточно много раз дифференцируемы, но не аналитичны. Однако мы оставим этот случай до следующего параграфа, а сейчас предположим, что в заданных дифференциальных уравнениях
\[
\dot{x}=\omega+f(x)
\]
$f(x)$ – вещественно-аналитическая вектор-функция, имеющая период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Мы не указываем здесь, что $f(x)$ зависит от параметра $\varepsilon$, а заменяем эту зависимость условием малости $f(x)$.

Теорема утверждает существование вещественно-аналитической функции $u(\xi)$ и константы $\lambda$ таких, что уравнение
\[
\dot{x}=\omega+f(x)+\lambda
\]

с помощью замены
\[
x=u(\xi)
\]

преобразуется в уравнение
\[
\dot{\xi}=\omega
\]

Кроме того, вектор-функция $u(\xi)-\xi$ должна иметь период $2 \pi$ по переменным $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$.
Мы будем доказывать теорему 1 со следующими уточнениями.
Дополнение к теореме 1. Существует положительная константа $C^{*}$, зависящая от $n, \tau, c_{0}$, такая, что при $\varepsilon<\frac{h^{\sigma+1}}{c^{*}}(h<1)$ и при условии, что в области $|\operatorname{Im} x|<h$ имеет место неравенство $|f(x)|<\varepsilon$, существуют постоянный вектор $\lambda,|\lambda|<2 \varepsilon$, и искомая вектор-функция $и(\xi)$, удовлетворяющая условию
\[
h^{-1}|\widehat{u}|+\left|\widehat{u}^{\prime}(\xi)\right| \leqslant c \frac{\varepsilon}{h^{\sigma+1}}<\frac{1}{2}
\]

при $|\operatorname{Im} \xi|<\frac{h}{2}$, где с не зависит от $\varepsilon$ и $h$.
Из этого утверждения следует существование решения $\widehat{u}$ у уравнения в частных производных на торе:
\[
\widehat{u}_{\xi} \omega=f(\xi+\widehat{u})+\lambda .
\]

Здесь через $\widehat{u}_{\xi}$ обозначена матрица Якоби $\left(\frac{\partial \widehat{u}_{
u}}{\partial \xi_{\mu}}\right)$, а через $\omega-$ вектор с компонентами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, которые удовлетворяют некоторым условиям типа не слишком хорошей совместной приближаемости рациональными числами (см. ниже (6.5)). Ясно, что константу $\lambda$ нужно подобрать так, чтобы среднее значение правой части обратилось в нуль.

Чтобы подчеркнуть тонкость решаемой задачи, отметим, что нельзя ожидать существования решения у уравнения типа (6.4), где функция $f(\xi+\widehat{u})$ заменена на функцию $f(\xi, \widehat{u})$ периода $2 \pi$ по $\xi$. В самом деле,

даже в случае функции $f$, линейной по $\widehat{u}$, например $f(\xi, \widehat{u})=f_{0}(\xi)+$ $+c \widehat{u}$, легко построить опровергающий пример, в котором решение не существует, как бы малы ни были $f_{0}$ и $c$. Причина этого явления состоит в том, что нуль является предельной точкой для дискретного спектра оператора
\[
\sum_{
u=1}^{n} \omega_{
u} \frac{\partial}{\partial \xi_{
u}},
\]

действующего в пространстве функций на торе. Следовательно, не достаточно трактовать (6.4) просто как некоторое дифференциальное уравнение в частных производных, а важно учитывать также, что $f$ зависит только от суммы $\xi+\widehat{u}$. А это обстоятельство эквивалентно тому факту, что (6.4) представляет некоторый закон преобразования, как было отмечено в $\S 2 .^{1}$

Мы будем предполагать, что числа $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ рационально независимы и, более того, удовлетворяют неравенствам
\[
|(k, \omega)|^{-1} \leqslant c_{0}|k|^{\tau}
\]

для всех ненулевых целочисленных векторов $k=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ с $|k|=\sum\left|k_{
u}\right|$. Здесь $\tau$ – некоторое число, большее чем $n-1$, а $c_{0}$ – положительная константа ${ }^{2}$. Нетрудно показать, что любая сфера в $n$-мерном пространстве, радиус которой имеет порядок не меньше, чем $c_{0}^{-1}$, содержит по крайней мере один такой вектор $\omega$. Более того, множество векторов, для которых условие (6.5) с данным $\tau>n-1$ не выполнено ни при каком $c_{0}$, имеет меру нуль.
b) Начнем доказательство с двух лемм. Первая из них касается разрешимости линейных дифференциальных уравнений в частных производных
\[
v_{x} \omega=g(x)
\]

или, в координатной записи,
\[
\sum_{
u=1}^{n} \omega_{
u} v_{\mu x_{
u}}=g_{\mu}(x) .
\]

Потребуем, чтобы функции $g$ и $v$ имели период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Очевидно, что необходимым условием разрешимости уравнения (6.6) является равенство нулю среднего значения $[g]$ функции $g$.

Лемма 1. Если вектор $\omega$ уоволетворяет неравенствам (6.5), a $g(x)$ – вещественно-аналитическая вектор-функция с нулевым средним значением, ограниченная в области $\left|\operatorname{Im} x_{
u}\right|<h$, то уравнение (6.6) имеет вещественно-аналитическое решение $v(x)$, имеющее период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Более того, имеет место оценка
\[
\sup _{|\operatorname{Im} x|<h-\delta}|v| \leqslant c \delta^{-\sigma} \sup _{|\operatorname{Im} x|<h}|g|,
\]

где $0<\delta<h<1, \sigma=\tau+1>n$, а $c$ – положительная константа, зависящая только от $\tau, n, c_{0}$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВО.
Разлагая $g$ в ряд Фурье, немедленно находим решение в виде
\[
v=\sum_{k
eq 0} \frac{\gamma_{k}}{(k, \omega)} e^{i(k, x)} .
\]

Здесь $\gamma_{k}$ – коэффициенты ряда Фурье функции $g$. Так как функция $g$ аналитична, коэффициенты $\gamma_{k}$ убывают экспоненциально относительно $|k|$. В самом деле, предположив, что при $|\operatorname{Im} x|<h \sup |g| \leqslant 1$, находим
\[
\left|\gamma_{k}\right|=\frac{1}{(2 \pi)^{n}}\left|\int_{T} g(x) e^{-i(k, x)} d x\right| \leqslant e^{-|k| h},
\]

так как в качестве области интегрирования можно взять область $\operatorname{Im} x_{
u}=\alpha$ при любом $0>\alpha>-h$. Следовательно, ряд для $v$ сходится, и при $\left|\operatorname{Im} x_{
u}\right| \leqslant h-\delta$ имеет место оценка
\[
|v| \leqslant \sum_{k
eq 0}|(k, \omega)|^{-1} e^{-|k| \delta} .
\]

Оценивая малые знаменатели по формуле (6.5), находим
\[
|v| \leqslant c_{0} \sum_{k
eq 0}|k|^{\tau} e^{-|k| \delta} \leqslant c_{1} \delta^{-\tau-n} .
\]

Отсюда следует несколько более слабая оценка, чем требуется в утверждении леммы, а именно, оценка с $\sigma=\tau+n$.

Вывод оценки, содержащейся в утверждении леммы, т.е. оценки с $\sigma=\tau+1$, является более тонким делом и основан на том обстоятельстве, что среди знаменателей $(k, \omega)$ подавляющее большинство не являются малыми. Это обстоятельство использовал Зигель в первоначальном доказательстве своей теоремы (см. [27]) и В. И. Арнольд ([13], стр. 28-29). Для полноты мы проведем это рассуждение в нашей ситуации и закончим доказательство леммы 1.1

Мы будем использовать норму $|k|=\max _{
u}\left|k_{
u}\right|$, которая, очевидно, эквивалентна норме $|k|=\sum_{
u=1}^{n}\left|k_{
u}\right|$, но более удобна для наших рассмотрений.

Обозначим через $K(
u, r)$ множество ненулевых целочисленных векторов, удовлетворяющих условиям $|k|=r$ и $2^{
u}<|(k, \omega)|^{-1} \leqslant 2^{
u+1}$, и пусть $N=N(
u, r)$ – число элементов в множестве $K(
u, r)$. Покажем, что имеет место неравенство
\[
N(
u, r) \leqslant c_{1} r^{n-1} 2^{-
u(n-1) / \tau},
\]

где $c_{1}$ – положительная константа, зависящая только от $c_{0}, \tau, n$. Отметим, что при больших $
u$ это довольно точная оценка. Пусть $k, k^{\prime}$ два различных вектора из множества $K(
u, r)$. Тогда
\[
c_{0}^{-1}\left|k-k^{\prime}\right|^{-\tau} \leqslant\left|\left(\omega, k-k^{\prime}\right)\right| \leqslant|(\omega, k)|+\left|\left(\omega, k^{\prime}\right)\right| \leqslant 2^{-
u+1} .
\]

Следовательно, расстояние между этими векторами
\[
\left|k-k^{\prime}\right| \geqslant\left(c_{0}^{-1} 2^{
u-1}\right)^{1 / \tau}=2 \rho_{
u}
\]

очень велико при больших $
u$. Заметим, что величина $\rho_{
u}$, определенная предыдущим соотношением, удовлетворяет условию
\[
\rho_{
u} \leqslant r
\]

так как $\left|k-k^{\prime}\right| \leqslant 2 r$. Определим кубы $C_{k}$ с центрами в точках $k \in K(
u, r)$
\[
C_{k}:|x-k|<\rho_{
u} .
\]

Эти кубы в силу сказанного выше попарно не пересекаются. Кубы $C_{k}$ пересекаются с гиперповерхностью $|x|=r$ по попарно не пересекающимся ( $n-1$ )-мерным множествам с $(n-1)$-мерным объемом $\geqslant \rho_{
u}^{n-1}$. Так как $(n-1)$-мерный объем гиперповерхности $|x|=r$ равен $2 n(2 r)^{n-1}$, то
\[
N(
u, r) \leqslant \frac{2 n(2 r)^{n-1}}{\rho_{
u}^{n-1}} \leqslant c_{1} r^{n-1} 2^{-
u(n-1) / \tau} .
\]

Чтобы завершить доказательство леммы, рассмотрим выражение
\[
\sum_{K(
u, r)}|(k, \omega)|^{-1} \leqslant 2^{
u+1} N(
u, r) \leqslant 2 c_{1} r^{n-1} 2^{(1-(n-1) / \tau)
u} .
\]

Заметим, что при $
u>0$ последний показатель степени положителен. Складывая соответствующие неравенства, написанные для всех тех $
u$, для которых множество $K(
u, r)$ не пусто, получаем
\[
\sum_{|k|=r}|(k, \omega)|^{-1} \leqslant c_{2} r^{n-1} 2^{(1-(n-1) / \tau)
u^{*}},
\]

где $
u^{*}$ – максимальное из тех $
u$, для которых множество $K(
u, r)$ не пусто. Из соотношения (6.8) получаем оценку для $
u^{*}$ :
\[
2^{
u^{*} / \tau} \leqslant c_{3} r \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\sum_{|k|=r}|(k, \omega)|^{-1} \leqslant c_{4} r^{n-1} r^{\tau-(n-1)}=c_{4} r^{\tau} .
\]

Наконец, выражение (6.7) оценивается следующим образом:
\[
|v| \leqslant \sum_{r=1}^{\infty} \sum_{|k|=r}|(k, \omega)|^{-1} e^{-r \delta} \leqslant c_{4} \sum_{r=1}^{\infty} r^{\tau} e^{-r \delta} \leqslant c_{5} \delta^{-\tau-1} .
\]

Лемма доказана.
c) Для того чтобы доказать теорему 1 и дополнение к ней, рассмотрим семейство дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=a+f(x, a),
\]

аналитически зависящее от параметра $a$, который изменяется в некоторой комплексной окрестности $\omega$.
Мы будем искать преобразование координат
\[
x=u(\xi, \alpha)
\]

и замену параметра
\[
a=w(\alpha),
\]

обладающие тем свойством, что в соответствующей области в преобразованном уравнении
\[
\dot{\xi}=\alpha+\Phi(\xi, \alpha)
\]

функция $\Phi$ значительно меньше, чем $f$. Повторяя этот процесс, мы построим решение, удовлетворяющее теореме 1.

Перейдем теперь к точным оценкам. Потребуем, чтобы при соответствующим образом подобранных положительных числах $\varepsilon, s<1$ было выполнено неравенство
\[
|f(x, a)|<\varepsilon \quad \text { при } \quad|\operatorname{Im} x|<s, \quad|a-\omega|<2 \varepsilon .
\]

Все последующие оценки будут проводиться в комплексной области.
Лемма 2. Предположим, что функция $f$ вещественно-аналитична в области
\[
\mathfrak{D}:|\operatorname{Im} x|<s, \quad|a-\omega|<2 \varepsilon,
\]

и удовлетворяет условиям (6.13). Пусть положительное число $s_{+}<s$ выбрано так, что число $\frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}}$ достаточно мало. Обозначим $\varepsilon_{+}=c \frac{\varepsilon^{2}}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}}$, где $c-$ подходящая положительная константа.
Тогда существует преобразование
\[
U: \quad x=u(\xi, \alpha), \quad a=w(\alpha),
\]

которое аналогично в области
\[
\mathfrak{D}_{+}:|\operatorname{Im} \xi|<s_{+}, \quad|\alpha-\omega|<2 \varepsilon_{+},
\]

и отображает эту область в область $\mathfrak{D}$.

Более того,
\[
s^{-1}|u-\xi|, \quad\left|u_{\xi}-I\right|<\frac{c \varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}}, \quad|w-\alpha|<\varepsilon,
\]

и преобразованное уравнение (6.12) в области $\mathfrak{D}_{+}$удовлетворяет условию $|\Phi|<\varepsilon_{+}$.
ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
Положим $u(\xi, \alpha)=\xi+\widehat{u}$, где $\widehat{u}$ определяется из уравнения
\[
\widehat{u}_{\xi} \omega=f(\xi, a)-[f(\xi, a)], \quad[\widehat{u}]=0 .
\]

Из леммы 1 следует, что это уравнение имеет вещественно-аналитическое решение, которое в области $|\operatorname{Im} \xi|<s-\frac{s-s_{+}}{2}$ удовлетворяет неравенству $|\widehat{u}| \leqslant c \frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma}}$. Следовательно, в силу неравенств Коши при $|\operatorname{Im} \xi|<s_{+}$
\[
\left|\widehat{u}_{\xi}\right| \leqslant c \frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}} .
\]

Зададим, далее, $a=w(\alpha)$ неявно с помощью уравнения
\[
\alpha=a+[f(\xi, a)] .
\]

Существование решения $a=w(\alpha)$ у этого уравнения немедленно следует из того, что степень отображения $\alpha(a)$ в области $|\alpha-\omega|<2 \varepsilon$ равна 1 , так как
\[
|\alpha-\omega-[f]| \leqslant 2 \varepsilon_{+}+\varepsilon<2 \varepsilon .^{1}
\]

Следовательно, существует обратное отображение $a=w(\alpha)$. Более того, нетрудно убедиться, что якобиан отображения, задаваемого уравнением (6.15), не обращается в нуль, так что функция $w(\alpha)$ аналитична при $|\alpha-\omega|<2 \varepsilon_{+}$. Неравенство для $|w-\alpha|$, входящее в утверждение леммы, следует из (6.15).

Приведенные выше оценки дают возможность утверждать, что преобразование $U$, определенное формулами (6.14) и (6.15), отображает область $\mathfrak{D}_{+}$в $\mathfrak{D}$, так как
\[
|\operatorname{Im} x| \leqslant|\operatorname{Im} \xi|+|u| \leqslant s_{+}+c \frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma}} \leqslant s_{+}+\left(s-s_{+}\right)=s .
\]

В этой оценке мы использовали предположение о том, что выражение $\frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}}$ достаточно мало.

Теперь, после того как определены $u(\xi, \alpha)$ и $w(\alpha)$, можно оценить $\Phi$. Подставляя (6.10) и (6.12) в (6.9), получаем
\[
u_{\xi}(\alpha+\Phi)=a+f(\xi+\widehat{u}, a) .
\]

Вычитая из этого соотношения равенства (6.14) и (6.15), находим
\[
\Phi+\widehat{u}_{\xi} \Phi=f(\xi+\widehat{u}, a)-f(\xi, a)-\widehat{u}_{\xi}(\alpha-\omega) .
\]

Так как $\left|\widehat{u}_{\xi}\right|<\frac{1}{2}$, отсюда можно оценить $|\Phi|$ при $|\operatorname{Im} \xi|<s_{+}$, $|\alpha-\omega|<\varepsilon_{+}$. А именно,
\[
\frac{1}{2}|\Phi| \leqslant \sup \left|f^{\prime}\right||\widehat{u}|+\left|\widehat{u}_{\xi}\right||\alpha-\omega| .
\]

Еще раз используя неравенства Коши, находим
\[
|\Phi| \leqslant c\left\{\frac{\varepsilon}{s-s_{+}} \frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma}}+\frac{\varepsilon}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}} \varepsilon_{+}\right\} \leqslant c^{\prime} \frac{\varepsilon^{2}}{\left(s-s_{+}\right)^{\sigma+1}} .
\]

Лемма доказана.
d) ДоКАЗАТЕЛЬСТВо схоДИМостИ ПРИБЛИЖЕНИЙ. Для доказательства теоремы 1 (из §5) и дополнения к ней (см. начало настоящего параграфа) мы будем последовательно применять лемму 2. Начнем с заданного семейства дифференциальных уравнений с правыми частями $f_{0}=f(x)+a$, где $a=\omega+\lambda$, и преобразуем его с помощью преобразования
\[
U_{0}: x=u(\xi, \alpha), \quad a=w(\alpha)
\]

в новое семейство с правыми частями
\[
f_{1}=f_{1}(\xi, \alpha)=\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0}\right) .
\]

Здесь $\mathfrak{F}(f, U)$ обозначает закон преобразования правой части дифференциального уравнения при преобразовании $U_{0}$, т. е.
\[
\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0}\right)=\left(u^{\prime}\right)^{-1} f(u(\xi, \alpha), w(\alpha)) .
\]

Затем преобразуем систему с правой частью $f_{1}$ с помощью преобразования $U_{1}$ в систему с правой частью
\[
f_{2}=\mathfrak{F}\left(f_{1}, U_{1}\right)=\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0} \circ U_{1}\right)
\]

и т. д. Мы покажем, что существует область, в которой произведения $U_{0} \circ \ldots \circ U_{n}$ определены при всех $n$ и сходятся. В частности, мы покажем, что при $\alpha=0,|\operatorname{Im} \xi|<\frac{h}{2}, U_{1} \circ U_{2} \circ \ldots \circ U_{k} \rightarrow U^{*}$, а $f_{k} \rightarrow 0$. Записывая преобразование $U^{*}$ в виде
\[
\begin{array}{l}
x=u^{*}(\xi, 0), \\
a=w^{*}(0),
\end{array}
\]

мы видим, что первая строчка дает искомое преобразование координат, а вторая – значение поправки к частоте, т.е.
\[
\lambda=a-\omega=w^{*}(0)-\omega .
\]

Приступим теперь к индуктивному определению преобразований $U_{k}$. Пусть преобразования $U_{0}, \ldots, U_{k-1}$ уже определены и пусть $f_{k}=\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0} \circ U_{1} \circ \ldots \circ U_{k-1}\right)$. Тогда, используя конструкцию леммы 2 , определим преобразование $U_{k}$ и
\[
f_{k+1}=\mathfrak{F}\left(f_{k}, U_{k}\right)=\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0} \circ \ldots \circ U_{k}\right) .
\]

Докажем по индукции следующие оценки. Пусть $\mathfrak{D}_{k}:|\operatorname{Im} x|<s_{k}$, $|a-\omega|<2 \varepsilon_{k}$, где
\[
\left\{\begin{array}{ll}
s_{k}=\frac{h}{2}\left(1+2^{-k}\right) & (k=0,1,2, \ldots), \\
\varepsilon_{k}=c_{1}^{k} h^{-\sigma-1} \varepsilon_{k-1}^{2} & (k=1,2, \ldots), \\
\varepsilon_{0}=\varepsilon . &
\end{array}\right.
\]

Здесь $c_{1}$ – некоторая константа, зависящая только от $c_{0}, \tau, \sigma, n$. Тогда
$\alpha$ ) Функция $f_{k}$ определена и ана.итична в области $\mathfrak{D}_{k}$ и удовлетворяет там условию $\left|f_{k}-a\right|<\varepsilon_{k}$.
$\beta$ ) Преобразование $U_{k}$ определено и аналитично в области $\mathfrak{D}_{k+1}$ и отображает $\mathfrak{D}_{k+1}$ в $\mathfrak{D}_{k}$. Кроме того,
\[
\left|w_{k}-\alpha\right|<\varepsilon_{k}, \quad h^{-1}\left|u_{k}-\xi\right|, \quad\left|u_{k}^{\prime}-I\right|<c^{k+1} h^{-\sigma-1} \varepsilon_{k} .
\]

Проверим эти утверждения при $k=0$. В этом случае утверждение $\alpha$ ) непосредственно следует из условий дополнения к теореме 1 , так как в $\mathfrak{D}_{0}\left|f_{0}-a\right|=|f(x)|<\varepsilon=\varepsilon_{0}$. Лемма 2 гарантирует существование преобразования $U_{0}$ в области $\mathfrak{D}_{1}$, если выбрать $s=s_{0}, s_{+}=s_{1}$. Предположим, что утверждения $\alpha$ ) и $\beta$ ) доказаны при $k=0,1, \ldots, l-1$. Тогда можно применить лемму 2 к функции $f=f_{l}$ в области $\mathfrak{D}=$ $=\mathfrak{D}_{l}$ и построить преобразование $U=U_{l}$ в области $\mathfrak{D}_{l+1}$. Выполнение утверждений $\alpha$ ) и $\beta$ ) следует непосредственно из оценок, даваемых леммой 2.

Используя утверждения $\alpha$ ) и $\beta)$ для $f_{k}=\mathfrak{F}\left(f_{0}, U_{0} \circ U_{1} \circ \ldots \circ U_{k-1}\right)$, можно обосновать предельный переход при $k \rightarrow \infty$. Заметим, что преобразование $V_{k}=U_{0} \circ U_{1} \circ \ldots \circ U_{k-1}$ определено в области $\mathfrak{D}_{k}$. Ограничимся рассмотрением этого преобразования в области $\mathfrak{D}=\bigcap_{k \geqslant 0} \mathfrak{D}_{k}$, т. е. $\mathfrak{D}:|\operatorname{Im} \xi|<\frac{h}{2}, \alpha=0$. По построению $V_{k}$ отображает область $\mathfrak{D}$ в $\mathfrak{D}_{0}$.

Покажем, наконец, что в области $\mathfrak{D}$ последовательность преобразований $V_{k}$ сходится. Для этого распишем $V_{k}$ по компонентам
\[
V_{k}: x=v_{k}(\xi, \alpha), \quad a=\widetilde{w}_{k}(\alpha) .
\]

По построению имеем
\[
\left|v_{k+1}-v_{k}\right|<c^{k+1} h^{-\sigma} \varepsilon_{k}, \quad\left|\widetilde{w}_{k+1}-\widetilde{w}_{k}\right|<\varepsilon_{k},
\]

и так как ряд $\sum_{k} c^{k+1} \varepsilon_{k}$ в силу (6.16) сходится (при достаточно малых $\frac{\varepsilon}{h^{\sigma+1}}$, то ясно, что $\lim _{k \rightarrow \infty} v_{k}$ существует и является аналитической вектор-функцией в области $|\operatorname{Im} \xi|<\frac{h}{2}$. Далее, при $\alpha=0$ и достаточно малом $\varepsilon h^{-\sigma-1}$ находим
\[
\left|\lim _{k \rightarrow \infty} w_{k}\right|<\sum \varepsilon_{k} \leqslant 2 \varepsilon_{0}=2 \varepsilon .
\]

Таким образом, предел $\lim _{k \rightarrow \infty} V_{k}=V^{*}$ или по компонентам
\[
V^{*}: x=v^{*}(\xi), \quad a=w^{*}
\]

удовлетворяет соотношениям
\[
\left|w^{*}\right|<2 \varepsilon \quad \text { и } \quad\left|v^{*}(\xi)-\xi\right|<c \frac{\varepsilon}{h^{\sigma}} .
\]

Аналогично нетрудно показать, что
\[
\left|v^{* \prime}(\xi)-I\right|<c \frac{\varepsilon}{h^{\sigma+1}} .
\]

Тем самым почти закончено доказательство теоремы 1 и дополнения к ней (нужно положить $\lambda=w^{*}+\omega$ и $u=v^{*}(\xi)$ ), за исключением аналитической зависимости от параметра, который в формулировке теоремы 1 также обозначается $\varepsilon$. Ее легко установить, если допустить, что все возникающие выше функции являются аналитическими функциями этого аддитивного параметра $\varepsilon$ в фиксированной области $|\varepsilon|<\mu$. Тогда все приближения $u_{k}, w_{k}$ будут аналитически зависеть от этого параметра $\varepsilon$ в той же самой области $|\varepsilon|<\mu$, и так как сходимость приближений равномерна по $\varepsilon$, то предельные функции также будут аналитически зависеть от параметра.