Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Данное доказательство содержится в неопубликованных записях лекций, прочитанных Ю. Мозером на ETH-Zürich в июне 1986 года.
В отличие от первоначального «гамильтонового» подхода, где инвариантную кривую ищут в фазовом пространстве, представленный лагранжев подход основан на сведении задачи поиска инвариантной кривой к решению некоторого нелинейного разностного уравнения второго порндка в конфисурационном пространстве. Этот подход аналогичен доказательству родственной теоремы для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных [9], где он необходим, поскольку техника канонических преобразований не применима для дифференциальных уравнений в частных производных. В нашем случае условия инвариантности рассматриваемой кривой для отображения приводит к нелинейному разностному уравнению второго порядка, которое будет получено во втором разделе и решено в последующих.
Рассмотрим сохраняющее площадь закручивающее отображение $\varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ на плоскости, накрывающей цилиндр $\mathbb{R}(\bmod 1) \times \mathbb{R}$. Положим, что $\varphi:\left(x_{1}, y_{1}\right) \rightarrow\left(x_{2}, y_{2}\right)$ имеет производящую функцию $h$ :
\[
\begin{array}{l}
h_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-y_{1}, \\
h_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=y_{2} .
\end{array}
\]
Здесь $h_{1}, h_{2}$ – производные по первому или второму аргументу функции $h$. Аналогично будем обозначать вторые производные через $h_{11}$,
$h_{12}, h_{22}$. Следующая теорема дает достаточное условие, при котором отображение задается соотношениями (1).
Теорема 1. Любое гладкое заћручиващее отображение цилиндрач, удовлетворяющее условию монотонности закручивания $\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}}>0$, имеет производящую функцию $h$ такую, что отображение неявно задается соотношениями (1). Более того, данное отображение является точным: $\int_{\varphi \gamma} y d x=\int_{\gamma} y d x$, где $\gamma-$ произвольная гладкая нестягиваемая окружность на цилиндре, если и только если $h\left(x_{1}+1, x_{2}+1\right)=h\left(x_{1}, x_{2}\right)$ $u h_{12}<0$.
