В этом параграфе мы сформулируем теорему существования решений для систем, которые являются нелинейным обобщением положительных симметричных систем.

Мы ограничимся случаем дифференциальных уравнений на торе, и поэтому не будет возникать никаких трудностей, связанных с граничными условиями.
Мы будем рассматривать системы уравнений вида
\[
F_{k}\left(x, u, u_{x}\right)=0 \quad(k=1, \ldots, m),
\]

где функции $F_{k}(x, y, p)$ имеют период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и имеют достаточно много производных при $|y|+|p| \leqslant 1$, где $y=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right), p=\left\{p_{k
u}\right\}(k=1, \ldots, m ;
u=1, \ldots, n)$. Компоненты $p_{k
u}$ соответствуют частным производным $\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{
u}}$.
Рассмотрим матрицы
\[
\begin{aligned}
a_{k l}^{(
u)}(x, y, p) & =\frac{\partial F_{k}}{\partial p_{l
u}}=\frac{\partial F_{l}}{\partial p_{k
u}}, \quad b_{k l}(x, y, p)=\frac{\partial F_{k}}{\partial y_{l}} \\
(k, l & =1, \ldots, m ;
u=1, \ldots, n) .
\end{aligned}
\]

Мы требуем заранее равенства частных производных $\frac{\partial F_{k}}{\partial p_{l
u}}=\frac{\partial F_{l}}{\partial p_{k
u}}$, откуда следует, что определенные таким образом матрицы $a_{k l}^{(
u)}$ симметричны.

Предположим, что нам известно приближенное решение ${ }^{1}$, скажем $u=0$, и выясним, при каких условиях можно утверждать, что данная система имеет точное решение. Это задача о возмущениях, и мы будем считать, что
\[
\max _{x}|F(x, 0,0)|
\]

измеряет величину возмущения.
Пусть для некоторого $l=l(n), l>\max \left(\frac{3 n}{2}+6,15\right)$, все производные от $F$ порядка не выше $l$ ограничены одной и той же константой $C$ при $|y|+|p|<1$ и при всех $x$.

Тогда наш основной результат формулируется следующим образом.

Теорема. Пусть для числа $l$, удовлетворяющего сформулированным выше условиям, выполнено также условие
\[
l\left\langle a_{x}\right\rangle+\left\langle b_{0}\right\rangle>\gamma>0
\]
(см. (1.3)) при $y=p=0$. Тогда существует константа $\varepsilon=\varepsilon(n, C, \gamma)$ такая, что при
\[
\sup _{x}|F(x, 0,0)|<\varepsilon
\]

система (2.1) имеет периодическое дважды непрерывно дифференцируемое решение.

Доказательство этой теоремы состоит в применении общей теоремы из $\S 5$ предыдущей главы.

Мы проверим выполнение основных предположений этой теоремы, которые перечислены в п. а) $\S 5$ гл. 1. Ниже будет показано, что решение $u$ системы (2.1) можно найти в заданной $C^{1}$-окрестности нуля, если только $\varepsilon$ выбрано достаточно малым. Тогда условия достаточно наложить только при $y=p=0$, так как из соображений непрерывности эти условия выполнены в окрестности, ноторая содержит решение.

Мы покажем даже, что решение на самом деле можно найти в заданной $C^{2}$-окрестности нуля. В самом деле, из общего неравенства Соболева получаем
\[
\left|u_{n}-u_{n-1}\right|_{2} \leqslant c\left\|u_{n}-u_{n-1}\right\|_{0}^{1-\alpha}\left\|u_{n}-u_{n-1}\right\|_{r}^{\alpha},
\]

где $\alpha=\frac{n+4}{2 r}$, если $r>\frac{n}{2}+2$, и в соответствии с (5.14)
\[
\left|u_{n}-u_{n-1}\right|_{2} \leqslant c K_{n}^{-(1-\alpha) \lambda+\alpha} .
\]

Следовательно, при
\[
\lambda>\frac{\alpha}{1-\alpha}=\frac{n+4}{2 r-n-4}
\]

показатель степени отрицателен и
\[
\left|u_{n}\right|_{2} \leqslant \sum_{
u=1}^{n}\left|u_{
u}-u_{
u-1}\right|_{2} \leqslant c^{\prime} K_{0}^{-(1-\alpha) \lambda+\alpha}=\delta,
\]

где константа $\delta$ может быть сделана произвольно малой. То же самое верно для $|u|_{0}$ и $|u|_{1}$. Мы должны, следовательно, проверять условия только в окрестности
\[
|u|_{0}+|u|_{1}+|u|_{2}<\delta<1 .
\]

Проверим теперь условие (5.4), т.е. существование приближенных решений у линеаризованного уравнения. Для проверки этого условия используем конструкцию из $\S 3$ гл. 1 , основанную на априорных оценках (3.2) гл. 1. Для получения таких оценок служит лемма из $§ 1$ гл. 2. Условие (1.3) выполнено для $u_{n}$, если $\left|u_{n}\right|_{0}+\left|u_{n}\right|_{1}$ достаточно мало. Если, кроме того, $\left|u_{n}\right|_{r}<K_{n}=K$, то $\|a\|_{l}+\|b\|_{l} \leqslant c K$ при $l=r-1$ в силу результатов $\S 2$ гл. 1. Это означает, что выполнены условия (3.2) при $s=l=r-1$, и, следовательно, можно построить приближенное решение с порядком аппроксимации
\[
\mu=r-1 .
\]

Получим теперь оценку (5.6). Выражение
\[
\mathfrak{A}=F(u+v, p+q)-F(u, p)-F_{u} v-F_{p} v_{x}
\]

можно оценить с помощью теоремы о среднем значении. Получим
\[
|\mathfrak{A}|<c\left(|v|^{2}+\left|v_{x}\right|^{2}\right),
\]

где $c$ зависит от $C$. Заметим, что $|u|,\left|u_{x}\right|<\delta<1$. Следовательно,
\[
\|\mathfrak{A}\|_{0} \leqslant c\left(|v|_{0}+|v|_{1}\right)\left(\|v\|_{0}+\|v\|_{1}\right) .
\]

Используя неравенства Соболева
\[
\|v\|_{1} \leqslant c\|v\|_{0}^{1-\alpha^{\prime}}\|v\|_{r}^{\alpha^{\prime}}, \quad \alpha^{\prime}=\frac{n+2}{2 r},
\]

находим $\|\mathfrak{A}\|_{0} \leqslant c\|v\|_{0}^{2-\beta}\|v\|_{r}^{\beta}$, где
\[
\beta=\frac{1}{r}+\frac{n+2}{2 r}=\frac{n+4}{2 r} .
\]

Нам осталось выяснить, когда условия (2.3), (2.4) и условия (5.8), (5.9) гл. 1 совместимы.

При $r>\frac{3 n}{2}+6$ из (2.5) следует $\beta<\frac{1}{3}$, а условие (2.3) выполнено с $\lambda=1$. Итак, для проверки (5.9) положим $\lambda=1, \mu=r-1$ и получим
\[
0<\beta<\frac{1}{3} \leqslant \frac{\lambda}{\lambda+1} \frac{\mu}{\mu+1}\left(1-2 \frac{\lambda+1}{\mu+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{r}\right)\left(1-\frac{4}{r}\right) .
\]

Это неравенство справедливо при $r \geqslant 15$. Следовательно, мы полагаем $r>\max \left(\frac{3 n}{2}+6,15\right)$.

Отметим, что при таком выборе $\lambda$ и $r=s+1$ имеет место также неравенство (5.23) гл. 1.

Вторые производные приближенных решений равномерно сходятся в силу (2.3), откуда следует, что решение $u$ имеет непрерывные вторые производные.