a. Выше упоминалось, что ряды, существование которых утверждает теорема Биркгофа, вообще говоря, расходятся, т. е. их радиус сходимости равен 0 . Точный результат в этом направлении был получен К. Зигелем [29]. Мы сформулируем его теорему для случая с двумя степенями свободы, не приводя сложного доказательства.
Снова рассмотрим гамильтониан вида
\[
H=\sum_{
u=1}^{2} \frac{\alpha_{
u}}{2}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)+H^{(3)}(x, y)+\ldots
\]

и обозначим общий член ряда через
\[
c_{k l} x^{k} y^{l}=c_{k_{1} k_{2} l_{1} l_{2}} x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} y_{1}^{l_{1}} y_{2}^{l_{2}} .
\]

Предположим, что этот ряд сходится, т. е. его коэффициенты допускают оценку вида
\[
\left|c_{k l}\right| \leqslant M A^{|k|+|l|} ; \quad|k|=k_{1}+k_{2} .
\]

Далее мы будем считать $M=1$ и $A=1$, т.е.
\[
\left|c_{k l}\right| \leqslant 1 \text {, }
\]

заменяя в случае необходимости $t$ на $M t$, а $(x, y)$ на $A^{-1}(x, y)$.
Рассмотрим теперь множество $\mathfrak{S}$ всех степенных рядов $H$, коэффициенты которых удовлетворяют неравенству (2). Мы хотим показать,

что гамильтонианы с иррациональным отношением $\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}$, для которых преобразование Биркгофа расходится, в некотором смысле плотны в $\mathfrak{S}$. Для этой цели нам придется ввести в $\mathfrak{S}$ топологию. Окрестностью в $\mathfrak{S}$ степенного ряда с коэффициентами $\stackrel{\circ}{c}_{k l}$ будем называть множество степенных рядов с коэффициентами $c_{k l}$, удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|c_{k l}-\stackrel{\circ}{c}_{k l}\right|<\varepsilon_{k l} \quad \text { при всех } k, l,
\]

для некоторой последовательности положительных чисел $\varepsilon_{k l}$, убывающих сколь угодно быстро с возрастанием $|k|+|l|$.

Теорема 4 (К. Зигель [29]). В любой окрестности (3) в $\mathfrak{S}$ найдется гамильтониан с иррациональным отношением $\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}$, для которого преобразование Биркгофа расходится, т.е. гамильтонианы, соответствующие расходящемуся случаю, плотны.

Эта теорема показывает, что вопрос о сходимости преобразования Биркгофа не может быть решен, если гамильтониан известен лишь с определенной степенью точности, так что вопрос этот физического смысла не имеет.

Между прочим, в некотором смысле и гамильтонианы, для которых преобразование Биркгофа сходится, тоже плотны в $\mathfrak{S}$. Если мы отбросим в рядах, задающих преобразование Биркгофа, старшие члены, сохранив только члены до порядка $N$, а затем подправим коэффициенты данного гамильтониана при старших членах, то получим тривиально сходящееся преобразование Биркгофа для модифицированного гамильтониана. Иными словами, если мы введем другую топологию в $\mathfrak{S}$, рассматривая в качестве окрестностей ряда с коэффициентами $\stackrel{\circ}{c_{k l}}$ все ряды с коэффициентами $c_{k l}$, удовлетворяющими неравенствам
\[
\left|c_{k l}-\stackrel{\circ}{c}_{k l}\right|<\varepsilon \quad \text { длн } \quad|k|+|l| \leqslant N,
\]

для некоторых $\varepsilon>0$ и $N \geqslant 3$, то множество гамильтонианов, соответствующих сходящемуся преобразованию Биркгофа, окажется плотным в $\mathfrak{S}$. Эта топология, конечно, много слабее введенной ранее.

Ситуация несколько напоминает ту, которая возникает при изучении распределения рациональных и иррациональных чисел на вещественной оси. И рациональные и иррациональные числа плотны на ней, и, следовательно, не имеет смысла говорить об иррациональности числа, если оно известно только с некоторой погрешностью, как это бывает в любых физических приложениях.

Хотя и те и другие числа образуют плотные множества, мы можем все-таки сказать, что множество иррациональных чисел более богато, чем множество рациональных. К примеру, рациональные числа образуют всего лишь счетное множество, в то время как мощность иррациональных чисел равна мощности континуума. Другая характеристика распределения точек множества в топологическом пространстве связана с понятием бэровской категории. О множестве говорят, что оно первой категории, если его можно представить в виде объединения не более чем счетной совокупности нигде не плотных множеств. Не вдаваясь в подробности, мы упомянем лишь о несколько разочаровывающем результате Зигеля [30], который гласит, что гамильтонианы, соответствующие сходящимся преобразованиям Биркгофа, образуют множество первой категории в смысле Бэра (в топологии (3)), т. е. представляют собой исключительный случай.
б. Существует тесная связь между сходимостью преобразования Биркгофа и существованием аналитических интегралов, которую мы вкратце опишем. В случае сходящегося преобразования Биркгофа, очевидно, существует $n$ независимых аналитических интегралов, начинающихся с квадратичных членов. В самом деле, достаточно преобразовать гамильтониан к нормальной форме, чтобы убедиться, что функции $\rho_{
u}=\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}$ являются интегралами движения. Возвращаясь к прежним координатам, мы обнаружим, что эти интегралы
\[
\rho_{
u}=x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}+\ldots
\]

являются независимыми аналитическими функциями, разложения которых начинаются с квадратичных членов.

В случае двух степеней свободы ${ }^{1}$ этот очевидный результат можно обратить, что и было сделано Рюссманом ${ }^{2}$. Он предположил, что система с гамильтонианом $H$ допускает интеграл
\[
G=\sum_{
u=1}^{2} \beta_{
u}\left(x_{
u}^{2}+y_{
u}^{2}\right)+\ldots
\]

такой, что
\[
\alpha_{1} \beta_{2}-\alpha_{2} \beta_{1}
eq 0 .
\]

Теорема 5 (Рюссман [27]). Если гамильтонова система имеет аналитический интеграл (4), удовлетворяющий условию (5), то преобразование Биркгофа сходится.

Все это объясняет, почему (следуя Биркгофу) мы называем «интегрируемым» случай, когда преобразование Биркгофа сходится.
в. В предшествующих результатах предполагалось, что собственные числа $\alpha_{
u}$ рационально независимы. Возможно, что в резонансном случае, т.е. при рациональном $\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}$, если $n=2$, преобразование к нормальной форме (см. теорему 3) сходится. К этой мысли можно прийти, заметив, что в конструкции преобразования теоремы 3 знаменатели $\langle j, \alpha\rangle=j_{1} \alpha_{1}+j_{2} \alpha_{2}$ отделены от 0 , поскольку члены, соответствующие $\langle j, \alpha\rangle=0$, в нормальную форму не входят. Иными словами, в этом случае нет никаких малых знаменателей! Однако ниже, по ходу дела, мы приведем (см. пункт е) пример, показывающий, что эти надежды не оправданы и что мы можем встретиться с расходимостью даже в случае отсутствия малых знаменателей!

Пример, который мы хотим привести сейчас, относится не к системам дифференциальных уравнений, а к отображению плоскости в себя, похожему на то, которое мы рассмотрели в связи с численными результатами Хенона и Хейлеса. Однако между системами дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия и отображениями в окрестности неподвижной точки существует тесная связь. Она будет пояснена в третьей лекции. Здесь же мы хотим только сформулировать теоремы об отображениях, аналогичные уже приводившимся теоремам о дифференциальных уравнениях. Эти результаты восходят к Дж. Биркгофу [4].

Для простоты мы ограничимся рассмотрением аналитических отображений $x, y$-плоскости в окрестности неподвижной точки, которая, как мы будем предполагать, находится в начале координат. Запишем рассматриваемое отображение в координатной форме
\[
M\left\{\begin{aligned}
x_{1} & =f(x, y)=a x+b y+\ldots, \\
y_{1} & =g(x, y)=c x+d y+\ldots,
\end{aligned}\right.
\]

где $f, g$ – вещественно-аналитические функции от $x, y$. Предположение о гамильтоновом характере дифференциальных уравнений в случае отображений (при $n=2$ ) соответствует предположению о том, что со-

храняется элемент площади $d x d y$, т.е. что
\[
\frac{\partial(f, g)}{\partial(x, y)}=1 .
\]

Поведение решений дифференциальных уравнений в течение длительного промежутка времени соответствует здесь поведению образов точки при итерациях $M^{k}=M^{k-1} \circ M$ отображения $M$. К примеру, устойчивость в случае отображений означает, что точки, близкие к неподвижной, при всех итерациях остаются в заранее заданной окрестности.

В рассматриваемом круге вопросов решающую роль играет линеаризованное отображение, определяемое матрицей
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \text {. }
\]

Будем предполагать, что итерации этой матрицы ограничены, т. е. что ее собственные числа лежат на единичной окружности
\[
\lambda=e^{ \pm i \alpha} \text {. }
\]

Обычно мы будем требовать также, чтобы $\lambda
eq \pm 1$. В подходящих координатах мы можем записать рассматриваемое отображение в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=x \cos \alpha-y \sin \alpha+\ldots=f(x, y), \\
y_{1}=x \sin \alpha+y \cos \alpha+\ldots=g(x, y) .
\end{array}\right.
\]
г. Можно попытаться найти систему координат, в которой отображение приняло бы нормальную форму, подобно тому как это было сделано для дифференциального уравнения. Такая нормальная форма действительно существует и тоже была построена Дж. Биркгофом в [4]; здесь, как и прежде, вопрос о сходимости мы не затрагиваем.

Теорема 6. Если $\frac{\alpha}{2 \pi}$ иррационально, то существуют формальные степенные ряды
\[
\begin{array}{l}
x=u(\xi, \eta)=\xi+u_{2}(\xi, \eta)+\ldots ; \\
y=v(\xi, \eta)=\eta+v_{2}(\xi, \eta)+\ldots,
\end{array}
\]

приводящие отображение (8) к нормальной форме
\[
\left\{\begin{array}{l}
\xi_{1}=\xi \cos \Phi-\eta \sin \Phi \\
\eta_{1}=\xi \sin \Phi+\eta \cos \Phi
\end{array}\right.
\]

где
\[
\Phi=\alpha+\beta\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)+\ldots
\]

является формальным степенным рядом от одной переменной $\rho=\xi^{2}+\eta^{2}$. При этом $u, v$ могут быть выбраны так, чтобы якобиан $\frac{\partial(u, v)}{\partial(\xi, \eta)}$ тождественно равнялся 1.

Другими словами, в новых координатах отображение представляет собой поворот на угол, зависящий от радиуса $\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$. Выражение $\rho=$ $=\xi^{2}+\eta^{2}$ инвариантно при отображении, т.е. является эквивалентом формального интеграла. Сходимость рядов $u, v$ снова не может быть гарантирована, поскольку в выражения для коэффициентов $u$ и $v$ входят малье знаменатели $\lambda^{k}-\lambda$. То что эти ряды, вообще говоря, расходятся, показал Рюссман [26].
д. Вопрос о существовании ряда $G$, остающегося инвариантным при отображении $M$ – будем называть его для краткости интегралом, – тесно связан с вопросом интерполируемости: существует ли для данного отображения $M$, сохраняющего площадь, такое семейство отображений $M^{t}$, что
\[
M^{0}=\mathrm{id} ; \quad M^{1}=M
\]

и
\[
M^{t+s}=M^{t} \circ M^{s} .
\]

Если такая интерполяция между тождественным отображением и отображением $M$ возможна, то можно показать, что семейство $M^{t}$ порождается сдвигом по траекториям некоторой системы уравнений Гамильтона
\[
\dot{x}=H_{y}(x, y) ; \quad \dot{y}=-H_{x}(x, y) .
\]

В этом случае $M^{t}$ представляет собой отображение, которое переводит $(x(0), y(0))$ в точку $(x(t), y(t))$, являющуюся значением в момент $t$ решения уравнений (11) с начальными условиями $(x(0), y(0)$ ). Но система (11) имеет первый интеграл $H$, являющийся, следовательно, и интегралом отображения $M$.

Оказывается, что справедливо и обратное: если наше отображение обладает интегралом, то интерполяция $M^{t}$ существует и нормальная

форма сходится. Таким образом, условие интерполируемости на самом деле эквивалентно условию существования интеграла. Этого утверждения мы доказывать не будем, но из примера, который мы приведем ниже (см. пункт е), будет видно, что интеграл может не существовать, а следовательно, может не существовать и интерполяция.

Однако мы сейчас покажем, что если требованием сходимости пренебречь, то всегда можно найти формальный интеграл $G .{ }^{1}$ Под последним мы подразумеваем формальный степенной ряд $G(x, y)$ (отличный от константы), коэффициенты которого совпадают с коэффициентами ряда $G(f(x, y), g(x, y))$. Будет показано также, что в классе формальных отображений разрешима и проблема интерполяции.

При иррациональных $\frac{\alpha}{2 \pi}$ такой интеграл был уже найден; это $\rho=\xi^{2}+\eta^{2}$. Интерполяция, очевидно, дается формулами
\[
\begin{aligned}
\xi_{t} & =\xi \cos (t \Phi)-\eta \sin (t \Phi), \\
\eta_{t} & =\xi \sin (t \Phi)+\eta \cos (t \Phi) .
\end{aligned}
\]

Поэтому мы переходим к случаю с рациональным $\frac{\alpha}{2 \pi}$, т.е. $\frac{\alpha}{2 \pi}=\frac{p}{q}$ или $\lambda^{q}=1$. У $q$-й итерации $M^{q}$ линейная часть – тождественное отображение:
\[
\begin{aligned}
x_{q} & =x+\ldots=f(x, y), \\
y_{q} & =y+\ldots=g(x, y) .
\end{aligned}
\]

Попытаемся построить ряды $\varphi(x, y), \psi(x, y)$ таким образом, чтобы отображение, порожденное сдвигом по траекториям системы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=\varphi(x, y)=\varphi_{2}+\varphi_{3}+\ldots, \\
\dot{y}=\psi(x, y)=\psi_{2}+\psi_{3}+\ldots
\end{array}
\]

на время $t=q$, совпадало с $M^{q}$. Как мы увидим, этого можно достичь методом сравнения коэффициентов. Если мы разложим решения дифференциальных уравнений по степеням координат начальной точки, которые снова обозначим через $x, y$, то получим ряды
\[
\begin{array}{l}
x(t)=x+t \varphi_{2}(x, y)+\ldots, \\
y(t)=y+t \psi_{2}(x, y)+\ldots,
\end{array}
\]

коэффициенты которых зависят от времени $t$.

Члены порядка $k$ в этом разложении будут зависеть только от $\varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots, \varphi_{k}, \psi_{2}, \psi_{3}, \ldots, \psi_{k}$; точнее: они будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
t \varphi_{k}+\text { члены, зависящие от } \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k-1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k-1}, \\
t \psi_{k}+\text { члены, зависящие от } \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k-1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k-1} .
\end{array}
\]

Таким образом, если мы будем действовать по индукции и рассматривать $\varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k-1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{k-1}$ как уже известные, то найдем $\varphi_{k}, \psi_{k}$, полагая указанные выражения при $t=q$ равными $f_{k}, g_{k}$. Этим доказательство завершается. Мы, однако, получили несколько больше, чем собирались: помимо существования рядов $\varphi, \psi$, нами доказано, что $f$ и $g$ определяют их однозначно. Ясно, что ряды $\varphi, \psi$ имеют вещественные коэффициенты, поскольку тем же свойством обладают $f$ и $g$. Докажем теперь, что сохранение площади преобразованием (12) имеет следствием тождество
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \equiv 0 .
\]

В самом деле, если через $D(t, x, y)$ обозначить якобиан отображения $(x, y) \rightarrow(x(t), y(t))$, задаваемого рядами (13), то
\[
\frac{\partial}{\partial t} D(t, x, y)=\tau(X, Y) D(t, x, y) ; \quad D(0, x, y) \equiv 1,
\]

где $\tau(x, y)=\varphi_{k}+\psi_{y}$ и $X=x(t), Y=y(t)$. Если теперь $\tau$ не равно тождественно нулю, то найдется первый ненулевой член
\[
\tau=\tau_{k}(x, y)+\ldots, \quad \text { где } \quad \tau_{k}
ot \equiv 0 \quad(k \geqslant 1) ;
\]

согласно (13),
\[
\tau(X, Y)=\tau_{k}(x, y)+\ldots
\]

Ясно, что в уравнении (15) правая часть начинается с членов порядка $\geqslant k$, откуда $D$ имеет вид $D=1+D_{k}+\ldots$. Для членов порядка $k$ мы находим из (15)
\[
\frac{\partial}{\partial t} D_{k}=\tau_{k},
\]
т. e.
\[
D_{k}=t \tau_{k}(x, y),
\]

а следовательно, якобиан $M^{q}$
\[
\frac{\partial(f, g)}{\partial(x, y)}=1+q \tau_{k}(x, y)+\ldots
\]

Это противоречит предположению, что якобиан (12) равен тождественно единице.

Из (14) следует, что существует формальный степенной ряд $H(x, y)$, для которого
\[
\varphi=H_{y}, \quad \psi=-H_{x},
\]

так что $M^{q}$ порождается системой (11) (при $t=q$ ), где $H$ – найденный формальный степенной ряд. Таким образом, $H$ – искомый интеграл отображения $M^{q}$.

Конечно, $H(P), H(M P), \ldots, H\left(M^{q-1} P\right)$ могли бы различаться между собой, т.е. $H$ могло бы не быть интегралом отображения $M$. Но оказывается (как будет выяснено в приложении к этой главе), что в действительности $H$ автоматически является интегралом и для $M$. Более того, поток
\[
\Lambda^{t} \circ M^{t}
\]
(где $\Lambda^{t}$ есть отображение $x+i y \rightarrow \lambda^{t}(x+i y) ; \lambda=e^{i \alpha}$ ) является искомой интерполяцией самого $M$. Это связано с тонким вопросом о нахождении корня $q$-й степени из отображения, если его линейная часть известна.

Еще раз подчеркнем, что интерполяция нами построена всего лишь в классе формальных рядов. Хотя в случае рационального $\frac{\alpha}{2 \pi}=\frac{p}{q}$ эти ряды и не содержат малых знаменателей, можно привести пример (и мы его приведем), когда они расходятся. Более того, их расходимость – общая ситуация.
е. В качестве примера, где нет сходящихся интегралов, мы рассмотрим полиномиальное отображение (см. Мозер [21])
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\left(x+y^{3}\right) \cos \alpha-y \sin \alpha, \quad(\sin \alpha
eq 0) \\
y_{1}=\left(x+y^{3}\right) \sin \alpha+y \cos \alpha .
\end{array}
\]

Когда $\alpha$ несоизмеримо с $2 \pi$, можно ввести формальные координаты $\xi, \eta$, для которых выражение $\xi^{2}+\eta^{2}$ сохраняется. Будучи записано в этих координатах, наше отображение примет вид (9), где угол
\[
\Phi=\alpha-\frac{3}{8}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)+\ldots
\]

постоянен на каждой окружности $\rho=\xi^{2}+\eta^{2}$, но меняется вместе с изменением $\rho$. Если бы этот ряд сходился в какой-нибудь окрестности начала, то можно было бы найти рациональное число $\frac{p}{2 q}$, такое, что
\[
\Phi=2 \pi \frac{p}{2 q}
\]

для некоторых $\xi, \eta$ с $\xi^{2}+\eta^{2}$, меньшим радиуса сходимости. Это означало бы, что целая окружность $\xi^{2}+\eta^{2}=\rho$ (с подходящим $\rho$ ) состояла бы из неподвижных точек отображения $M^{2 q}$. Мы увидим, однако, что при любом $q$ отображение $M^{2 q}$ имеет не более конечного числа $\left(\leqslant 3^{2 q}\right)$ неподвижных точек, что противоречит предположению о сходимости ${ }^{1}$.

В самом деле, координаты неподвижных точек $M^{q}$ удовлетворяют условиям $x_{2 q}=x ; y_{2 q}=y$. Для дальнейших рассуждений удобно заменить их на эквивалентные.
\[
x_{q}=x_{-q}, \quad y_{q}=y_{-q},
\]

где $\left(x_{-q}, y_{-q}\right)$ – образ точки $(x, y)$ при $M^{-q}$. Система (16) состоит из двух полиномиальных уравнений, а потому, согласно теореме Безу [33], имеет не более конечного числа корней, если только уравнения, ее составляющие, не содержат общего множителя. Мы покажем сейчас, что в нашем случае это может быть гарантировано при $\sin \alpha
eq 0$.

С этой целью заметим, что отображение $M^{-1}$, обратное к $M$, также полиномиально:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{-1}=x \cos \alpha+y \sin \alpha+(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{3}, \\
y_{-1}=-x \sin \alpha+y \cos \alpha
\end{array}\right.
\]

Полиномиально, следовательно, и $M^{-q}$. Можно вычислить члены высшего порядка полиномов $x_{q}-x_{-q}, y_{q}-y_{-q}$ :
\[
\begin{array}{l}
P=a_{q} \cos \alpha y^{3^{q}}-a_{q}(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{3^{q}}, \\
Q=a_{q} \sin \alpha y^{3^{q}} .
\end{array}
\]

Очевидно, они общих множителей не имеют (при $\sin \alpha
eq 0$ ), откуда вытекает, что $x_{q}-x_{-q}$ и $y_{q}-y_{-q}$ взаимно просты. Этим доказательство расходимости в нашем примере, когда $\frac{\alpha}{2 \pi}$ иррационально, завершается.

В действительности наши рассуждения применимы и в случае рационального $\frac{\alpha}{2 \pi}$, где мы тоже можем построить аналогичную нормальную форму (см. ниже приложение а). Преобразование, приводящее к нормальной форме, малых знаменателей не содержит и все же, как можно показать, оно расходится.
ж. Добавление ${ }^{1}$. Упомянем, что в этом году Рюэль и Хенон [25] опубликовали работу о полиномиальном отображении, весьма похожем на приведенное выше. Их исследования, в основном, численные; они сравнивают интеграл, полученный из преобразования Биркгофа, с результатами непосредственных вычислений. Авторы находят согласование превосходным, по крайней мере вблизи неподвижной точки.

Рюссман [28] доказал сходимость преобразования к нормальной форме в особом случае, когда преобразованный гамильтониан зависит только от одной переменной $p=\sum_{
u=1}^{n} \alpha_{
u}\left(\xi_{
u}^{2}+\eta_{
u}^{2}\right)$.
[А. Д. Брюно [5*] подробно изучил сходимость и расходимость рядов, задающих преобразование, приводящее аналитическую систему дифференциальных уравнений к нормальной форме в окрестности положения равновесия, а также структуру самой нормальной формы. Гамильтоновы системы рассмотрены в этой статье в $\S 12$ (см. также [6*]). Там же можно найти много исторических и литературных ссылок. В конце статьи автор специально останавливается на проблеме устойчивости положения равновесия для гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, в частности указывая на пробел в доказательстве теоремы 7. Применительно к задачам небесной механики затрагиваемые в этой лекции вопросы рассматриваются также в [1*]. Добавлено редактором перевода.]