Будем искать решение уравнения $E(u)=0$ с помощью модификации метода ньютоновских итераций, начиная с $u_{0}$. Вводя поправку $\widetilde{u}=u+v$ к $u$, запишем
\[
E(u+v)=E(u)+E^{\prime}(u) v+Q,
\]

где $Q$ — остаток и
\[
E^{\prime}(u) v=\left(h_{11}+h_{22}^{-}\right) v+h_{12} v^{+}+h_{12}^{-} v^{-} .
\]

Первая мысль — избавиться от линейных членов:
\[
E^{\prime}(u) v=-E(u),
\]

чтобы сделать $E(u+v)$ квадратично малым по сравнению с $E(u)$. Это лежит в основе метода итераций Ньютона. Однако уравнение (12) сложно решить. К счастью, избавляться от линейных членов не обязательно: будет достаточно сделать их квадратично малыми. Для того чтобы точно определить, как модифицировать уравнение (12), умножим обе части уравнения на $u_{\theta}$ и выделим квадратично малые слагаемые

$v \frac{d}{d \theta} E(u)=v E^{\prime}(u) u_{\theta}$ из левой части. В результате получим гомологическое уравнение, уже не эквивалентное (12):
\[
u_{\theta} E^{\prime}(u) v-v E^{\prime}(u) u_{\theta}=-u_{\theta} E(u) .
\]

После того как $v$ определено из этого уравнения, $E(u+v)$ все еще оказывается квадратично малым по сравнению с $E(u)$, как мы увидим позднее, но сначала покажем, как решается уравнение (13). Заметим, что
\[
u_{\theta} E^{\prime}(u) v-v E^{\prime}(u) u_{\theta}=h_{12}\left(u_{\theta} v^{+}-u_{\theta}^{+} v\right)+h_{12}^{-}\left(u_{\theta} v^{-}-u_{\theta}^{-} v\right) ;
\]

вводя новую неизвестную $w=\frac{v}{u_{\theta}}$, перепишем это выражение в виде
\[
h_{12} u_{\theta} u_{\theta}^{+}\left(w^{+}-w\right)-h_{12}^{-} u_{\theta}^{-} u_{\theta}\left(w-w^{-}\right)=
abla^{*}\left(h_{12} u_{\theta} u_{\theta}^{+}
abla w\right),
\]

где
\[

abla f(\theta) \equiv f(\theta+\omega)-f(\theta), \quad
abla^{*} f(\theta) \equiv f(\theta)-f(\theta-\omega) .
\]

Итак, мы преобразовали (13) в
\[

abla^{*}\left(h_{12} u_{\theta} u_{\theta}^{+}
abla w\right)=-u_{\theta} E(u) .
\]

Ньютоновский шаг определяется следующим образом. Задавая $u$, находим $w$ из гомологического уравнения (14) и положим
\[
\widetilde{u}=u+v, \quad v=u_{\theta} w .
\]

В следующих разделах будет показано, что при соответствующем выборе областей определения и констант повторные итерации этого шага сходятся к решению рассматриваемого уравнения $E(u)=0$.

Набросок доказательства основной теоремы. Мы покажем, что один шаг (15) дает новую погрешность, квадратичную по отношению к предыдущей, как и ожидается по аналогии с ньютоновским шагом: $|E(\widetilde{u})|_{\rho} \sim|E(u)|_{r}^{2} /(r-\rho)^{4 \tau}$. Это сделано в разделе 6. Улучшенный метод Ньютона, однако, сталкивается с проблемой малых знаменателей, вследствие малых делителей. В разделе 7 будет показано, что этот шаг можно повторять бесконечное число раз, и сходимость достигается при надлежащем выборе параметров. В следующем разделе 5 изучается гомологическое уравнение.

Эвристическое соображение. В данном подходе существен приведенный прием записи подправленных членов в виде $u_{\theta} w$. Это можно мотивировать тем, что в случае, когда $u$ уже является решением уравнения $E(u)=0$, оператор $E^{\prime}(u)$ имеет нулевые решения, кратные $u_{\theta}$. Таким образом, полагая $v=u_{\theta} w$, получим, что соответствующий оператор имеет в качестве нулевых решений константы («вариация произвольных постоянных»). Кроме того, поскольку оператор $E^{\prime}$ симметричен, то оператор $u_{\theta} E^{\prime}(u) u_{\theta}$ также симметричен, поэтому его сопряженный оператор тоже содержит константы в своем пространстве нулевых значений, что следует из формулы $u_{\theta} E^{\prime}(u) u_{\theta} w=\left(
abla^{*} a
abla\right) w$ (с $a=h_{12} u_{\theta} u_{\theta}^{+}$). Следовательно, область значений этого оператора содержит только функции с нулевым средним значением, и уравнение (4) возникает как необходимое условие совместности для разрешимости уравнения (14).