a) Рассмотрим слоения коразмерности 1 на компактном многообразии $M$. Ограничимся случаем тора $M=T^{m}$, т. к. для нас будет важно,

чтобы фундаментальная группа являлась коммутативной. Гладкое слоение состоит из непрерывного однопараметрического семейства гладких гиперповерхностей, однократно покрывающих $M$. Такие гиперповерхности называются листами слоения. Локально эти листы могут быть представлены как поверхности уровня гладкой функции без критических точек. Для $m=2$ эти листы являются кривыми, которые могут рассматриваться как фазовые траектории векторного поля, или, более точно, как интегральные кривые линейного поля, т. к. эти кривые обычно не допускают совместной ориентации. Это поясняется на примере линий уровня функции
\[
e^{x_{1}} \sin ^{2}\left(\pi x_{2}\right)
\]

на двумерном торе $T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}$.
Слоение может рассматриваться как обобщение векторного поля, когда листы соответствуют орбитам. Для коразмерности 1 слоение также может быть описано полем нормалей. Листы могут быть компактными (как $x_{2}=0$ в примере, указанном выше) или некомпактными. В первую очередь нас интересует слоение с некомпактными листами. В качестве примера рассмотрим семейство параллельных гиперплоскостей
\[
\sum_{
u=1}^{m} \alpha_{
u} x_{
u}=\mathrm{const} ; \quad \bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}\right)
eq 0 .
\]

Они задают слоение $\mathcal{F}_{\alpha}^{0}$ на $T^{m}$. Оно состоит из компактных листов (торов меньшей размерности), тогда и только тогда, когда $\bar{\alpha}$ кратно рациональному вектору. С другой стороны, каждый лист является плотным на $T^{m}$ тогда и только тогда, когда прямая $N=\{\lambda \bar{\alpha} ; \lambda \in \mathbb{R}\}$ перпендикулярная к слоению, не пересекается ни с одним узлом решетки, кроме (0), т.е.
\[
N \cap \mathbb{Z}^{m}=(0) .
\]

Для $m=2$ это утверждение равнозначно следующему факту. На тоpe $T^{2}=\mathbb{R}^{2} / \mathbb{Z}^{2}$ линия $\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}=0$ соответствует плотной кривой на $T^{2}$ тогда и только тогда, когда ее наклон $-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}$ иррационален и соответствует окружности тогда и только тогда, когда ее наклон рационален (или равен бесконечности).
б) Назовем слоение минимальным относительно вариационной задачи, если каждый лист минимизирует эту вариационную задачу, когда рассматривается в накрывающем пространстве $\mathbb{R}^{m}$. Например, если функционал определен как ( $m-1$ )-мерная площадь листа по метрике
\[
d s^{2}=\sum_{
u, \mu=1}^{m} g_{
u \beta}(\bar{x}) d x_{
u} d x_{\mu},
\]

где $g_{
u \mu}(\bar{x}+\bar{j})=g_{
u \mu}(\bar{x})$ для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{m}$, тогда листы будут минимальными поверхностями в $\mathbb{R}^{m}$. Ясно, что для плоской метрики
\[
d s_{0}^{2}=\sum_{
u=1}^{m} d x_{
u}^{2}
\]

все аффинные гиперплоскости являются минимальными поверхностями, и поэтому семейство $\mathcal{F}_{\alpha}^{0}$, заданное выражением (1.2), является примером минимального слоения относительно пространственного функционала $d s_{0}^{2}$.

Существуют ли такие минимальные слоения относительно другой метрики $d s^{2}$ ? Сейчас мы приведем результат, поясняющий типичный феномен, который будет обсуждаться в дальнейшем. Для этого назовем слоение $\mathcal{F}_{0}$, минимальное относительно пространственного функционала $d s_{0}^{2}$, устойчивым, если для любой близкой метрики $d s^{2}$ (близкой в $C^{\infty}$-топологии) существует слоение $\mathcal{F}$, которое в свою очередь минимально относительно $d s^{2}$ и диффеоморфно $\mathcal{F}^{0}$. Это значит, что существует гладкий диффеоморфизм $\psi$ (близкий к тождественному) тора $T^{m}$, преобразующий листы $\mathcal{F}^{0}$ в листы $\mathcal{F}$.

Существуют ли устойчивые слоения? Можно легко убедиться, что семейство минимальных подторов, скажем $x_{m}=$ const, при возмущении метрики переходит в семейство, состоящее лишь из конечного числа таких торов. Это показывает, что слоение $(1.2)$ с $\bar{\alpha}=(0,0, \ldots, 0,1)$ будет неустойчивым. С другой стороны, если листы (1.2) плотные, то

устойчивость более вероятна. Усилим условие (1.3) и потребуем, чтобы нормаль $N$ не проходила «слишком близко» кешетке $\mathbb{Z}^{m}$, введя диофантово условие
\[
\sum_{1 \leqslant
u<\mu \leqslant m}\left(\alpha_{
u} j_{\mu}-\alpha_{\mu} j_{
u}\right)^{2} \geqslant|\bar{\alpha}|^{2} c_{0}^{-1}|\bar{j}|^{-2 \tau} \quad \text { для всех } \quad \bar{j} \in \mathbb{Z}^{m} \backslash(0)
\]

для некоторых положительных констант $\tau, c_{0}$. Оказывается, что для почти всех векторов $\bar{\alpha} \in \mathbb{R}^{m}$ такие нонстанты существуют. К тому же из этого условия не следует, что $\alpha_{
u}$ являются независимыми в поле рациональных чисел. Для $m \geqslant 3$ могут, например, существовать векторы $\bar{\alpha}$ с координатами $\alpha_{2}=1, \alpha_{3}=\ldots=\alpha_{m}=0$, удовлетворяющие неравенству (1.5).

Теорема 1.1. Если $\bar{\alpha}$ удовлетворяет условию (1.5), то слоение $\mathcal{F}_{\alpha}^{0}$, заданное (1.2) и минимальное относительно $d s_{0}^{2}$, будет устойчивым.

Этот результат показывает, что вопрос об устойчивости связан с теоретико-числовыми условиями на нормальный вектор $\bar{\alpha}$. С другой стороны, если $\bar{\alpha}$ – рациональный вектор, то $\mathcal{F}_{\alpha}^{0}$, разумеется, неустойчиво.

Для $m=2$ эти минимальные слоения соответствуют полям геодезических линий на торе $T^{2}$. Для плоского тора $T^{2}$ все геодезические линии – прямые линии на $\mathbb{R}^{2}$, и для каждого направления $\bar{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \backslash(0)$ существует минимальное слоение перпендикулярное к $\alpha$. Хорошо известно, что любая геодезическая линия, вложенная в поле экстремалей, таких как листы слоений, является глобально минимальной, и в частности не имеет сопряженных точек.

Согласно теореме Е. Хопфа, метрика на торе, для которой все геодезические линии не имеют сопряженных точек, обязательно плоская. Это показывает, что для произвольных метрик не все геодезические линии являются элементами минимальных слоений.
в) В дальнейшем ограничимся слоениями, листы которых могут быть представлены в виде графиков функции. Для этого примем $m=$ $=n+1$,
\[
\bar{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}, \quad x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}
\]

и потребуем, чтобы листы на накрывающем пространстве $\mathbb{R}^{m}$ были представимы в качестве графиков
\[
x_{n+1}=u(x) .
\]

Вышеуказанный пример показывает, что не каждое слоение допускает такое представление. Такое достаточно негеометрическое ограничение связано с непараметрическим характером вариационной задачи:
\[
\int F\left(x, u, u_{x}\right) d x ; \quad d x=d x_{1} \wedge \ldots \wedge d x_{n} .
\]

Здесь мы полагаем, что
\[
\begin{array}{l}
\text { (I) } F=F(\bar{x}, p) \in C^{2, \varepsilon}\left(T^{n+1} \times \mathbb{R}^{n}\right) \text {, } \\
\text { т. е. имеет период } 1 \text { по } x_{1}, \ldots, x_{n+1} \text {. } \\
\text { (II) Существует } \delta \in(0,1] \text { такая, что } \\
\delta|\xi|^{2} \leqslant \sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}} \xi_{
u} \xi_{\mu} \leqslant \delta^{-1}|\xi|^{2} \\
\text { для всех } \xi \in \mathbb{R}^{n} \text { (условие Лежандра). } \\
\text { (III) Квадратичный рост: существуют положительные } \\
\delta|p|^{2} \leqslant F(\bar{x}, p) \leqslant \delta^{-1}|p|^{2}+c_{1}, \\
\sum_{j=1}^{n+1}\left|F_{x_{j}}(\bar{x}, p)\right| \leqslant c_{2}\left(|p|^{2}+1\right) \\
\text { для всех } \bar{x} \in \mathbb{R}^{n+1}, \quad p \in \mathbb{R}^{n} \text {. } \\
\end{array}
\]
константы $\delta, c_{1}, c_{2}$ такие, что

Из условия периодичности (I) следует, что вариационная задача определена на торе $T^{n+1}$. Условия (1.8), более слабые, чем условия в [17], достаточны для оценок минималей (см. [7]).
Типичным примером является квадратичный полином
\[
F=(a(\bar{x}) p, p)+2(b(\bar{x}), p)+c(\bar{x})
\]

с коэффициентами периода 1 по $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}$ и с положительной симметричной матрицей $a(\bar{x})$. В частном случае
\[
F=\frac{1}{2}|p|^{2}+v(\bar{x})
\]

два слагаемых соответствуют кинетической и потенциальной энергии. Назовем $u=u(x)$ экстремалью вариационной задачи, если она является

решением уравнения Эйлера
\[
\sum_{
u=1}^{n} \partial_{x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x}\right)=F_{x_{n+1}}\left(x, u, u_{x}\right) .
\]

Вместо изучения слоения на $T^{n+1}$, поднимем его в накрывающее пространство и рассмотрим слоение на $\mathbb{R}^{n+1}$. Нужно принять во внимание, что это слоение инвариантно относительно действия $\mathbb{Z}^{n+1}$.

Определение 1.2. $\mathbb{Z}^{n+1}$-инвариантное $F$-минимальное слоение определяется непрерывной функцией $u: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ со следующими свойствами:
1) для каждого $\lambda \in \mathbb{R}$ функция $u=u(x, \lambda)$ является решением уравнения Эйлера для всех $x \in \mathbb{R}^{n}$;
2) для каждого $x \in \mathbb{R}^{n}$ отображение $\lambda \rightarrow u(x, \lambda)$ является гомеоморфизмом $\mathbb{R}$ на $\mathbb{R}$, в частности, $u(x, \lambda)<u\left(x, \lambda^{\prime}\right)$ для $\lambda<\lambda^{\prime}$;
3 ) слоение, заданное листами $\left\{x_{n+1}=u(x, \lambda), \lambda \in \mathbb{R}\right\}$ инвариантно относительно $\mathbb{Z}^{n+1}$-действия.

Из теории регулярности следует, что листы принадлежат $C^{2}$, т.е. $u(\cdot, \lambda) \in C^{2}$, даже если предположить, что $u$ нвляются только слабыми $H_{\text {loc }}^{1,2}$-решениями уравнения (1.10). Однако мы предполагаем только непрерывную зависимость от $\lambda$.

Ввиду гладкости листов минимального слоения единичный нормальный вектор (вместе с позицией $x_{n+1}$-компоненты) корректно определен и непрерывно зависит от своей исходной точки. Примечательно, что этот нормальный вектор всегда непрерывен по Липшицу. С другой стороны, непрерывность по Липшицу является оптимальной, как показывает следующий пример. Если $n=1$ и
\[
F=\frac{1}{2}\left(u_{x}^{2}-\frac{1}{2 \pi} \cos 2 \pi u\right),
\]

то уравнение Эйлера принимает вид
\[
u_{x x}=\frac{1}{2} \sin 2 \pi u .
\]

Для этой задачи минимальное слоение задано уравнением
\[
u_{x}=\frac{1}{\pi}|\sin \pi u|,
\]

которое имеет лишь непрерывную по Липшицу нормаль, в то время как листы, заданные соотношением
\[
\operatorname{tg} \frac{\pi}{2} u=c e^{x} \quad \text { для всех } c \geqslant 0,0 \leqslant u<1,
\]

очевидно являются аналитическими.
Было бы более правильным говорить об экстремальном слоении, т.к. требуется лишь, чтобы листы были экстремалями вариационной задачи (1.7). Однако оказывается, что любой лист такого слоения автоматически минимален в следующем глобальном смысле.

Определение 1.3. Функция $u \in H_{\text {loc }}^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ называется минималью (1.7), если
\[
\int_{\mathbb{R}^{n}}\left(F\left(x, u+\varphi, u_{x}+\varphi_{x}\right)-F\left(x, u, u_{x}\right)\right) d x \geqslant 0
\]

для всех $\varphi \in H_{\text {comp }}^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$.
Очевидно, что не всякая экстремаль является минималью, в то время как, конечно же, любая минималь является экстремалью. В самом деле, для $n=1$ очевидно, что любая экстремаль с сопряженными точками не является минималью. В целом, множество минималей образует подмножество множества экстремалей. Однако, для слоений это различие между экстремалями и минималями исчезает.

Мы не станем приводить полного доказательства этого утверждения, обосновывающего нашу терминологию, о том, что «экстремальное» слоение автоматически является минимальным слоением. Однако мы укажем идею доказательства: если $u=u\left(x, \lambda_{0}\right)$ является листом экстремального, но не минимального с.оения, то существует шар $B \subset \mathbb{R}^{n}$ и $v \in H^{1,2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ такой, что $v=u$ вне $B$ и
\[
\int_{B} F\left(x, v, v_{x}\right) d x<\int_{B} F\left(x, u, u_{x}\right) d x .
\]

Можно считать, что $v$ является минималью правого интеграла с граничным условием $v=u$ на $\partial B$. Таким образом, $v$ удовлетворяет уравнению Эйлера в $B$. Так как $v
ot \equiv u$ в $B$, то
\[
\max _{x \in B}\left(v(x)-u\left(x, \lambda_{0}\right)\right)>0 \text { либо } \min _{x \in B}\left(v(x)-u\left(x, \lambda_{0}\right)\right)<0 .
\]

Предположим, что выполнено первое неравенство, и рассмотрим функцию
\[
\mu(\lambda)=\max _{x \in B}(v(x)-u(x, \lambda)),
\]

которая при $\lambda \rightarrow+\infty$ стремится к $-\infty$, следовательно, принимает значение 0 для некоторого $\lambda=\lambda^{*}>\lambda_{0}$. Из этого следует, что $v(x) \leqslant$ $\leqslant u\left(x, \lambda^{*}\right)$ для всех $x \in B$ с равенством в некоторой внутренней точке $B$. Другими словами, $u\left(x, \lambda^{*}\right)-v(x)$ принимает свое минимальное значение, а именно 0 , в некоторой внутренней точке $B$. Так как эта разность удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных, то это утверждение противоречит принципу максимума.

Таким образом, листы минимального слоения всегда являются минималями, в смысле определения 1.3. Листы слоения имеют другое, очень важное для нас, свойство, а именно, у них нет самопересечения на торе. Для слоения в накрывающем пространстве это означает следующее: если $x_{n+1}=u(x)$ является листом $\mathbb{Z}^{n+1}$-инвариантного слоения, тогда таким же является лист полученный из него переносом
\[
x_{n+1}+j_{n+1}=u(x+j), \quad j \in \mathbb{Z}^{n} .
\]

Будем говорить, что $u$ не имеет самопересечений на $T^{n+1}$, если для каждого фиксированного $\left(j, j_{n+1}\right) \in \mathbb{Z}^{n+1}$
\[
u(x+j)-j_{n+1}-u(x)
\]

не меняет знак, т. е. если для всех $x \in \mathbb{R}^{n}$ выполнено
\[
u(x+j)-j_{n+1}-u(x)>0 \text { или } \equiv 0 \text { или }<0 .
\]

Случай, когда эта разность больше либо равна 0 и где-то равна нулю, исключается по принципу максимума, поскольку тогда разность тождественно равна нулю. Таким образом, и не имеет самопересечений ( на $T^{n+1}$ ) тогда и только тогда, когда множество переносов
\[
\tau_{\bar{j}} u:=u(x+j)-j_{n+1} ; \quad \bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1}
\]

вполне упорядочено.

Для дальнейшего, запомним: листы минимального слоения а) минимальны, в смысле (1.11) и б) не имеют самопересечений, в смысле $(1.12)$.