1. Чтобы сделать яснее доказательство теоремы 1 , мы ограничимся случаем $\alpha(r)=r, s=1$, оставив обсуждение более общего случая до $\S 5$. Обозначим угловую переменную $\theta$ через $x$, а радиус $r$ через $y$. Тогда отображение принимает вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=x+y+f(x, y), \\
y_{1}=y+g(x, y)
\end{array}\right.
\]

в кольце $a \leqslant y \leqslant b$, где функции $f, g$ имеют период $2 \pi$ по $x$ и где $b-a \geqslant c_{0}^{-1}$. Предположение малости $f$ и $g$ выражаются неравенствами
\[
|f|+|g|<\delta_{0}
\]

и
\[
\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} f\right|+\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} g\right|<c_{0} \quad \text { при } \quad \rho_{1}+\rho_{2}=l .
\]

Число $\omega$ выберем в интервале
\[
a+\varepsilon<\omega<b-\varepsilon,
\]

причем так, чтобы
\[
\left|\omega-\frac{2 \pi m}{n}\right| \geqslant \varepsilon n^{-\sigma+3 / 2} \quad \text { для всех целых } \quad n>0, m .
\]

Здесь $\sigma$ есть целое число $\geqslant 4$.
Построим инвариантную кривую с помощью итерационного процесса следующего типа. В данном кольце $a<y<b$ найдем более узкое кольцо и введем (в этом узком кольце — перев.) подходящие полярные координаты $\xi(\bmod 2 \pi)$ и $\eta$ таким образом, чтобы преобразованное отображение приближало отображение кручения с большей точностью, чем исходное. Повторив это построение, мы найдем в предыдущем кольце еще более узкое кольцо и подходящие координаты, в которых преобразованное отображение еще точнее приближает кручение. В пределе последовательность колец сожмется к искомой инвариантной кривой. В то же время угловой параметр на этой кривой будет как раз таким, в котором индуцированное отображение станет вращением.

Было бы достаточно, конечно, найти инвариантную кривую без нормализованного параметра, который можно ввести на втором шагу. Однако для построения инвариантной кривой необходимо, чтобы число вращения плохо приближалось рациональными кратными $2 \pi$. Число вращения должно контролироваться в процессе итерации. Ввиду этого представляется невозможным определить кривую без одновременного нахождения на ней нормализованного параметра.

Чтобы провести это построение и доказать его сходимость, мы опишем сначала общий $n$-й шаг, т. е. переход от ( $n-1$ )-го кольца к $n$-му. Положение колец и отклонение отображений от кручения оцениваются с помощью нескольких параметров, которые мы теперь введем. Для простоты заранее укажем соотношения между этими параметрами, а именно $N, M$ и $\delta$. Пусть
\[
\chi=\frac{4}{3}, \quad
u=6(\sigma+1), \quad l=3+11
u
\]

и для $N>1$
\[
M=N^{
u}>N, \quad \delta=M^{-2 \chi} .
\]

Для дальнейшего доказательства принципиально важен тот факт, что итерационный процесс, который мы получим, быстро сходится: отклонение отображения от кручения убывает, как $\delta_{0}^{\chi^{n}}$ (а не только как $\delta_{0}^{n}$ ). Это выражает формулируемая ниже теорема.

Параметры $N_{-}, M_{-}, \delta_{-}$, относящиеся к ( $\left.n-1\right)$-му шагу итерации, связаны с $N, M, \delta$ равенствами
\[
N=N_{-}^{\chi}, \quad M=M_{-}^{\chi}, \quad \delta=\delta_{-}^{\chi} .
\]

Ослабим теперь оценки (2.2) и (2.2′), чтобы приспособить их к индукции, и предположим, что
\[
\begin{array}{c}
|f|+|g|<\delta_{-} \quad \text { при } \quad|y-\omega|<\frac{1}{M_{-}}, \\
\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} N_{-} f\right|+\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} M_{-} g\right| \leqslant N_{-}^{\rho_{1}+1} M_{-}^{\rho_{2}}, \quad \rho_{1}+\rho_{2}=l .
\end{array}
\]

Впоследствии мы заменим параметр $\delta_{-}$на $\delta_{n-1}=\delta_{0}^{\chi^{n-1}}$ и аналогично поступим с $N_{-}$и $M_{-}$.

Отметим, что для исходного отображения условия (2.6) и (2.6′) будут выполнены при $n=1$, если $\delta_{0}$ выбрано достаточно малым. Действительно, (2.2) и (2.6) согласуются между собой и при $M_{0}>\varepsilon(2.3)$ и $|y-\omega|<1 / M_{0}<\varepsilon$ гарантируют неравенства $a<y<b$. Наконец, из $\left(2.2^{\prime}\right)$ вытекает
\[
\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} N_{0} f\right|+\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} M_{0} g\right| \leqslant c_{0} M_{0},
\]

и так как из $M_{0}>N_{0}$ и $\rho_{1}+\rho_{2}=l \geqslant
u$ следует
\[
N_{0}^{\rho_{1}} M_{0}^{\rho_{2}} \geqslant N_{0}^{l} \geqslant N_{0}^{
u} \geqslant M_{0},
\]

To
\[
c_{0} M_{0} \leqslant c_{0} N_{0}^{\rho_{1}} M_{0}^{\rho_{2}} \leqslant N_{0}^{\rho_{1}+1} M_{0}^{\rho_{2}},
\]

если $N_{0}>c_{0}$. Следовательно, (2.6) и (2.6′) будут выполнены при $n=1$, если положить $M_{0}>\varepsilon^{-1}$ и $N_{0}>c_{0}$, т.е. если
\[
\delta_{0}<\varepsilon^{2 \chi}, \quad c_{0}^{-2 \chi
u} .
\]

Мы сохраним, однако, за собой свободу в определении $\delta_{0}$ для дальнейшего.

Теорема 2. Пусть (2.1) описывает отображение кольца, удовлетворяющее $(2.6),\left(2.6^{\prime}\right)$ и обладающее тем свойством, что всякая замкнутая непрерывная кривая, близкая к $y=\mathrm{const}$, пересекается со своим образом.

Тогда для достаточно малого $\delta_{0}$ существует преобразование координат
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=\xi+u(\xi, \eta) \\
y=\eta+v(\xi, \eta)
\end{array} \quad \text { npu } \quad|\eta-\omega|<\frac{1}{M_{-}}-\frac{1}{M}>\frac{1}{M},\right.
\]

удовлетворяющее неравенству
\[
|u|_{1}+|v|_{1}<\frac{1}{N}
\]

и такое, что в кольце
\[
|\eta-\omega|<\frac{1}{M}
\]

отображение (2.1) принимает в координатах $\xi, \eta$ вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\xi_{1}=\xi+\eta+\varphi(\xi, \eta) \\
\eta_{1}=\eta+\psi(\xi, \eta)
\end{array}\right.
\]

аде
\[
\begin{array}{c}
|\varphi|+|\psi|<\delta=\delta_{-}^{\chi} \quad \text { npu } \quad|\eta-\omega|<\frac{1}{M} \\
\left|D_{\xi}^{\rho_{1}} D_{\eta}^{\rho_{2}} N \varphi\right|+\left|D_{\xi}^{\rho_{1}} D_{\eta}^{\rho_{2}} M \psi\right|<N^{\rho_{1}+1} M^{\rho_{2}} \quad \text { npu } \quad \rho_{1}+\rho_{2}=l .
\end{array}
\]

Доказательство этой теоремы мы отложим до §4; оно является основным в настоящей работе. Сейчас мы хотим показать, что из теоремы 2 может быть получено доказательство теоремы 1 в том частном случае, когда $\alpha(r)=r, s=1$.

Для этой цели обозначим отображение (2.1) через $\mathscr{F}_{0}$ и отображение кручения $x_{1}=x+y, y_{1}=y$ через $\mathscr{F}_{\infty}$. Неравенство $(2.2)$ запишется в виде
\[
\left|\mathscr{F}_{0}-\mathscr{F}_{\infty}\right|<\delta_{0} .
\]

Тогда, согласно теореме 2 , существует преобразование (2.7), которое мы обозначим через $\mathscr{U}_{1}$, переводящее $\mathscr{F}_{0}$ в отображение
\[
\mathscr{U}_{1}^{-1} \mathscr{F}_{0} \mathscr{U}_{1}=\mathscr{F}_{1},
\]

задаваемое формулой (2.8) и такое, что
\[
\left|\mathscr{F}_{1}-\mathscr{F}_{\infty}\right|<\delta_{0}^{\chi}=\delta_{1} .
\]

Повторяя этот процесс нормализации отображения в узком кольце, мы получаем отображение кольца
\[
\mathscr{F}_{n}=\mathscr{U}_{n}^{-1} \mathscr{F}_{n-1} \mathscr{U}_{n} \quad(n=1,2, \ldots),
\]

для которого
\[
\left|\mathscr{F}_{n}-\mathscr{F}_{\infty}\right|<\delta_{n}=\delta_{n-1}^{\chi} .
\]

Если обозначить координаты, в которых выражается $\mathscr{F}_{n}$ через $x^{(n)}=\xi$, $y^{(n)}=\eta$, то $\mathscr{F}_{n}$ будет определено в кольце
\[
|\eta-\omega|<\frac{1}{M_{n}}=\frac{1}{M_{n-1}^{\chi}} .
\]

Кроме того, согласно (2.7), преобразование координат $\mathscr{U}_{n}$ от $x^{(n-1)}$, $y^{(n-1)} \kappa x^{(n)}, y^{(n)}$ близко к тождественному, что мы выразим с помощью неравенства
\[
\left|\mathscr{U}_{n}-I\right|_{1}<\frac{1}{N_{n}}=\frac{1}{N_{n-1}^{\chi}} .
\]

Неравенства (2.11) и (2.12) свидетельствуют о том, что на окружности $\eta=\omega$ отображения $\mathscr{F}_{n}$ сходятся к отображению $\mathscr{F}_{\infty}$, которое является вращением $\xi_{1}=\xi+\omega$. Наконец, связь между $x^{(n)}, y^{(n)}$ и старыми координатами $x=x^{(0)}, y=y^{(0)}$ задается равенствами
\[
\mathscr{W}_{n}=\mathscr{U}_{1} \mathscr{U}_{2} \ldots \mathscr{U}_{n}
\]

и
\[
\mathscr{F}_{n}=\mathscr{W}_{n}^{-1} \mathscr{F}_{0} \mathscr{W}_{n} .
\]

Отображение $\mathscr{W}_{n}$ определено в кольце $\left|y^{(n)}-\omega\right|<1 / M_{n}$ и переводит его в узкое кольцо, лежащее внутри $|y-\omega|<1 / M_{0}$. Запишем $\mathscr{W}_{n}$ в виде

Мы должны показать, что $p_{n}(\xi, \omega), q_{n}(\xi, \omega)$ и их первые производные равномерно сходятся к некоторым функциям $p(\xi), q(\xi)$ (и их первым производным соответственно). Тогда инвариантная кривая теоремы 1 будет задаваться уравнениями
\[
x=\xi+p(\xi), \quad y=\omega+q(\xi) .
\]

Сходимость самих $p_{n}, q_{n}$ непосредственно следует из неравенства ${ }^{1}$
\[
\left|p_{n}\right|+\left|q_{n}\right|<\sum_{
u=1}^{n}\left(\left|u_{
u}\right|+\left|v_{
u}\right|\right)<\sum_{
u=1}^{n} \frac{1}{N_{
u}} .
\]

Правая часть неравенства может быть сделана меньше $\varepsilon$, если $N_{0}$ достаточно велико. Для доказательства сходимости производных от $p_{n}, q_{n}$ мы обозначим матрицу Якоби преобразования $\mathscr{U}_{n}$ через
\[
U_{n}=\left(\begin{array}{cc}
1+u_{\xi} & u_{\eta} \\
v_{\xi} & 1+v_{\eta}
\end{array}\right)
\]

тогда, согласно (2.13) (или 2.7′)),
\[
\left|U_{n}-I\right|<\frac{1}{N_{n}} .
\]

По правилу умножения якобиевых матриц матрица Якоби $W_{n}$ преобразования $\mathscr{W}_{n}$ равна
\[
W_{n}=U_{1} U_{2} \ldots U_{n},
\]

где справа стоит произведение матриц. Сходимость производных $p_{n}, q_{n}$ эквивалентна сходимости $W_{n}$, т. е. сходимости произведения матриц. Так как, в силу (2.13), матрица $U_{
u}$ мажорируется матрицей

то достаточно доказать сходимость произведения коммутирующих матриц
\[
\prod_{
u=1}^{\infty}\left(I+\frac{1}{N_{
u}} J\right) \quad \text { или } \prod_{
u=1}^{\infty} \exp \left(\frac{1}{N_{
u}} J\right),
\]

которая очевидна. Кроме того, мы получаем оценку
\[
\begin{aligned}
\left|W_{n}-I\right| & \leqslant\left|\prod_{
u=1}^{\infty}\left(I+\frac{1}{N_{
u}} J\right)-I\right| \leqslant\left|\exp \left(\sum_{
u=1}^{\infty} \frac{1}{N_{
u}} J\right)-I\right| \leqslant \\
& \leqslant \exp \left(2 \sum_{
u=1}^{\infty} \frac{1}{N_{
u}}\right)-1 \leqslant \exp \frac{c_{2}}{N_{0}}-1 \leqslant \frac{c_{3}}{N_{0}} .
\end{aligned}
\]

Выбрав $N_{0}$ достаточно большим, мы получим
\[
\left|W_{n}-I\right|<\varepsilon,
\]

откуда при $s=1$ следует (1.7).
Этим доказательство теоремы 1 (в частном случае $s=1, \alpha(r)=r$ ) сводится к теореме 2 . В $\S 3$ мы развиваем некоторые методы для доказательства теоремы 2 и дадим это доказательство в $\S 4$.