1. В этом разделе мы рассмотрим случай постоянной матрицы $J$ или $C$, который соответствует интегрируемой ситуации с комплексными координатами $z=C x$. Мы будем исследовать проекции комплексных прямых на торе – которые, по существу, совпадают в линейной алгебре – помимо теоремы Бангерта, которая основана на теореме Пикара.
2. В вещественных координатах комплексная прямая имеет вид
\[
x=f(\zeta)=\alpha \zeta+\bar{\alpha} \bar{\zeta}+\text { const } ; \quad \alpha \in \mathbb{C}^{2 n} \backslash(0),
\]

где, согласно (2.9), вектор $\alpha$ удовлетворяет условию
\[
C \bar{\alpha}=0 .
\]

Такая параметризация комплексной прямой, конечно, не единственная. Она определяется с точностью до линейного преобразования $\zeta \rightarrow \lambda \zeta+\mu ; \lambda, \mu \in \mathbb{C}, \lambda
eq 0$, если мы предполагаем (а впоследствии это так и будет), что отображение $f: \mathbb{C} \rightarrow f(\mathbb{C})$ инъективно. Тогда для любой целой функции $\varphi: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ отображение $f \circ \varphi$ будет давать другое инъективное представление, если $\varphi$ однолистно. Однолистными отображениями $\mathbb{C}$ в себя являются только линейные функции. Поэтому отображения $f: \mathbb{C} \rightarrow f(\mathbb{C})$ будет даже диффеоморфизмом.

Таким образом, непараметризованные комплексные кривые, проходящие через начало координат, характеризуются семейством ( $\lambda \alpha)$, $\lambda \in \mathbb{C}^{*}$. Множество этих классов эквивалентности есть $P_{\mathbb{C}}^{n-1}$. Чтобы задать эти прямые в комплексных координатах $z=C x$, заметим, что (3.1) соответствует представлению семейства
\[
z=c \zeta+\text { const },
\]

где
\[
c=C \alpha, \quad 0=C \bar{\alpha} .
\]

Обращая это соотношение и используя ( $\left.2.6^{\prime \prime}\right)$, получим равенство
\[
\alpha=B^{T} c
\]

показывающее, что соотношение между $\alpha \in \mathbb{C}^{2 n} \backslash(0)$, удовлетворяющим условию (3.2), и $c \in \mathbb{C}^{n} \backslash(0)$ является изоморфизмом. Непараметризованная кривая задается множеством $(\lambda c): \lambda \in \mathbb{C}^{*}$, т. е. элементами из $P_{\mathbb{C}}^{n-1}$.

Заметим, что условие (3.2) эквивалентно условию, записанному в $(1.9)$,
\[
\left(J^{T}+i I\right\rfloor \alpha=0 .
\]

Это утверждение следует из (2.3). В самом деле, если $C \bar{\alpha}=0$, то из (2.7) следует
\[
\left(\begin{array}{l}
C \\
\bar{C}
\end{array}\right)\left(J^{T}+i I\right) \alpha=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\bar{C}\left(J^{T}+i I\right) \alpha
\end{array}\right)=0,
\]
т. к. $\bar{C}\left(J^{T}+i I\right) \alpha=\bar{C}\left(J^{T}-i I\right) \alpha+2 i \bar{C} \alpha=0$. Из (2.7) получаем (3.3). Обратное доказывается аналогично.
3. Теперь мы рассмотрим образ комплексной прямой $L \in\left(\mathbb{R}^{2 n}, J\right)$ относительно проекции $p: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n} / \mathbb{Z}^{2 n}$. Топология на $p(L)$ зависит OT
\[
\operatorname{rank}\left(L \cap \mathbb{Z}^{2 n}\right)=r(L)=r,
\]

где $r=0,1$ или 2 соответствует случаям $p(L) \sim \mathbb{C}, \mathbb{C}^{*}$ или 2-тору. Последний случай является исключительным.

Предложение 3.1. В пространстве постоянных комплексных структур на торе $T^{2 n}$ только тощее множество допускает двумерные голоморфные торы.

Множество в топологическом пространстве называется тощим, если оно представимо в виде счетного объединения множеств меньшей размерности. В частности, дополнение до тощего множества является плотным. Как следствие отсюда вытекает, что голоморфные 2-торы не сохраняются, поскольку они исчезают при возмущении комплексной структуры.

Мы докажем предложение 3.1 в пятом пункте. Заметим, между прочим, что в этих рассуждениях несущественно, что комплексная структура определяет алгебраический тор. Достаточно потребовать, чтобы матрица $C$ удовлетворяла римановым соотношениям: для некоторой обратимой антисимметричной целой матрицы $A=-A^{T}$ выполнены условия (см. $[6,25]$ )
\[
C A^{-1} C^{T}=0, \quad i \bar{C} A^{-1} C^{T} \text { положительно определена. }
\]

Это соответствует поляризации, заданной 2-формой $\sum_{
u \mu} a_{
u \mu} d x_{
u} \wedge d x_{\mu}$, где $\left(a_{
u \mu}\right)=A$. Комплексные структуры на $T^{2 n}$, удовлетворяющие таким условиям, называются алгебраическими торами. Поскольку мы не требуем этих условий, на наших торах могут не существовать непостоянные мероморфные функции. В известном смысле, наша задача немного грубее. Кроме того, голоморфные торы также существуют только для алгебраических торов $\left(T^{2 n}, J\right)$, ниже будет приведен пример.

4. С другой стороны, для цилиндрических вложений имеет место:

Предложение 3.2. Для заданной постоянной комплексной структуры $J$ и узла решетки $j \in \mathbb{Z}^{2 n} \backslash(0)$, существует единственная $J$-голоморфная прямая $L$, содержащая $j$ и начало координат; следовательно, $r(L) \geqslant 1$.

Доказательство элементарно: векторы $j$ и $J j$ порождают требуемую $J$-голоморфную прямую $L$, поскольку они линейно независимы.

Чтобы представить эту прямую в виде (3.1), заметим, что существует $\zeta \in \mathbb{C}$ такое, что $j=\zeta \alpha+\bar{\zeta} \bar{\alpha}$. Мы можем предполагать, что $\zeta=1$,

так что $C j=C \alpha$, поскольку $C \bar{\alpha}=0$. Из этих соотношений вытекает
\[
\alpha=B^{T} C j .
\]

Действительно, в силу (2.6\”) из (3.5) следует $C \bar{\alpha}=0$ и $C \alpha=C j$. Таким образом, для выбранного $\alpha$ требуемая прямая $L$ задается соотношением (3.1). В конечном счете, большинство голоморфных прямых $L$ не содержит никакого узла решетки, т.е. $r(L)=0$. Они представляют $\mathbb{C}$-вложения.

5. Доказательство предложения 3.1. Заметим сначала, что $J$-голоморфное вложение $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{2 n}$, для которого $r\left(f(\mathbb{C}) \cap \mathbb{Z}^{2 n}\right)=2$, задается линейным отображением вида (3.1). Это легче всего увидеть в комплексной форме: компоненты функции $F(\zeta)=C f(\zeta)$ – это целые функции в обычном смысле. Кроме того, если $F(\mathbb{C}) \equiv F(\mathbb{C})+\gamma$ для некоторого $\gamma \in \Gamma=C \mathbb{Z}^{2 n}, \gamma
eq 0$, то
\[
F(\lambda \zeta+\mu)=F(\zeta)+\gamma,
\]

где $\lambda=1$, поскольку замена параметра $\zeta \rightarrow \lambda \zeta+\mu$ должна быть свободной от неподвижных точек. Следовательно, $F(\mathbb{C}) \cap \Gamma$ обратно отображается на решетку $\Gamma_{2} \subset \mathbb{C}$. Поскольку отображение $F^{\prime}(\zeta)$ является $\Gamma_{2}$-периодическим, оно постоянно, и поэтому $F(\zeta)$ линейно.

Чтобы описать многообразие $C\left(T^{2 n}\right)$ постоянных комплексных структур через локальные координаты, напомним, что матрицу $C$ можно заменить матрицей $A C U$ без изменения комплексной структуры, здесь $A \in \mathrm{Gl}\left(\mathbb{C}^{n}\right), U$ – унимодулярная. В окрестности фиксированной матрицы $C=C^{0}$ мы можем добиться при помощи правого умножения, чтобы
\[
C=\left(C_{1}, C_{2}\right), \quad \operatorname{det} C_{1}
eq 0,
\]

поскольку $\operatorname{rank}(C)=n$. С помощью левого умножения мы получим $C_{1}=I$, т. е. матрицу $C$ локально можно выбрать в виде
\[
C=(I, W), \quad \operatorname{det}(\operatorname{Im} W)
eq 0 .
\]

Мы можем использовать компоненты матрицы $W$ в качестве координат многообразия $C\left(T^{2 n}\right)$, комплексная размерность которого, таким образом, равна $n^{2}$.

Теперь мы опишем условия на $C$ или на $W$, при которых допускается голоморфный тор. А именно, зададим два линейно независимых узла

решетки $j, k \in \mathbb{Z}^{2 n}$. Спрашивается, при каких условиях на $C$ прямая $L$ содержит $0, j$ и $k$. Это выполняется, если
\[
j=\alpha \zeta_{1}+\bar{\alpha} \bar{\zeta}_{1}, \quad k=\alpha \zeta_{2}+\bar{\alpha} \bar{\zeta}_{2},
\]

для некоторых $\zeta_{1}, \zeta_{2} \in \mathbb{C}$. Следовательно, комплексные векторы $C j$ и $C k \mathbb{C}$-линейно независимы. (Ограничимся в нашем доказательстве случаем $n=2$.) Это означает, что матрица $C$ должна удовлетворять квадратичному соотношению
\[
Q_{j k}=\operatorname{det}(C j, C k)=0 .
\]

Используя сокращение $[
u, \mu]=j_{
u} k_{\mu}-j_{\mu} k_{
u}$ и специальный вид (3.6) матрицы $C$, мы найдем
\[
Q_{j k}=[1,2]-w_{11}[2,3]-w_{12}[2,4]+w_{21}[1,3]+w_{22}[1,4]+\operatorname{det} W[3,4],(3.7)
\]

где $w_{
u \mu}$ – компоненты матрицы $W .0$ очевидно, если $1, w_{11}, w_{12}, w_{21}, w_{22}$ и $\operatorname{det} W$ рационально независимы, то $[
u, \mu]=0$ для всех $
u, \mu=1,2,3,4$. Следовательно, $j, k$ должны быть линейно независимы. Это показывает, что квадратичные соотношения $Q_{j k}(W)=0$ нетривиальны, если $j, k$ линейно независимы, и они локально определяют тощее множество, о котором было упомянуто в предложении 3.1.

Приведем пример алгебраического тора $T^{n}$, не содержащего голоморфных 2-торов. Для этой цели возьмем
\[
C=(I, W) ; \quad W=U+i V=W^{T}
\]

с положительно определенной матрицей $V$. Тогда римановы соотношения (3.4) выполняются с матрицей
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & I \\
-I & 0
\end{array}\right) .
\]

Выберем $U=0$ и
\[
V=\left(\begin{array}{ll}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right)
\]

с действительными $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, удовлетворяющими условиям $\beta=\gamma$, $\alpha>0, \delta>0, \alpha \delta-\beta \gamma>0$. Можно проверить, что в случае, когда

$\alpha, \beta=\gamma, \delta$ рационально независимы и $\alpha \delta-\beta \gamma$ иррационально, из соотношений $Q_{j k}=0$ с (3.7) следует, что $j, k$ линейно независимы. Матрица
\[
V=\left(\begin{array}{cc}
4 & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & \sqrt{3}
\end{array}\right)
\]

дает явный пример такого вида, когда не существует голоморфных торов.
6. Далее рассматривается четырехмерный тор $\left(T^{4}, J\right)$ с постоянной структурой $J$. Спрашивается, существуют ли инъективные голоморфные отображения $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ такие, что проекция $p \circ f$ не имеет самопересечений. Замечательным оказывается тот факт, что такие отображения необходимо являются линейными.

Теорема 3.3 Бангерт (Bangert). Пусть $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^{2}$ – ингективное голоморфное отображение такое, что образ $L=f(\mathbb{C})$ удовлетворяет соотношению
\[
(L+\gamma) \cap L=\varnothing
\]

для всех элементов $\gamma
eq 0$ дискретной решетки $\Gamma$ в $\mathbb{C}^{2}, \operatorname{rank} \Gamma=4$. Тогда $f$ – линейная функция.

Мы имели аналогичный результат, когда множество $L$ было тором. Но сформулированная теорема намного глубже, она использует теорему Пикара. Доказательство, которым мы обязаны Бангерту, будет приведено в седьмом разделе.