Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
(a) Мы выведем простое обобщение полученных выше результатов для подынтегральных функций $F=F(x, u, p)$ квазипериодических по $x$ и периодических по $u$. Проиллюстрируем утверждение на примере где $f=f(x, u)$ определяется с помощью периодической функции $\Phi=\Phi\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{K}, u\right)$ равенством Это означает, что $f$ квазипериодическая по $x_{\mu}$ с базисом частот и периодическая по $u$ с периодом 1. Мы ищем решения $u=u(x)$ уравнения (6.1), для которых функция $e^{2 \pi i u}$ квазипериодическая по $x$ и $u$ $-(\alpha, x)$ ограничена для некоторого заданного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Мы будем просто называть такие решения квазипериодическими, хотя они линейно растут. Более того, мы требуем, чтобы эти решения $u$ допускали представление в терминах функции $U=U(\bar{\xi}), \bar{\xi}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{K+1}\right) \in \mathbb{R}^{K+1}$ такой, что в виде где $\Omega: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{K+1}$ — линейное отображение, заданное как так что $\xi_{K+1}=(\alpha, x)$. Таким образом, функция квазипериодическая в требуемом смысле. Мы утверждаем, что такое квазипериодическое решение уравнения (6.1) также существует, если $|\lambda|$ достаточно мало, при условии, что $\Omega$ удовлетворяет диофантову условию для всех целых $j_{1}, \ldots, j_{K+1}$, не равных нулю одновременно. Это прямое обобщение примера $1 \S 1$, который соответствует случаю и пусть для всех действительных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$. Функция $F=F(\bar{x}, p)$ определяется как Для заданного вектора $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ мы ищем квазипериодические решения $u$ уравнения Эйлера где мы требуем, чтобы $u=u(x)$ было представлено в виде (6.3), $\Omega$ определяется из (6.4). где $U$ удовлетворяет условию периодичности и монотонности (6.2). Для этого уравнения мы имеем прямое обобщение теоремы 1. Если $\Omega$ удовлетворяет диофантову условию (6.5), и если $U^{*}$ удовлетворяет (6.2) и является приближенным решением уравнения (6.7) (т.е. $\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}<\delta$ ), то при достаточно малом $\delta$ существует точное решение $U$ уравнения $E(U)=0$, удовлетворяющее (6.2). Количественные формулировки здесь в точности такие же, как и в теореме 1, и мы не будем их повторять. Доказательство также аналогично и, можно подумать, что уравнение (6.7) может рассматриваться как частный случай уравнения Эйлера из $\S 1$, где вместо $n$ стоит $K$. На самом деле для $K>n$ это не так, поскольку условие Лежандра (6.6) выражается через $n$ переменных $p \in \mathbb{R}^{n}$, а не через $K$ переменных $\pi_{k}$, где Иными словами, соответствующая вариационная задача на торе $T^{K+1}$ является вырожденной. По этой причине глобальная теория (которая развита в [16]) отсутствует в квазипериодическом случае. Не имеет места даже для $n=1$ аналог теории Мезера (Mather) для обобщенных квазипериодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений Однако локальная теория, развитая в этой статье, не является столь чувствительной. Она дает квазипериодические решения уравнения (6.8) с базисом частот $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{K}$ и $\alpha$, если $|\lambda|$ достаточно мало и если для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{K+1} \backslash(0)$. Это частный случай результата работы $[\mathbf{1 4}]$, который обобщен здесь на дифференциальные уравнения в частных производных. Благодарности. Статья была закончена со значительной задержкой; результаты были представлены на нескольких конференциях (Институт Стеклова, Москва, 1984 [11]; Бар Илан, Израиль, 1985; Институт Куранта, Нью-Йорк,1986) и доказательство было представлено на семинаре ETH в Цюрихе. За обсуждение этой темы я хочу выразить признательность Дж. Фрелиху (J.Fröhlich), Д. Саламону (D.Salamon), T. Спенсеру (T.Spencer) и Е. Цендеру (E.Zehnder), а также С. Агмону (S. Agmon), который привлек мое внимание к работам С. М. Козлова.
|
1 |
Оглавление
|