(a) Мы выведем простое обобщение полученных выше результатов для подынтегральных функций $F=F(x, u, p)$ квазипериодических

по $x$ и периодических по $u$. Проиллюстрируем утверждение на примере
\[
\Delta u-\lambda f(x, u), \quad \Delta=\sum_{\mu=1}^{n} \partial_{x_{\mu}}^{2},
\]

где $f=f(x, u)$ определяется с помощью периодической функции $\Phi=\Phi\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{K}, u\right)$ равенством
\[
\begin{array}{c}
f(x, u)=\Phi\left(\left(\omega_{1}, x\right),\left(\omega_{2}, x\right), \ldots,\left(\omega_{K}, x\right), u\right), \\
\Phi \in C^{\infty}\left(T^{K+1}\right), \quad\left(\omega_{k}, x\right)=\sum_{\mu=1}^{n} \omega_{k \mu} x_{\mu}, \quad k=1,2, \ldots, K .
\end{array}
\]

Это означает, что $f$ квазипериодическая по $x_{\mu}$ с базисом частот
\[
\omega_{k \mu}(k=1,2, \ldots, K)
\]

и периодическая по $u$ с периодом 1. Мы ищем решения $u=u(x)$ уравнения (6.1), для которых функция $e^{2 \pi i u}$ квазипериодическая по $x$ и $u$ $-(\alpha, x)$ ограничена для некоторого заданного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Мы будем просто называть такие решения квазипериодическими, хотя они линейно растут.

Более того, мы требуем, чтобы эти решения $u$ допускали представление в терминах функции $U=U(\bar{\xi}), \bar{\xi}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{K+1}\right) \in \mathbb{R}^{K+1}$ такой, что
\[
U(\bar{\xi})-\xi_{K+1} \in C^{\infty}\left(T^{K+1}\right), \quad \partial_{\xi_{K+1}} U>0,
\]

в виде
\[
u(x)=U \circ \Omega(x),
\]

где $\Omega: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{K+1}$ — линейное отображение, заданное как
\[
\begin{array}{l}
x \rightarrow \Omega(x)=\bar{\xi}, \\
\xi_{k}=\sum_{\mu=1}^{n} \omega_{k \mu} x_{\mu}, \quad k=1,2, \ldots, K+1, \\
\omega_{K+1, \mu}=\alpha_{\mu},
\end{array}
\]

так что $\xi_{K+1}=(\alpha, x)$. Таким образом, функция
\[
u(x)-(\alpha, x)=\left(U-\xi_{K+1}\right) \circ \Omega(x)
\]

квазипериодическая в требуемом смысле.

Мы утверждаем, что такое квазипериодическое решение уравнения (6.1) также существует, если $|\lambda|$ достаточно мало, при условии, что $\Omega$ удовлетворяет диофантову условию
\[
\sum_{\mu=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{K+1} \omega_{k \mu} j_{k}\right)^{2} \geqslant \gamma\left(\sum_{k=1}^{K+1} \xi_{k}^{2}\right)^{-\tau}
\]

для всех целых $j_{1}, \ldots, j_{K+1}$, не равных нулю одновременно. Это прямое обобщение примера $1 \S 1$, который соответствует случаю
\[
K=n, \quad \omega_{k \mu}=\sigma_{k \mu} \quad \text { при } k=1,2, \ldots, K=n .
\]
(b) Мы сформулируем это утверждение для подынтегральной функции $F=F(x, u, p)$ общего вида. Предположим, что $\omega: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{K+1}-$ линейное отображение, заданное как
\[
\xi_{k}=\sum_{\mu=1}^{n} \omega_{k \mu} x_{\mu} \quad(k=1,2, \ldots, K), \quad \xi_{K+1}=x_{n+1},
\]

и пусть
\[
\Phi \in C^{\infty}\left(T^{K+1} \times \mathbb{R}^{n}\right), \quad \sum_{
u, \mu=1}^{n} \Phi_{p_{
u} p_{\mu}}(\bar{\xi}, p) \lambda_{
u} \lambda_{\mu} \geqslant \sum_{
u=1}^{n} \lambda_{
u}^{2}
\]

для всех действительных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$. Функция $F=F(\bar{x}, p)$ определяется как
\[
F(\bar{x}, p)=\Phi(\omega(\bar{x}), p) .
\]

Для заданного вектора $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ мы ищем квазипериодические решения $u$ уравнения Эйлера
\[
\sum_{\mu=1}^{n} \partial_{x_{\mu}} F_{p_{\mu}}\left(x, u, u_{x}\right)-F_{u}\left(x, u, u_{x}\right)=0,
\]

где мы требуем, чтобы $u=u(x)$ было представлено в виде (6.3), $\Omega$ определяется из (6.4).
Это приводит к дифференциальному уравнению
\[
E(U)=\sum_{
u=1}^{n} D_{\mu} \Phi_{p_{\mu}}(\xi, U, D U)-\Phi_{u}(\xi, U, D U)=0, \quad D_{\mu}=\sum_{k=1}^{K+1} \omega_{k \mu} \partial_{\xi_{k}},
\]

где $U$ удовлетворяет условию периодичности и монотонности (6.2).

Для этого уравнения мы имеем прямое обобщение теоремы 1. Если $\Omega$ удовлетворяет диофантову условию (6.5), и если $U^{*}$ удовлетворяет (6.2) и является приближенным решением уравнения (6.7) (т.е. $\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}<\delta$ ), то при достаточно малом $\delta$ существует точное решение $U$ уравнения $E(U)=0$, удовлетворяющее (6.2).

Количественные формулировки здесь в точности такие же, как и в теореме 1, и мы не будем их повторять. Доказательство также аналогично и, можно подумать, что уравнение (6.7) может рассматриваться как частный случай уравнения Эйлера из $\S 1$, где вместо $n$ стоит $K$. На самом деле для $K>n$ это не так, поскольку условие Лежандра (6.6) выражается через $n$ переменных $p \in \mathbb{R}^{n}$, а не через $K$ переменных $\pi_{k}$, где
\[
p_{\mu}=\sum_{k=1}^{K+1} \omega_{k \mu} \pi_{k} .
\]

Иными словами, соответствующая вариационная задача на торе $T^{K+1}$ является вырожденной. По этой причине глобальная теория (которая развита в [16]) отсутствует в квазипериодическом случае. Не имеет места даже для $n=1$ аналог теории Мезера (Mather) для обобщенных квазипериодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\lambda f(t, x), \quad f(t, x)=\varphi\left(\omega_{1} t, \omega_{2} t, \ldots, \omega_{K} t, x\right), \\
\varphi \in C^{\infty}\left(T^{K+1}\right) .
\end{array}
\]

Однако локальная теория, развитая в этой статье, не является столь чувствительной. Она дает квазипериодические решения уравнения (6.8) с базисом частот $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{K}$ и $\alpha$, если $|\lambda|$ достаточно мало и если
\[
\left|\omega_{1} j_{1}+\omega_{2} j_{2}+\cdots+\omega_{K} j_{K}+\alpha j_{K+1}\right| \geqslant \gamma^{\prime}|\bar{j}|^{-\tau}
\]

для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{K+1} \backslash(0)$. Это частный случай результата работы $[\mathbf{1 4}]$, который обобщен здесь на дифференциальные уравнения в частных производных.

Благодарности. Статья была закончена со значительной задержкой; результаты были представлены на нескольких конференциях (Институт Стеклова, Москва, 1984 [11]; Бар Илан, Израиль, 1985; Институт Куранта, Нью-Йорк,1986) и доказательство было представлено на семинаре ETH в Цюрихе. За обсуждение этой темы я хочу выразить

признательность Дж. Фрелиху (J.Fröhlich), Д. Саламону (D.Salamon), T. Спенсеру (T.Spencer) и Е. Цендеру (E.Zehnder), а также С. Агмону (S. Agmon), который привлек мое внимание к работам С. М. Козлова.