Для полноты изложения докажем простое следствие из принципа максимума в том виде, в каком он использовался в лемме (4.2):

Лемма 4.6. Пусть $\Omega$ – открытое и связное подмножество $\mathbb{R}^{n}$, и пусть $u \in C^{2}(\Omega)$ удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных
\[
L u=\sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu}(x) u_{x_{
u} x_{\mu}}+\sum_{
u=1}^{n} b_{
u}(x) u_{x_{
u}}+c(x) u=0,
\]

где коэффиценты являются непрерывными в $\Omega$ и $\sum a_{
u \mu} \xi_{
u} \xi_{\mu}$ положительно определена.
Если $u \geqslant 0$ в $\Omega$, тогда либо $u>0$, либо $u \equiv 0$ в $\Omega$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТВО.
Если $c \geqslant 0$, то доказательство непосредственно следует из сильного принципа максимума Е. Хопфа (Е. Hopf), т. к. тогда
\[
\sum_{
u, \mu=1}^{n} a_{
u \mu}(x) u_{x_{
u} x_{\mu}}+\sum_{
u=1}^{n} b_{
u}(x) u_{x_{
u}} \leqslant 0
\]

и $u \geqslant 0$ в $\Omega$. Таким образом, если $u$ принимает свое минимальное значение 0 , то $u$ тождественно равна нулю (см. [24], стр. 61).

Общий случай можно свести к этой ситуации стандартным способом. Допустим, $0 \in \Omega, u(0)=0$ и покажем, что $u(x)=0$ для любых $x \in \Omega$. Достаточно получить это для всех $x$ в открытой области $D \subset \Omega$ с компактным замыканием в $\Omega$. Функция $v=e^{-\lambda x_{1}}$ удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению
\[
0=e^{-\lambda x_{1}} L\left(e^{\lambda x_{1}} v\right)=\widetilde{L}(v),
\]

где $\widetilde{L}$ – дифференциальный оператор того же вида, что и $L$, с коэффициентами $\widetilde{a}_{
u \mu}=a_{
u \mu}$ и
\[
\widetilde{c}=e^{-\lambda x_{1}} L\left(e^{\lambda x_{1}} v\right)=a_{11}(x) \lambda^{2}+b_{1}(x) \lambda+c(x) .
\]

Для достаточно больших $\lambda$ получим $\tilde{c}>0$ в $D$. Отсюда, если $0 \in D$ и $D$ связное, то $v=0$, а следовательно, и $u=0$ в $D$.