Ю. Мозер (14 февраля 1999 г.)

В связи с новым переводом моей статьи «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь» на русский язык мне хотелось бы сделать несколько замечаний и уточнить некоторые детали. В статье впервые была опубликована «техника КАМ со сглаживанием». Чтобы описать эту весьма непростую технику как можно понятнее, я принял решение отделить построение колец, стягивающихся к искомым инвариантным кривым, от вполне элементарного доказательства сходимости, приведенного после формулировки теоремы 2.

Доказательство сходимости в статье было изложено довольно кратко, и предполагалось, что читатель самостоятельно восполнит некоторые детали. Ко мне обратились с просьбой объяснить ряд таких деталей. В настоящей заметке мы доказываем сходимость, проводя явно все рассуждения, опущенные в статье. Я благодарен М.Б.Севрюку за помощь в подготовке этого доказательства.

В целом мы используем те же обозначения, что и в самой статье. Рассмотрим последовательность диффеоморфизмов ${\mathcal{U}}_j(j=1,2,\dots )$, каждый из которых отображает открытую полосу $D_j:=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $|y-\omega |<M_j^{-1}\}$ в $D_{j-1}$, где $0<M_0<M_1<\cdots$, так что $D_j\subset D_{j-1}$ ( $\omega -$ заранее фиксированное вещественное число). Мы требуем периодичности ${\mathcal{U}}_j$ — id относительно сдвига $(x,y)\mapsto (x+1,y)$, так что ${\mathcal{U}}_j$ можно считать отображением кольца $D_j/\mathbb{Z}$. Кроме того, мы предполагаем, что range $\left({\mathcal{U}}_j\right)⋐D_{j-1}$, т. е. что замыкание образа диффеоморфизма ${\mathcal{U}}_j$ содержится в $D_{j-1}$. Пусть $D_{\mathrm{\infty }}:=\bigcap _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_j$. Если $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}_j=+\mathrm{\infty }$, то $D_{\mathrm{\infty }}=\{(x,y),y=\omega \}$.

Наша цель — определить, какие условия малости, наложенные на норму ${|{\mathcal{U}}_j-\mathrm{id}|}_{C^1\left(D_j\right)}$, обеспечивают $C^1$-сходимость композиций ${\mathcal{W}}_n={\mathcal{U}}_1\circ {\mathcal{U}}_2\circ \cdots \circ {\mathcal{U}}_n$. Удобно использовать нормы
$$|\mathcal{U}-\mathrm{id}{|}_0=\underset{D}{sup}|\mathcal{U}-\mathrm{id}|,$$

где $D=D(\mathcal{U})$ обозначает область определения отображения $\mathcal{U}$, так что $D\left({\mathcal{U}}_j\right)=D_j$, и
$$|\mathcal{U}-\mathrm{id}{|}_1=|\mathcal{U}-\mathrm{id}{|}_0+\Vert {\mathcal{U}}^{\prime }-I||,$$

где ${\mathcal{U}}^{\prime }$ — матрица Якоби, $\Vert \cdot \Vert$ — супремум по $D(\mathcal{U})$ стандартной матричной нормы (таким образом, $\Vert \cdot \mid$ — субмультипликативная норма с $\Vert I\Vert =1)$, а $I$ — единичная матрица.

Чтобы избежать громоздких обозначений, мы не указываем зависимости норм от областей опреде.ения, хотя это и может привести к недоразумениям. Например, рассмотрим композицию ${\mathcal{W}}_{kl}={\mathcal{U}}_{k+1}$ 。 $\circ {\mathcal{U}}_{k+2}\circ \cdots \circ {\mathcal{U}}_l$, определенную при $0⩽k<l$. Очевидно, что ${\mathcal{W}}_{kl}$ отображает $D_l$ в $D_k$. Поэтому в ${|{\mathcal{W}}_{kl}-\mathrm{id}|}_1$ супремумы следует брать по области $D_l$.

Обозначения $M_k,{\mathcal{U}}_k,{\mathcal{W}}_k$ в настоящей заметке имеют тот же смысл, что и в статье, но вместо большого параметра $N_k$ мы будем использовать более «наглядный» малый параметр ${\epsilon }_k=N_k^{-1}$, так что следующее предложение в точности соответствует рассуждению после теоремы 2.

Предложение. Если замыкание образа отображения ${\mathcal{U}}_n$ лежит в $D_{n-1}$ и ${|{\mathcal{U}}_j-\mathrm{id}|}_1<{\epsilon }_j$ для некоторой последовательности положительных чисел ${\epsilon }_j$, удовлетворяющей условию $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_j<+\mathrm{\infty }$, то композиции ${\mathcal{W}}_n={\mathcal{U}}_1\circ {\mathcal{U}}_2\circ \cdots \circ {\mathcal{U}}_n$ и их производные ${\mathcal{W}}_n^{\prime }$ равномерно сходятся в $D_{\mathrm{\infty }}$.
ДоКазатЕЛЬСтво.
1) Равномерная сходимость самих композиций ${\mathcal{W}}_n$ почти тривиальна.

По предположению $\Vert {\mathcal{U}}_n^{\prime }\Vert <1+{\epsilon }_n$. Дифференцируя рекурсивное соотношение ${\mathcal{W}}_n={\mathcal{W}}_{n-1}\circ {\mathcal{U}}_n$, мы получаем
$$\Vert {\mathcal{W}}_n^{\prime }\Vert =\Vert {\mathcal{W}}_{n-1}^{\prime }\left({\mathcal{U}}_n\right){\mathcal{U}}_n^{\prime }\Vert ⩽\Vert {\mathcal{W}}_{n-1}^{\prime }\Vert (1+{\epsilon }_n),$$

поэтому $\Vert {\mathcal{W}}_n^{\prime }\Vert ⩽c:=\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\epsilon }_j)$. Значит, отображения ${\mathcal{W}}_n$ удовлетворяют условию Липшица с равномерной константой $c$, откуда
$${|{\mathcal{W}}_n-{\mathcal{W}}_{n-1}|}_0={|{\mathcal{W}}_{n-1}\circ {\mathcal{U}}_n-{\mathcal{W}}_{n-1}|}_0⩽c{|{\mathcal{U}}_n-\mathrm{id}|}_0⩽c{\epsilon }_n,$$

что и доказывает равномерную сходимость композиций ${\mathcal{W}}_n$ в $D_{\mathrm{\infty }}$. На этом втором шаге существенна лишь сходимость ряда $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{|{\mathcal{U}}_j-\mathrm{id}|}_0$.
2) Доказательство равномерной сходимости матриц Якоби ${\mathcal{W}}_n^{\prime }$ в $D_{\mathrm{\infty }}$ несколько более тонко. Нижеследующее доказательство принадлежит М. Б. Севрюку (1998, частное сообщение). Пусть $0⩽k<l$. Рассмотрим композицию
$${\mathcal{W}}_{kl}={\mathcal{U}}_{k+1}\circ {\mathcal{U}}_{k+2}\circ \cdots \circ {\mathcal{U}}_l:D_l\to D_k.$$

При помощи тех же рассуждений, что и выше, легко получить оценки
$$\Vert {\mathcal{W}}_{kl}^{\prime }-I\Vert ⩽{\delta }_k,{|{\mathcal{W}}_{kl}-\mathrm{id}|}_0⩽{\sigma }_k,$$

где последовательности ${\delta }_k:=\prod _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}(1+{\epsilon }_j)-1$ и ${\sigma }_k:=c\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }_j$ стремятся к нулю при $k\to \mathrm{\infty }$. Аналогично (1) при $m<k<l$ мы имеем:
$${|{\mathcal{W}}_{ml}-{\mathcal{W}}_{mk}|}_0={|{\mathcal{W}}_{mk}\circ {\mathcal{W}}_{kl}-{\mathcal{W}}_{mk}|}_0⩽{c|}^2{\mathcal{W}}_{kl}-{\mathrm{id}|}_0⩽c{\sigma }_k$$

с той же стремящейся к нулю при $k\to \mathrm{\infty }$ последовательностью ${\sigma }_k$.
Чтобы доказать сходимость матриц Якоби ${\mathcal{W}}_k^{\prime }$, представим ${\mathcal{W}}_k$ как ${\mathcal{W}}_k={\mathcal{W}}_m\circ {\mathcal{W}}_{mk}$ для некоторого $m<k$, так что ${\mathcal{W}}_k^{\prime }={\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right){\mathcal{W}}_{mk}^{\prime }$. Теперь
$${\mathcal{W}}_k^{\prime }={\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right)+{\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right)({\mathcal{W}}_{mk}^{\prime }-I),$$

и из оценок (2) вытекает
$$\Vert {\mathcal{W}}_k^{\prime }-{\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right)\Vert =\Vert {\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right)({\mathcal{W}}_{mk}^{\prime }-I)\Vert ⩽c{\delta }_m$$

Заменив $k$ на $l$ и вычтя почленно соответствующие неравенства, мы получим
$$\Vert {\mathcal{W}}_k^{\prime }-{\mathcal{W}}_l^{\prime }\Vert ⩽\Vert {\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mk}\right)-{\mathcal{W}}_m^{\prime }\left({\mathcal{W}}_{mi}\right)\Vert +2c{\delta }_m\text{ в }{D}_l\text{ при }l>k>m.$$

Покажем, что первое слагаемое в правой части неравенства (4) мало́ при больших $k<l$. Заметим, что при фиксированном $m$ матрица Якоби ${\mathcal{W}}_m^{\prime }$ равномерно непрерывна в замкнутой полосе $K_m$, которая лежит в $D_m$ и содержит образы отображений ${\mathcal{W}}_{mk}$ и ${\mathcal{W}}_{ml}$, 一 это следует из соотношений ${\mathcal{W}}_{mk}={\mathcal{U}}_{m+1}\circ {\mathcal{W}}_{m+1,k},{\mathcal{W}}_{ml}={\mathcal{U}}_{m+1}\circ {\mathcal{W}}_{m+1,l}$ и range $\left({\mathcal{U}}_{m+1}\right)⋐D_m$. Из периодичности ${\mathcal{W}}_m^{\prime }$ по первому аргументу вытекает, что ограничение матричнозначного отображения ${\mathcal{W}}_m^{\prime }$ на $K_m$ равномерно непрерывно. Отсюда и из оценки (3) следует, что левая часть в неравенстве (4) может быть сделана меньше, чем $3c{\delta }_m$, при достаточно больших $k<l$, а значит, и меньше любого наперед заданного положительного числа. Таким образом, ${\mathcal{W}}_n^{\prime }$ — последовательность Коши в $D_{\mathrm{\infty }}$, что завершает доказательство.