Ю. Мозер (14 февраля 1999 г.)

В связи с новым переводом моей статьи «Об инвариантных кривых отображений кольца, сохраняющих площадь» на русский язык мне хотелось бы сделать несколько замечаний и уточнить некоторые детали. В статье впервые была опубликована «техника КАМ со сглаживанием». Чтобы описать эту весьма непростую технику как можно понятнее, я принял решение отделить построение колец, стягивающихся к искомым инвариантным кривым, от вполне элементарного доказательства сходимости, приведенного после формулировки теоремы 2.

Доказательство сходимости в статье было изложено довольно кратко, и предполагалось, что читатель самостоятельно восполнит некоторые детали. Ко мне обратились с просьбой объяснить ряд таких деталей. В настоящей заметке мы доказываем сходимость, проводя явно все рассуждения, опущенные в статье. Я благодарен М.Б.Севрюку за помощь в подготовке этого доказательства.

В целом мы используем те же обозначения, что и в самой статье. Рассмотрим последовательность диффеоморфизмов $\mathscr{U}_{j}(j=1,2, \ldots)$, каждый из которых отображает открытую полосу $D_{j}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right.$, $\left.|y-\omega|<M_{j}^{-1}\right\}$ в $D_{j-1}$, где $0<M_{0}<M_{1}<\cdots$, так что $D_{j} \subset D_{j-1}$ ( $\omega-$ заранее фиксированное вещественное число). Мы требуем периодичности $\mathscr{U}_{j}$ — id относительно сдвига $(x, y) \mapsto(x+1, y)$, так что $\mathscr{U}_{j}$ можно считать отображением кольца $D_{j} / \mathbb{Z}$. Кроме того, мы предполагаем, что range $\left(\mathscr{U}_{j}\right) \Subset D_{j-1}$, т. е. что замыкание образа диффеоморфизма $\mathscr{U}_{j}$ содержится в $D_{j-1}$. Пусть $D_{\infty}:=\bigcap_{j=0}^{\infty} D_{j}$. Если $\lim _{j \rightarrow \infty} M_{j}=+\infty$, то $D_{\infty}=\{(x, y), y=\omega\}$.

Наша цель — определить, какие условия малости, наложенные на норму $\left|\mathscr{U}_{j}-\mathrm{id}\right|_{C^{1}\left(D_{j}\right)}$, обеспечивают $C^{1}$-сходимость композиций $\mathscr{W}_{n}=\mathscr{U}_{1} \circ \mathscr{U}_{2} \circ \cdots \circ \mathscr{U}_{n}$. Удобно использовать нормы
\[
|\mathscr{U}-\mathrm{id}|_{0}=\sup _{D}|\mathscr{U}-\mathrm{id}|,
\]

где $D=D(\mathscr{U})$ обозначает область определения отображения $\mathscr{U}$, так что $D\left(\mathscr{U}_{j}\right)=D_{j}$, и
\[
|\mathscr{U}-\mathrm{id}|_{1}=|\mathscr{U}-\mathrm{id}|_{0}+\| \mathscr{U}^{\prime}-I||,
\]

где $\mathscr{U}^{\prime}$ — матрица Якоби, $\|\cdot\|$ — супремум по $D(\mathscr{U})$ стандартной матричной нормы (таким образом, $\| \cdot \mid$ — субмультипликативная норма с $\|I\|=1)$, а $I$ — единичная матрица.

Чтобы избежать громоздких обозначений, мы не указываем зависимости норм от областей опреде.ения, хотя это и может привести к недоразумениям. Например, рассмотрим композицию $\mathscr{W}_{k l}=\mathscr{U}_{k+1}$ 。 $\circ \mathscr{U}_{k+2} \circ \cdots \circ \mathscr{U}_{l}$, определенную при $0 \leqslant k<l$. Очевидно, что $\mathscr{W}_{k l}$ отображает $D_{l}$ в $D_{k}$. Поэтому в $\left|\mathscr{W}_{k l}-\mathrm{id}\right|_{1}$ супремумы следует брать по области $D_{l}$.

Обозначения $M_{k}, \mathscr{U}_{k}, \mathscr{W}_{k}$ в настоящей заметке имеют тот же смысл, что и в статье, но вместо большого параметра $N_{k}$ мы будем использовать более «наглядный» малый параметр $\varepsilon_{k}=N_{k}^{-1}$, так что следующее предложение в точности соответствует рассуждению после теоремы 2.

Предложение. Если замыкание образа отображения $\mathscr{U}_{n}$ лежит в $D_{n-1}$ и $\left|\mathscr{U}_{j}-\mathrm{id}\right|_{1}<\varepsilon_{j}$ для некоторой последовательности положительных чисел $\varepsilon_{j}$, удовлетворяющей условию $\sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon_{j}<+\infty$, то композиции $\mathscr{W}_{n}=\mathscr{U}_{1} \circ \mathscr{U}_{2} \circ \cdots \circ \mathscr{U}_{n}$ и их производные $\mathscr{W}_{n}^{\prime}$ равномерно сходятся в $D_{\infty}$.
ДоКазатЕЛЬСтво.
1) Равномерная сходимость самих композиций $\mathscr{W}_{n}$ почти тривиальна.

По предположению $\left\|\mathscr{U}_{n}^{\prime}\right\|<1+\varepsilon_{n}$. Дифференцируя рекурсивное соотношение $\mathscr{W}_{n}=\mathscr{W}_{n-1} \circ \mathscr{U}_{n}$, мы получаем
\[
\left\|\mathscr{W}_{n}^{\prime}\right\|=\left\|\mathscr{W}_{n-1}^{\prime}\left(\mathscr{U}_{n}\right) \mathscr{U}_{n}^{\prime}\right\| \leqslant\left\|\mathscr{W}_{n-1}^{\prime}\right\|\left(1+\varepsilon_{n}\right),
\]

поэтому $\left\|\mathscr{W}_{n}^{\prime}\right\| \leqslant c:=\prod_{j=1}^{\infty}\left(1+\varepsilon_{j}\right)$. Значит, отображения $\mathscr{W}_{n}$ удовлетворяют условию Липшица с равномерной константой $c$, откуда
\[
\left|\mathscr{W}_{n}-\mathscr{W}_{n-1}\right|_{0}=\left|\mathscr{W}_{n-1} \circ \mathscr{U}_{n}-\mathscr{W}_{n-1}\right|_{0} \leqslant c\left|\mathscr{U}_{n}-\mathrm{id}\right|_{0} \leqslant c \varepsilon_{n},
\]

что и доказывает равномерную сходимость композиций $\mathscr{W}_{n}$ в $D_{\infty}$. На этом втором шаге существенна лишь сходимость ряда $\sum_{j=1}^{\infty}\left|\mathscr{U}_{j}-\mathrm{id}\right|_{0}$.
2) Доказательство равномерной сходимости матриц Якоби $\mathscr{W}_{n}^{\prime}$ в $D_{\infty}$ несколько более тонко. Нижеследующее доказательство принадлежит М. Б. Севрюку (1998, частное сообщение). Пусть $0 \leqslant k<l$. Рассмотрим композицию
\[
\mathscr{W}_{k l}=\mathscr{U}_{k+1} \circ \mathscr{U}_{k+2} \circ \cdots \circ \mathscr{U}_{l}: D_{l} \rightarrow D_{k} .
\]

При помощи тех же рассуждений, что и выше, легко получить оценки
\[
\left\|\mathscr{W}_{k l}^{\prime}-I\right\| \leqslant \delta_{k}, \quad\left|\mathscr{W}_{k l}-\mathrm{id}\right|_{0} \leqslant \sigma_{k},
\]

где последовательности $\delta_{k}:=\prod_{j=k+1}^{\infty}\left(1+\varepsilon_{j}\right)-1$ и $\sigma_{k}:=c \sum_{j=k+1}^{\infty} \varepsilon_{j}$ стремятся к нулю при $k \rightarrow \infty$. Аналогично (1) при $m<k<l$ мы имеем:
\[
\left|\mathscr{W}_{m l}-\mathscr{W}_{m k}\right|_{0}=\left|\mathscr{W}_{m k} \circ \mathscr{W}_{k l}-\mathscr{W}_{m k}\right|_{0} \leqslant\left. c\right|^{2} \mathscr{W}_{k l}-\left.\mathrm{id}\right|_{0} \leqslant c \sigma_{k}
\]

с той же стремящейся к нулю при $k \rightarrow \infty$ последовательностью $\sigma_{k}$.
Чтобы доказать сходимость матриц Якоби $\mathscr{W}_{k}^{\prime}$, представим $\mathscr{W}_{k}$ как $\mathscr{W}_{k}=\mathscr{W}_{m} \circ \mathscr{W}_{m k}$ для некоторого $m<k$, так что $\mathscr{W}_{k}^{\prime}=\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right) \mathscr{W}_{m k}^{\prime}$. Теперь
\[
\mathscr{W}_{k}^{\prime}=\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right)+\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right)\left(\mathscr{W}_{m k}^{\prime}-I\right),
\]

и из оценок (2) вытекает
\[
\left\|\mathscr{W}_{k}^{\prime}-\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right)\right\|=\left\|\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right)\left(\mathscr{W}_{m k}^{\prime}-I\right)\right\| \leqslant c \delta_{m}
\]

Заменив $k$ на $l$ и вычтя почленно соответствующие неравенства, мы получим
\[
\left\|\mathscr{W}_{k}^{\prime}-\mathscr{W}_{l}^{\prime}\right\| \leqslant\left\|\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m k}\right)-\mathscr{W}_{m}^{\prime}\left(\mathscr{W}_{m i}\right)\right\|+2 c \delta_{m} \text { в } D_{l} \text { при } l>k>m .
\]

Покажем, что первое слагаемое в правой части неравенства (4) мало́ при больших $k<l$. Заметим, что при фиксированном $m$ матрица Якоби $\mathscr{W}_{m}^{\prime}$ равномерно непрерывна в замкнутой полосе $K_{m}$, которая лежит в $D_{m}$ и содержит образы отображений $\mathscr{W}_{m k}$ и $\mathscr{W}_{m l}$, 一 это следует из соотношений $\mathscr{W}_{m k}=\mathscr{U}_{m+1} \circ \mathscr{W}_{m+1, k}, \mathscr{W}_{m l}=\mathscr{U}_{m+1} \circ \mathscr{W}_{m+1, l}$ и range $\left(\mathscr{U}_{m+1}\right) \Subset D_{m}$. Из периодичности $\mathscr{W}_{m}^{\prime}$ по первому аргументу вытекает, что ограничение матричнозначного отображения $\mathscr{W}_{m}^{\prime}$ на $K_{m}$ равномерно непрерывно. Отсюда и из оценки (3) следует, что левая часть в неравенстве (4) может быть сделана меньше, чем $3 c \delta_{m}$, при достаточно больших $k<l$, а значит, и меньше любого наперед заданного положительного числа. Таким образом, $\mathscr{W}_{n}^{\prime}$ — последовательность Коши в $D_{\infty}$, что завершает доказательство.