Рассмотрим другой подход к построению функции $U(x, \theta)$ из предыдущего параграфа. Сложность заключается в том, что эта функция в общем случае не является непрерывной. Построим $U$ как предел гладкой минимали $U^{(\varepsilon)}$ другого вариационного принципа, полученного с помощью регуляризации. Здесь мы не будем доказывать, что предельная функция совпадает с функцией $U^{ \pm}$из предыдущего параграфа (в точках непрерывности), а только обсудим этот самый вариационный принцип. Главным является то, что минимали $U^{(\varepsilon)}$ этой вариационной задачи монотонны по $\theta$, это основное свойство $U^{ \pm}$.
Рассмотрим класс функций $U$, для которых
\[
U(x, \theta)-\theta \in W^{1,2}\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right),
\]
т.е. $U-\theta$ имеет период 1 для $x_{1}, \ldots, x_{n}, \theta$, и также рассмотрим на $W^{1,2}\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right)$ функционал
\[
J(U)=\iint_{\bar{Q}} \frac{\varepsilon}{2}\left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)^{2}+F(x, U, D U) d x d \theta,
\]

где
\[
\begin{aligned}
\bar{Q} & =\left\{(x, \theta) \in \mathbb{R}^{n+1},\left|x_{
u}\right| \leqslant \frac{1}{2},|\theta| \leqslant \frac{1}{2}\right\} \\
D_{
u} & =\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\alpha_{
u} \frac{\partial}{\partial \theta} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что функционал $J$ зависит от $\varepsilon$ и от вектора $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$, что не указано в наших обозначениях.

В отличие от предыдущего вариационного принципа, этот интеграл берется по компактной области, а именно по тору $\mathrm{T}^{n+1}=\mathbb{R}^{n+1} / \mathbb{Z}^{n+1}$.

Для $\varepsilon>0$ это регулярный вариационный принцип, и при прежних предположениях на $F$ (см. (3.1)) стандартная теория гарантирует существование минимали $U=U(x, \theta, \varepsilon)$, минимизирующей $J(U)$. Кроме того, по теории регулярности $U-\theta \in C^{2, \varepsilon}\left(\mathrm{T}^{n+1}\right)$.

Теорема 7.1. Если $U=U(x, \theta, \varepsilon)$ является минималью функционала (7.1) $c \varepsilon>0$, то
\[
\frac{\partial U}{\partial \theta}>0
\]

Перед доказательством теоремы заметим:
Лемма 7.2. Если $U, V-$ минимали (7.1), то
\[
U^{*}=\max (U, V), \quad U_{*}=\min (U, V)
\]

тоже минимали.
ДоКаЗательСТво.
Доказательство совпадает с доказательством теоремы 5.2. Снова покажем, что
\[
J\left(U^{*}\right)+J\left(U_{*}\right)=J(U)+J(V),
\]

и т. к. $J(U)=J(V)$ является минимумом функционала $J$, получим, что
\[
J\left(U^{*}\right)=J\left(U_{*}\right)=J(U),
\]
т.е. $U^{*}, U_{*}$ – минимали, т. к. они тоже принадлежат к классу допустимых функций.

Лемма 7.3. Если $U, V-$ минимали (7.1) $и U \leqslant V$, то либо $U<V$, либо $U \equiv V$.

ДоКАЗаТЕЛЬСТво.
Это следствие из принципа максимума для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. Покажем, что
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^{2} U+\sum_{
u=1}^{n} D_{
u} F_{p_{
u}}(x, U, D U)-F_{u}(x, U, D U)=0, \\
\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^{2} V+\sum D_{
u} F_{p_{
u}}(x, V, D V)-F_{u}(x, V, D V)=0,
\end{array}
\]

и поэтому $W=V-U>0$ удовлетворяет эллиптическому дифференциальному уравнению в частных производных
\[
\varepsilon\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\right)^{2} W+\sum D_{
u}\left(a_{
u \mu}(x, \theta) D_{\mu} W\right)+\sum b_{
u} D_{
u} W+c W=0 .
\]

Теперь утверждение следует из леммы 4.6.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 7.1.
Сначала покажем, что $U(x, \theta)$ строго монотонна по $\theta$. Отметим, что вместе с $U(x, \theta) V(x, \theta)=U(x, \theta+c)$ – также минималь для любой константы $c$, т. к. вариационный принцип не зависит явно от $\theta$. Кроме того,
\[
\widehat{U}(x, \theta)=U(x, \theta)-\theta, \quad \widehat{V}(x, \theta)=V(x, \theta)-\theta=c+\widehat{U}(x, \theta+c)
\]

имеет период 1 по всем переменным. Отсюда
\[
\iint_{\bar{Q}}(V-U) d x d \theta=\iint_{\bar{Q}}(\widehat{V}-\widehat{U}) d x d \theta=c .
\]

Поэтому, если $c>0$, то
\[
\max _{\bar{Q}}(V-U)>0 .
\]

Мы утверждаем, что $V-U>0$ повсюду. Если нет, $V-U$ где-то принимает значение 0 . Отсюда $U^{*}-U$ тоже где-то будет равно нулю, если $U^{*}$ определяется выражением
\[
U^{*}=\max (U, V) \geqslant U \text {. }
\]

Используя леммы 7.2 и 7.3 приходим к выводу, что $U^{*} \equiv U$. Пришли к противоречию, поэтому $U(\theta+c)-U(\theta)>0$ для $c>0$ и поэтому
\[
\frac{\partial U}{\partial \theta} \geqslant 0 .
\]
Т.к. $U_{\theta}=\frac{\partial U}{\partial \theta}$ тоже является решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных, можно сделать вывод, что либо $U_{\theta} \equiv 0$, либо $U_{\theta}>0$. Первый случай не может возникнуть, т. к. $U(x, \theta+1)=U(x, \theta)+1$. Это завершает доказательство теоремы.

Теперь можно изучить предел минималей $U^{(\varepsilon)}=U^{(\varepsilon)}(x, \theta)$ при $\varepsilon \rightarrow 0, \varepsilon>0$ и показать, что предельная функция $U^{(0)}$ минимизирует вариационный принцип
\[
J_{0}(U)=\iint_{\bar{Q}} F(x, U, D U) d x d \theta
\]

среди всех функций $U$ с $U-\theta \in W^{1,2}\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right)$, для которых $U\left(x, \theta^{\prime}\right) \geqslant$ $\geqslant U(x, \theta)$ при $\theta^{\prime} \geqslant \theta$. Это обобщение вариационного принципа предложено Персивалем [22], [23] и является основой работы Мезера. Преимущество этого подхода в том, что он приемлем для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Неважно, являются $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ рационально независимыми или нет. В этой работе такой подход не используется.