Метод приближенных решений, использованный выше, применим, конечно, не только к дифференциальным уравнениям в частных производных, но также и к другим операторным уравнениям вида
\[
\mathfrak{F}(u)=f .
\]

Основные требования, при которых этот метод применим, состоят в следующем.
a) Должно существовать приближенное решение, скажем $u=u_{0}$, такое, что $\mathfrak{F}\left(u_{0}\right)$ достаточно близко к $f$.
b) Линеаризованное уравнение
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(w) v=g
\]

должно иметь решения при любом $v$ в окрестности $u_{0}$. Это второе условие оказывается даже слишком сильным и часто бывает достаточно разрешимости уравнения
\[
\mathfrak{F}^{\prime}\left(u_{0}\right) v=g .
\]

В этой главе мы как раз и будем обсуждать такие задачи, в которых уравнение (2) имеет решение, а уравнение (1) – нет.

Эти задачи возникают в небесной механике и тесно связаны с так называемыми трудностями малых знаменателей. Мы рассмотрим простейшую модельную задачу, в которой возникают эти трудности, а именно проблему центра. Эта задача решена К.Л.Зигелем в работе [7]. Подробное обсуждение проблемы центра см. в книге [27], $\S \S 23-24$. Некоторые аналогичные результаты для дифференциальных уравнений см. [8].

Мы сформулируем эту задачу в следующем параграфе. Наш метод решения отличается от метода Зигеля и может быть применен и к другим задачам. Этот метод в точности совпадает с методом, предложенным А.Н.Колмогоровым [9] для решения задач с малыми знаменателями и использованным В. И. Арнольдом [13] при доказательстве теоремы Колмогорова. Основным моментом в этом методе является построение быстро сходящейся последовательности аппроксимаций с помощью решения линеаризованных уравнений (2). Для операторного уравнения общего вида это невозможно, но для обсуждаемых здесь задач (проблем сопряженности), такой метод будет описан в $\S 2$.