В этом параграфе без доказательств представлена теорема о возмущении для минимальных слоений. Начнем с невозмущенной функции Лагранжа $F^{0}=F^{0}(x, u, p)$, для которой $u=\alpha \cdot x+\beta$ для фиксированного $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ и всех $\beta \in \mathbb{R}$ является экстремалью, т.е.
\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum_{
u=1}^{n}\left(\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{\theta}\right) F_{p_{
u}}^{0}(x, \theta, \alpha)=F_{u}^{0}(x, \theta, \alpha) \\
\sum_{
u, \mu=1}^{n} F_{p_{
u} p_{\mu}}^{0}(x, \theta, \alpha) \xi_{
u} \xi_{\mu}>0 \quad \text { для всех } \quad \xi \in \mathbb{R}^{n} \backslash(0) .
\end{array}\right.
\]

Например, если $F^{0}=F^{0}(p)$ не зависит от $u, p$, это справедливо для всех $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$. Спрашивается, существует ли для малых возмущений
\[
F=F^{0}+\varepsilon G
\]

и фиксированного $\alpha$ гладкое слоение, принадлежащее тому же $\alpha$. Это задача о «малых знаменателях», и результат, приведенный ниже, можно рассматривать как обобщение теории существования инвариантных торов вблизи интегрируемых Гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. В частности, $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ должны быть ограничены диофантовыми неравенствами. Будем предполагать, что существуют положительные константы $c_{0}, \tau$ такие, что
\[
\sum_{
u=1}\left(j_{n+1} \alpha_{
u}-j_{
u}\right)^{2} \geqslant c_{0}^{-1}\left(1+j_{n+1}^{2}\right)^{-\tau}
\]

для всех $\bar{j} \in \mathbb{Z}^{n+1} \backslash(0)$.
Пусть $B=B_{r}(\alpha)$ – открытый шар в $\mathbb{R}^{n}$ с центром $\alpha$ и пусть
\[
F^{0}, G \in C^{\infty}\left(\mathrm{T}^{n+1} \times B\right) .
\]

Теорема 8.1. ${ }^{1}$ Если $F^{0}=F^{0}(x, u, p), G=G(x, u, p)$ удовлетворяет (8.1), (8.3) и $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ удовлетворяет (8.2), то существует $\varepsilon_{0}>0$ такое, что для каждого $\varepsilon \in\left(-\varepsilon_{0}, \varepsilon_{0}\right)$ существует гладкая функиия $U=$ $=U(x, \theta, \varepsilon)$, где $U-\theta \in C^{\infty}\left(\mathrm{T}^{n+1}\right) u$
\[
|U-\theta|_{C^{1}\left(\mathrm{~T}^{n+1}\right)} \rightarrow 0 \quad n p u \quad \varepsilon \rightarrow 0,
\]

такая, что для всех $\beta \in \mathbb{R}$
\[
u(x, \beta)=U(x, \alpha \cdot x+\beta, \varepsilon)
\]

является решением уравнения Эйлера
\[
\begin{array}{c}
\sum_{
u=1}^{n} \partial_{x_{
u}} F_{p_{
u}}\left(x, u, u_{x_{
u}}\right)=F_{u}\left(x, u, u_{x}\right) \\
F=F^{0}+\varepsilon G .
\end{array}
\]

Другими словами, $u=u(x, \beta)$ определяет гладкое минимальное слоение для возмущенной задачи. Отметим, что
\[
\frac{\partial u}{\partial \beta}=U_{\theta}(x, \alpha \cdot x+\beta, \varepsilon) \rightarrow 1 \quad \text { при } \quad \varepsilon \rightarrow 0 .
\]

Отсюда $\frac{\partial u}{\partial \beta}>0$ для малых $\varepsilon$. Следовательно, $\mathscr{L}(\alpha)=\mathrm{T}^{n+1}$ в этом случае, если $|\varepsilon|$ достаточно мал.

Можно рассматривать этот результат как теорему устойчивости слоения при возмущении функции Лагранжа. Действительно, при преобразовании координат
\[
\left(x, x_{n+1}\right) \rightarrow\left(x, U\left(x, x_{n+1}\right)\right)
\]

невозмущенное слоение $x_{n+1}=\alpha \cdot x+\beta$ переходит в возмущенное слоение $x_{n+1}=u(x, \beta)$. Таким образом, можно сказать, что при предположениях приведенной выше теоремы слоение сохраняется при малых возмущениях, и кроме того, остаетсн в том же классе сопряженности.

Доказательство этой теоремы (оно опубликовано в другом издании) использует быстро сходящийся итерационный метод вместе с тонкими $L^{2}$-оценками аппроксимаций решения $U=U(x, \theta)$ вырожденного дифференциального уравнения в частных производных
\[
\begin{array}{c}
\sum_{
u=1}^{n} D_{
u} F_{p_{
u}}(x, U, D U)=F_{u}(x, U, D U) \\
D_{
u}=\frac{\partial}{\partial x_{
u}}+\alpha_{
u} \frac{\partial}{\partial \theta} .
\end{array}
\]