1. При построении преобразования (2.7) теоремы 2 решающее значение имеет нахождение решения разностного уравнения
\[
w(x+\omega)-w(x)=h(x) ;
\]

здесь $w, h$ – функции периода $2 \pi$ со средним значением нуль. Предполагается, что число $\omega$ удовлетворяет условию $\left(2.3^{\prime}\right)$, т.е.
\[
|n \omega-2 \pi m| \geqslant \varepsilon n^{-\tau+1 / 2},
\]

где $\tau=\sigma-1 \geqslant 3$ – целое число.
Лемма 1. Если $h$ есть $\tau$ раз непрерывно дифференцируемая функция ( $\tau \geqslant 3)$, то (3.1) имеет непрерывное решение, которое мы обозначим через $w=$ Lh и для которого
\[
|L h|_{0} \leqslant \frac{c}{\varepsilon}|h|_{\tau} ;
\]

здесь $c$ – абсолютная постоянная.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Для тригонометрических полиномов
\[
h=\sum_{k
eq 0} h_{k} e^{i k x}
\]

решение задается формулой
\[
w=\sum_{k
eq 0} \frac{h_{k}}{e^{i k \omega}-1} e^{i k x} .
\]

Неравенство (3.2) требует оценки для коэффициентов Фурье. Так как $h$ есть $\tau$ раз дифференцируемая функция, то
\[
\left|h_{k}\right| \leqslant|k|^{-\tau}|h|_{\tau} \quad(k
eq 0) .
\]

Из условия (3.1) получаем для малых знаменателей
\[
\left|e^{i k \omega}-1\right|=2 \sin \left|\frac{\omega k-2 \pi l}{2}\right| \geqslant \frac{2}{\pi} \cdot \varepsilon|k|^{-\tau+3 / 2} .
\]

Следовательно,
\[
\left|\frac{h_{k}}{e^{i k \omega}-1}\right| \leqslant \frac{\pi}{2 \varepsilon}|k|^{-3 / 2}|h|_{\tau},
\]

так что ряды (3.3) абсолютно сходятся и (3.2) доказано при
\[
c=\pi \sum_{k=1}^{\infty} k^{-3 / 2} .
\]

Если $h(x, y)$ есть функция двух переменных с периодом $2 \pi$ по $x$ и средним значением нуль, то разностное уравнение
\[
w(x+\omega, y)-w(x, y)=h(x, y)
\]

может быть решено тем же способом и для решения $w=L h$ из леммы 1 следует оценка
\[
|L h(x, y)|_{0} \leqslant \frac{c}{\varepsilon}\left|D_{x}^{\tau} h\right|_{0}
\]

при условии, что производные в правой части существуют и непрерывны.

2. Сглаживающий оператор (см. [11]). Мы введем для функций двух переменных сглаживающий оператор, который приближает произвольную $h(x, y)$ гладкими функциями. Особенность этого оператора состоит в том, что достаточно гладкие функции $h$ приближаются с высокой степенью точности. Это свойство выражает лемма 2.

Пусть $h(x, y)$ есть непрерывная функция, определенная в некоторой области, в качестве которой возьмем полосу
\[
a<y<b \text {. }
\]

Порядок приближения по каждому из аргументов $x, y$ будет устанавливаться отдельно и будет измеряться двумя большими параметрами $N, M>1$. Сглаженная функция $T_{N M} h$ определяется в меньшей полосе
\[
\alpha=a+\frac{1}{M}<y<b-\frac{1}{M}=\beta
\]

в предположении, что $2 M^{-1}<b-a$, и задается формулой
\[
T_{N M} h(x, y)=\iint_{a<y^{\prime}<b} \chi_{N M}\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right) h\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) d x^{\prime} d y^{\prime} .
\]

В качестве ядра $\chi_{N M}$ возьмем функцию вида
\[
\chi_{N M}(x, y)=N \chi(N x) \cdot M \chi(M y),
\]

где $\chi(x)$ – функция, все производные которой существуют и непрерывны и которая удовлетворяет соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\chi(x) \equiv 0 \quad \text { при } \quad|x|>1, \\
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \chi(x) d x=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & k=0, \\
0 & \text { при } & 0<k<l,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $l$ – фиксированное число. Таким образом, $T_{N M}$ зависит от $l$, которое будет выбрано согласно (2.4).

Из условия (3.6) вытекает, что $\chi_{N M}$ равно нулю при $|x|>N^{-1}$ и при $|y|>M^{-1}$. Следовательно, интегрирование в (3.5) распространяется на носитель $\chi_{N M}\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right)$, который содержится в $a<y^{\prime}<b$, так как $\alpha<y<\beta$. Поэтому, если ввести новые переменные интегрирования, (3.5) можно записать в виде
\[
T_{N M} h(x, y)=\iint_{\substack{|\xi|<1 \\|\eta|<1}} \chi_{11}(\xi, \eta) h\left(x-\frac{\xi}{N}, y-\frac{\eta}{M}\right) d \xi d \eta .
\]

Из условия (3.7) следует, что полиномы $p(x, y)$ степени, меньшей $l$, при сглаживании сохраняются, т.е.
\[
T_{N M} p(x, y)=p(x, y) .
\]

Лемма 2. Если $h(x, y)$ непрерывна в полосе $a<y<b$, то при $\alpha<y<\beta$
\[
\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} T_{N M} h\right| \leqslant c_{\rho} N^{\rho_{1}} M^{\rho_{2}} \sup _{a \leqslant y \leqslant b}|h| \quad \text { для всех } \rho_{1}, \rho_{2},
\]

где $c_{\rho}$ зависит от функции $\chi$ и от $\rho_{1}, \rho_{2}$. Если $h(x, y)$ есть l раз непрерывно дифференцируемая функция, то при $\alpha<y<\beta$
\[
\left|h-T_{N M} h\right| \leqslant c \sup _{\substack{\rho_{1}+\rho_{2}=l \\ a<y<b}} N^{-\rho_{1}} M^{-\rho_{2}}\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} h\right|,
\]

где постоянная с зависит от функции $\chi(x)$, но не зависит от $M, N$.

ДоКАЗАТЕЛЬСТВо.
Справедливость (3.10) непосредственно следует из (3.5):
\[
\begin{array}{l}
\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} T_{N M} h(x, y)\right| \leqslant \sup _{a<y<b}|h| \iint\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} \chi_{N M}\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right)\right| d x^{\prime} d y^{\prime} \leqslant \\
\leqslant \sup _{a<y<b}|h| N^{\rho_{1}} M^{\rho_{2}} \int\left|D_{x}^{\rho_{1}} \chi(x)\right| d x \int\left|D_{y}^{\rho_{2}} \chi(y)\right| d y .
\end{array}
\]

Для доказательства (3.11) мы используем формулу (3.8), разложив $h(x-$ $-\xi / N, y-\eta / M)$ в ряд Тейлора с остаточным членом в точке $\xi=$ $=\eta=0$ до членов порядка, меньшего чем $l$. Так как $T_{N M}$ сохраняет полиномы степени, меньшей чем $l$, то $\left(I-T_{N M}\right) h$ определяется только остаточным членом $r_{l}(x, y, \xi, \eta)$ функции $h(x-\xi / N, y-\eta / M)$. Для этого члена можно дать оценку
\[
\left|r_{l}(x, y, \xi, \eta)\right| \leqslant \sup _{\substack{\rho_{1}+\rho_{2}=l \\ x^{\prime}, y^{\prime}}} \frac{\xi^{\rho_{1}} \eta^{\rho_{2}}}{N^{\rho_{1}} M^{\rho_{2}}}\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} h\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right|,
\]

где $\left(x^{\prime}-x\right)<1 / N,\left|y^{\prime}-y\right|<1 / M$ и $|\xi|,|\eta|<1$. Следовательно, из (3.8) найдем
\[
\left|\left(I-T_{N M}\right) h(x, y)\right| \leqslant \sup _{\substack{\rho_{1}+\rho_{2}=l \\ x^{\prime}, y^{\prime}}} N^{-\rho_{1}} M^{-\rho_{2}}\left|D_{x}^{\rho_{1}} D_{y}^{\rho_{2}} h\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right| c,
\]

где
\[
c=\sup _{\rho_{1}+\rho_{2}=l} \iint\left|\xi^{\rho_{1}} \eta^{\rho_{2}} \chi(\xi, \eta)\right| d \xi d \eta .
\]

Этим лемма 2 доказана.

Упомянем о следующих двух примерах оценок (3.2) и (3.10). При $\alpha<y<\beta$ имеем
\[
\left|L T_{N M} h(x, y)\right| \leqslant \frac{c}{\varepsilon}\left|D_{x}^{\tau} T_{N M} h\right|_{0} \leqslant c_{\rho} c \frac{N^{\tau}}{\varepsilon}|h|_{0},
\]

и если $N>\varepsilon, \sigma=\tau+1$, то
\[
\left|L T_{N M} h\right| \leqslant c_{\rho} c N^{\tau+1}|h|_{0}=c_{\rho} c N^{\sigma}|h|_{0} .
\]

Аналогично
\[
\left|L^{2} T_{N M} h\right| \leqslant c_{\rho} c^{2} N^{2 \sigma}|h|_{0} .
\]

Напомним, что $T_{N M} h$ определена в меньшей области, чем сама функция $h$.

3. Для полноты изложения покажем, как можно построить функцию $\chi(x)$ со свойствами (3.6), (3.7). Пусть функция $\varphi(x)$ принадлежит классу $C^{\infty}$, равна 0 при $|x|>1 / 2$ и положительна при $|x|<1 / 2$. Тогда можно определить $l$ постоянных $a_{1}, \ldots, a_{l}$ таким образом, чтобы
\[
\chi(x)=\sum_{\lambda=1}^{l} a_{\lambda} \varphi\left(x-\delta_{\lambda}\right), \quad \delta_{\lambda}=\frac{\lambda}{2 l},
\]

обладала желаемыми свойствами. Постоянные $a_{1}, \ldots, a_{l}$ находятся из линейной системы (3.7), определитель которой не равен нулю. В самом деле, в противном случае равняется нулю некоторая нетривиальная линейная комбинация чисел
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} x^{\mu} \varphi\left(x-\delta_{\lambda}\right) d x=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(x+\delta_{\lambda}\right)^{\mu} \varphi(x) d x
\]
т. е. существует полином $p(x)
ot \equiv 0$ степени, меньшей чем $l$, и такой, что
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} p\left(x+\delta_{\lambda}\right) \varphi(x) d x=0, \quad \lambda=1, \ldots, l .
\]

Но так как $\int_{-\infty}^{\infty} p(x+\delta) \varphi(x) d x$ есть полином по $\delta$ той же степени, что и $p$, то он может иметь только $l-1$ или меньше корней; это доказывает утверждение.