Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. При построении преобразования (2.7) теоремы 2 решающее значение имеет нахождение решения разностного уравнения здесь $w, h$ — функции периода $2 \pi$ со средним значением нуль. Предполагается, что число $\omega$ удовлетворяет условию $\left(2.3^{\prime}\right)$, т.е. где $\tau=\sigma-1 \geqslant 3$ — целое число. здесь $c$ — абсолютная постоянная. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. решение задается формулой Неравенство (3.2) требует оценки для коэффициентов Фурье. Так как $h$ есть $\tau$ раз дифференцируемая функция, то Из условия (3.1) получаем для малых знаменателей Следовательно, так что ряды (3.3) абсолютно сходятся и (3.2) доказано при Если $h(x, y)$ есть функция двух переменных с периодом $2 \pi$ по $x$ и средним значением нуль, то разностное уравнение может быть решено тем же способом и для решения $w=L h$ из леммы 1 следует оценка при условии, что производные в правой части существуют и непрерывны. 2. Сглаживающий оператор (см. [11]). Мы введем для функций двух переменных сглаживающий оператор, который приближает произвольную $h(x, y)$ гладкими функциями. Особенность этого оператора состоит в том, что достаточно гладкие функции $h$ приближаются с высокой степенью точности. Это свойство выражает лемма 2. Пусть $h(x, y)$ есть непрерывная функция, определенная в некоторой области, в качестве которой возьмем полосу Порядок приближения по каждому из аргументов $x, y$ будет устанавливаться отдельно и будет измеряться двумя большими параметрами $N, M>1$. Сглаженная функция $T_{N M} h$ определяется в меньшей полосе в предположении, что $2 M^{-1}<b-a$, и задается формулой В качестве ядра $\chi_{N M}$ возьмем функцию вида где $\chi(x)$ — функция, все производные которой существуют и непрерывны и которая удовлетворяет соотношениям где $l$ — фиксированное число. Таким образом, $T_{N M}$ зависит от $l$, которое будет выбрано согласно (2.4). Из условия (3.6) вытекает, что $\chi_{N M}$ равно нулю при $|x|>N^{-1}$ и при $|y|>M^{-1}$. Следовательно, интегрирование в (3.5) распространяется на носитель $\chi_{N M}\left(x-x^{\prime}, y-y^{\prime}\right)$, который содержится в $a<y^{\prime}<b$, так как $\alpha<y<\beta$. Поэтому, если ввести новые переменные интегрирования, (3.5) можно записать в виде Из условия (3.7) следует, что полиномы $p(x, y)$ степени, меньшей $l$, при сглаживании сохраняются, т.е. Лемма 2. Если $h(x, y)$ непрерывна в полосе $a<y<b$, то при $\alpha<y<\beta$ где $c_{\rho}$ зависит от функции $\chi$ и от $\rho_{1}, \rho_{2}$. Если $h(x, y)$ есть l раз непрерывно дифференцируемая функция, то при $\alpha<y<\beta$ где постоянная с зависит от функции $\chi(x)$, но не зависит от $M, N$. ДоКАЗАТЕЛЬСТВо. Для доказательства (3.11) мы используем формулу (3.8), разложив $h(x-$ $-\xi / N, y-\eta / M)$ в ряд Тейлора с остаточным членом в точке $\xi=$ $=\eta=0$ до членов порядка, меньшего чем $l$. Так как $T_{N M}$ сохраняет полиномы степени, меньшей чем $l$, то $\left(I-T_{N M}\right) h$ определяется только остаточным членом $r_{l}(x, y, \xi, \eta)$ функции $h(x-\xi / N, y-\eta / M)$. Для этого члена можно дать оценку где $\left(x^{\prime}-x\right)<1 / N,\left|y^{\prime}-y\right|<1 / M$ и $|\xi|,|\eta|<1$. Следовательно, из (3.8) найдем где Этим лемма 2 доказана. Упомянем о следующих двух примерах оценок (3.2) и (3.10). При $\alpha<y<\beta$ имеем и если $N>\varepsilon, \sigma=\tau+1$, то Аналогично Напомним, что $T_{N M} h$ определена в меньшей области, чем сама функция $h$. 3. Для полноты изложения покажем, как можно построить функцию $\chi(x)$ со свойствами (3.6), (3.7). Пусть функция $\varphi(x)$ принадлежит классу $C^{\infty}$, равна 0 при $|x|>1 / 2$ и положительна при $|x|<1 / 2$. Тогда можно определить $l$ постоянных $a_{1}, \ldots, a_{l}$ таким образом, чтобы обладала желаемыми свойствами. Постоянные $a_{1}, \ldots, a_{l}$ находятся из линейной системы (3.7), определитель которой не равен нулю. В самом деле, в противном случае равняется нулю некоторая нетривиальная линейная комбинация чисел Но так как $\int_{-\infty}^{\infty} p(x+\delta) \varphi(x) d x$ есть полином по $\delta$ той же степени, что и $p$, то он может иметь только $l-1$ или меньше корней; это доказывает утверждение.
|
1 |
Оглавление
|