a) В этом параграфе мы сформулируем и докажем теорему 1 о потоках на торе также и в дифференцируемом случае. Первоначально в доказательстве аналогичной теоремы о существовании инвариантных кривых у сохраняющего площадь отображения кругового кольца автор использовал при рассмотрении дифференцируемого случая специальный оператор сглаживания, который сопоставляет функциям из $C^{r}$ функции из $C^{\infty}$, мало отличающиесн от них при больших $r$. В теории аппроксимаций результаты такого рода хорошо известны, например теорема Джексона, утверждающая, что функции из $C^{r}$ можно приблизить тригонометрическими полиномами степени $<N$ с ошибкой, не превосходящей $c N^{-r}$ (см. Н. И. Ахиезер [31], гл. V). Мы покажем, как можно использовать технику приближений для сведения дифференцируемого случая к аналитическому. Этот подход следует идеям Бернштейна, который характеризовал дифференцируемые функции тем, насколько хорошо их можно приблизить аналитическими функциями. Подобным образом мы будем здесь приближать операторные уравнения, возникающие в дифференцируемом случае, аналитическими уравнениями. Помимо самостоятельного интереса, этот подход позволяет получать результаты в предположении, что существует весьма умеренное чис-

ло производных, в то время как предыдущий метод, использованный в работе [6], был весьма расточительным в этом отношении.

Пусть $C^{l}$ обозначает класс вектор-функций $f(x)$, имеющих период $2 \pi$ по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$ и непрерывные частные производные порядков до $l$ включительно. Классы $C^{l}$ можно определить и при нецелых $l>0$ как классы функций, у которых производные порядка ${ }^{1}[l]$ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $l-[l]$. При целом $l$ обозначим через $|f|_{l}$ максимум всех частных производных порядка до $l$. При нецелом $l$ положим $|f|_{l}=|f|_{[l]}+l-[l]$. Мы докажем следующую теорему.

Теорема 3. ${ }^{2}$ Пусть $l>\sigma+1=\tau+2>n+1$ и путь вектор $\omega=$ $=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяет неравенствам (5.4). Тогда существует положительная константа $\delta_{0}$, зависящая только от $c_{0}, \tau, l, n$, такая, что при $|f(x)-\omega|_{l}<\delta<\delta_{0}$ существуют константа $\lambda$ и преобразование координат $x=\xi+\widehat{u}(\xi)$, которое преобразует уравнения $\dot{x}=f(x)+\lambda$ в $\dot{\xi}=\omega$. При этом функиия $\widehat{u} \in C^{1}$ (точнее, $C^{l-\sigma}$, если $l-\sigma-$ нецелое число) и имеют место неравенства $|\widehat{u}|_{1} \leqslant c \delta ;|\lambda|<c \delta$, где константа с зависит только от $c_{0}, \tau, l, n$.

Заметим, что функция $и$ имеет, вообще говорн, на $\sigma$ производных меньше, чем $f$; это в точности такая же потеря гладкости, как в случае линейного дифференциального уравнения в частных производных (6.6). Таким образом, разница между числом производных у правой части и у решения одинакова для линеаризованного уравнения и для соответствующего нелинейного уравнения.
b) Прежде чем доказывать теорему 3, выясним, как можно приблизить функцию $f(x) \in C^{l}$ аналитическими функциями. Это стандартный результат из теории аппроксимаций, и поэтому мы ограничимся здесь наброском доказательства.

Лемма 1. Любую функцию $f(x) \in C^{l}$ можно представить в виде $f=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k}(x)$ при вещественных $x$, где $f_{k}(x)$ – вещественно-анали$1[l]$ – целая часть числа $l$.

тические функции, удовлетворяющие условиям
\[
\begin{array}{c}
f_{0}=0 \quad u \quad\left|f_{k}(x)-f_{k+1}(x)\right| \leqslant A h_{k}^{l} \\
n p u|\operatorname{Im} x|<h_{k}=4^{-k} \quad(k=0,1, \ldots) .
\end{array}
\]

Здесь $A \leqslant c|f|_{l}$, а с зависит только от $l$ и п. Обратно, если вещественная функция $f$ допускает такую аппроксимацию аналитическими функциями и если $l$ – нецелое число, то $f \in C^{l} u|f|_{l} \leqslant c^{\prime} A$, где $c^{\prime}$ некоторая другая константа.
ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
В силу теоремы Джексона существует тригонометрический многочлен $p_{N}(x)$ степени $<N$ такой, что
\[
\left|f(x)-p_{N}(x)\right|<\frac{c_{1}}{N^{l}}|f|_{l} .
\]

Такие тригонометрические многочлены можно построить с помощью операторов свертки в любой размерности $n$ (см. [31]). Положим $N=4^{-k}$ и $f_{k}=p_{N}(x)$ при $k=1,2, \ldots$ и $f_{0}=0$. Тогда, очевидно, $f_{k}$ – целые функции и при вещественных $x\left|f_{k}-f_{k+1}\right| \leqslant\left|f_{k}-f\right|+\left|f_{k+1}-f\right| \leqslant$ $\leqslant 2 c_{1} h_{k}^{l}|f|_{l}$. Используя известную теорему С.Н. Бернштейна, получаем оценки для всех производных тригонометрического многочлена $f_{k}-f_{k+1}$
\[
\left|f_{k}-f_{k+1}\right|_{s} \leqslant\left(4^{k+1}\right)^{s} 2 c_{1} h_{k}^{l}|f|_{l} \leqslant c_{2} h_{k}^{l-s}|f|_{l} .
\]

Для получения оценки для $f_{k}-f_{k+1}$ в комплексной области при $|\operatorname{Im} x|<h_{k}$ используем разложение в ряд Тейлора и получим
\[
\left|f_{k}-f_{k+1}\right| \leqslant c_{2}|f|_{l} h_{k}^{l}\left(\sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{s !}\right)^{n}=c_{2}|f|_{l} e^{n} h_{k}^{l} .
\]

Доказана первая часть леммы. Обратное утверждение следует из неравенств Коши, но мы не будем здесь останавливаться на доказательстве.
c) Для дальнейшего нам понадобится небольшое обобщение теоремы 1 из $\S 5$ (или дополнения к ней из $\S 6$ ). Напомним, что теорема 1 утверждает, что дифференциальное уравнение (6.1), где $\lambda$ – постоянный вектор, приводится к виду (6.3). Мы же потребуем, чтобы поправочный член имел вид $\lambda p(x)$, где матрица $p(x)$ вещественно-аналитична при $|\operatorname{Im} x|<h$ и удовлетворяет условию
\[
|\lambda| \leqslant|p(x) \lambda| \leqslant 3|\lambda|
\]

для любого вектора $\lambda$. Тогда можно доказать, что существует $\lambda$, $|\lambda|<2 \varepsilon$, при котором система
\[
x=\omega+\widehat{f}(x)+p(x) \lambda
\]

также приводится к виду (6.3) ${ }^{1}$.
d) Начнем теперь доказательство теоремы 3. Применим лемму 1 к данной функции $f(x)-\omega \in C^{l}$ и построим функции $f_{0}=\omega$ и $f_{k}(x)$, которые аналитичны при $|\operatorname{Im} x|<4 h_{k}=4^{1-k}$ и удовлетворяют условиям (7.1). План доказательства состоит в следующем: мы будем использовать теорему 1 в сформулированной выше обобщенной форме для доказательства существования констант $\mu_{k}$ и преобразований $U_{k}$, переводящих уравнение $\dot{x}=f_{k}(x)+\mu_{k}$ в уравнение $\dot{\xi}=\omega$. Более точно, наше утверждение состоит в следующем. При $k=0,1, \ldots$ существуют вещественно-аналитические преобразования $U_{k}: x=U_{k}(\xi)$ и константы $\mu_{k}$ такие, что
\[
\mathfrak{F}\left(f_{k}+\mu_{k}, U_{k}\right)=\omega .
\]

Сверх того, преобразование $U_{k}$ отображает полосу $\mathfrak{D}_{k+1}:|\operatorname{Im} x|<$ $<4^{-k-1}$ в полосу $\mathfrak{D}_{k}$ и при вещественных $\xi$ удовлетворяет неравенству
\[
\left|U_{k}-\xi\right|<c \delta,
\]

а константы $\mu_{k}$ удовлетворяют неравенству
\[
\left|\mu_{k+1}-\mu_{k}\right|<c \delta 4^{-k} .
\]

Докажем это утверждение по индукции. При $k=0$ можно, очевидно, положить $\mu_{0}=0, U_{0}(\xi)=\xi$, так как $f_{0}=\omega$. Предположим теперь, что это утверждение доказано в той форме, как оно сформулировано выше и покажем тогда, что справедливо утверждение, в котором $k$ заменено на $k+1$. Рассмотрим, как действует преобразование $U_{k}$ на уравнение с правой частью $f_{k+1}+\mu_{k}+\lambda$ при различных $\lambda$. Имеем
\[
\mathfrak{F}\left(f_{k+1}+\mu_{k}+2 \lambda, U_{k}\right)=\Phi+2 U_{k}^{\prime-1} \lambda .
\]

Функция $\Phi$ определяется из этого уравнения. Сравнивая уравнения $(7.3)$ и (7.5) и используя лемму 1 , находим
\[
\begin{array}{l}
|\Phi-\omega|=\left|\mathfrak{F}\left(f_{k+1}+\mu_{k}, U_{k}\right)-\mathfrak{F}\left(f_{k}+\mu_{k}, U_{k}\right)\right| \leqslant \\
\quad \leqslant\left|U_{k}^{\prime-1}\right|\left|f_{k+1}-f_{k}\right| \leqslant\left|U_{k}^{\prime-1}\right| c h_{k}^{l} \delta .
\end{array}
\]

Если $\delta$ достаточно мало, то из (7.4) следует, что
\[
|\Phi-\omega|<2 \operatorname{ch}_{k}^{l} \delta \quad \text { при } \quad|\operatorname{Im} x|<h_{k} .
\]

Применим теорему 1 к дифференциальному уравнению $\dot{x}=\Phi(x)+$ $+2 U_{k}^{\prime-1} \lambda$, используя то обстоятельство, что при достаточно малых $\delta$ $1 \leqslant\left|2 U_{k}^{\prime-1}\right| \leqslant 3$. Оценка (7.6) гарантирует выполнение этого неравенства при $\varepsilon=2 c h_{k}^{l} \delta, h=h_{k+1}$. Величина $\frac{\varepsilon}{h_{k+1}^{\sigma+1}} \leqslant 4^{\sigma+2} c \delta$ достаточно мала, если $\delta$ выбрано достаточно малым. Следовательно, существует $\lambda$, удовлетворяющее неравенству
\[
|\lambda|<2 \varepsilon=4 c h_{k}^{l} \delta,
\]

и преобразование координат $x=u_{k+1}(\xi)$, переводящее область $|\operatorname{Im} x|<\frac{1}{2} h_{k+1}$ в $\mathfrak{D}_{k+1}$, такие, что
\[
\mathfrak{F}\left(\Phi+2 U_{k}^{\prime-1} \lambda, u_{k+1}\right)=\omega
\]

или, используя (2.1), $\mathfrak{F}\left(f_{k+1}+\mu_{k}+2 \lambda, U_{k} \circ u_{k+1}\right)=\omega$. Полагая $U_{k+1}=U_{k} \circ u_{k+1}, \mu_{k+1}=\mu_{k}+2 \lambda$, получаем $\mathfrak{F}\left(f_{k+1}+\mu_{k+1}, U_{k+1}\right)=\omega$, т.е. доказываемое утверждение. Нам осталось проверить различные оценки. Так как преобразование $u_{k+1}$ переводит область
\[
|\operatorname{Im} \xi|<\frac{1}{2} h_{k+1}
\]

в область $\mathfrak{D}_{k+1}$, а преобразование $U_{k}$ переводит $\mathfrak{D}_{k+1}$ в $\mathfrak{D}_{k}$, то ясно, что преобразование $U_{k+1}=U_{k} \circ u_{k+1}$ переводит область (7.8) в область $\mathfrak{D}_{k}$.
Из дополнения к теореме 1 (§6) получаем
\[
h^{-1}\left|u_{k+1}-\xi\right|_{0}+\left|u_{k+1}-\xi\right|_{1} \leqslant c \frac{\varepsilon_{k}}{h_{k+1}^{\sigma+1}} \leqslant c \delta h_{k}^{\alpha},
\]

где $\alpha=l-\sigma-1>0$. Следовательно, представляя преобразование $U_{k+1}$ в виде $U_{k+1}=u_{1} \circ u_{2} \circ \ldots \circ u_{k+1}$ и применяя правило дифференцирования сложной функции, находим (если $\delta$ достаточно мало)
\[
\left|U_{k+1}-\xi\right|_{1} \leqslant c^{\prime} \delta \sum h_{k}^{\alpha} \leqslant c^{\prime \prime} \delta .
\]

Таким образом, установлена оценка (7.4) в области (7.8). Покажем теперь, что преобразование $U_{k+1}$ отображает область $\mathfrak{D}_{k+2}$ в $\mathfrak{D}_{k+1}$. Заметим для этого, что функция $U(\xi)=U_{k+1}(\xi)$ вещественно-аналитическая, и поэтому при $\operatorname{Re} \xi=\rho$ получаем $|\operatorname{Im} U(\xi)|=|\operatorname{Im}(U(\xi)-U(\rho))| \leqslant$ $\leqslant\left|U^{\prime}\right||\operatorname{Im} \xi|$. В силу (7.10) можно считать, что $\left|U^{\prime}\right| \leqslant 2$ и, следовательно, $|\operatorname{Im} U(\xi)| \leqslant 2|\operatorname{Im} \xi|<h_{k+1}$ при $|\operatorname{Im} \xi|<h_{k+2}$. Итак, $U_{k}$ отображает $\mathfrak{D}_{k+2}$ в $\mathfrak{D}_{k+1}$.

Наконец, ясно, что из соотношения (7.7) получается неравенство $\left(7.4^{\prime}\right)$ для $\left|\mu_{k+1}-\mu_{k}\right|$. Таким образом, индукция полностью проведена.

Из неравенства (7.9) вытекает также сходимость последовательности преобразований $U_{k}$ при $k \rightarrow \infty$ для вещественных $\xi$. Действительно, при $\xi \in D_{k+2}$ имеем $\left|U_{k+1}-U_{k}\right|=\left|U_{k} \circ u_{k+1}-U_{k}\right| \leqslant$ $\leqslant\left|U_{k}^{\prime}\right|\left|u_{k+1}-\xi\right| \leqslant 2 c \delta h_{k}^{\alpha+1}$. Таким образом, последовательность $U_{k}$ сходится при вещественных $\xi$. Более того, из второй части леммы 2 следует, что предельная функция $\lim _{k \rightarrow \infty} U_{k}=U^{*}$ принадлежит классу $C^{1+\alpha}=$ $=C^{l-\sigma}$, если $\alpha$ – нецелое число, и что $\left|U^{*}-\xi\right|_{1+\alpha} \leqslant c_{1} \delta$. Положив $\lim _{k \rightarrow \infty} \mu_{k}=\mu^{*}$, видим, что теорема 3 доказана, причем $\widehat{u}=U^{*}-\xi$ и $\lambda=$ $=\mu^{*}$.

Отметим, что этот метод применим и к случаю гамильтоновых систем. Он позволяет доказать теорему Колмогорова-Арнольда в случае, когда возмущение мало в метрике $C^{l}$ при $l>2+2(\tau+1)=2 n+2$.