a) В этом параграфе мы сформулируем и докажем теорему 1 о потоках на торе также и в дифференцируемом случае. Первоначально в доказательстве аналогичной теоремы о существовании инвариантных кривых у сохраняющего площадь отображения кругового кольца автор использовал при рассмотрении дифференцируемого случая специальный оператор сглаживания, который сопоставляет функциям из $C^r$ функции из $C^{\mathrm{\infty }}$, мало отличающиесн от них при больших $r$. В теории аппроксимаций результаты такого рода хорошо известны, например теорема Джексона, утверждающая, что функции из $C^r$ можно приблизить тригонометрическими полиномами степени $<N$ с ошибкой, не превосходящей $c{N}^{-r}$ (см. Н. И. Ахиезер [31], гл. V). Мы покажем, как можно использовать технику приближений для сведения дифференцируемого случая к аналитическому. Этот подход следует идеям Бернштейна, который характеризовал дифференцируемые функции тем, насколько хорошо их можно приблизить аналитическими функциями. Подобным образом мы будем здесь приближать операторные уравнения, возникающие в дифференцируемом случае, аналитическими уравнениями. Помимо самостоятельного интереса, этот подход позволяет получать результаты в предположении, что существует весьма умеренное чис-

ло производных, в то время как предыдущий метод, использованный в работе [6], был весьма расточительным в этом отношении.

Пусть $C^l$ обозначает класс вектор-функций $f(x)$, имеющих период $2\pi$ по переменным $x_1,\dots ,x_n$ и непрерывные частные производные порядков до $l$ включительно. Классы $C^l$ можно определить и при нецелых $l>0$ как классы функций, у которых производные порядка ${}^1[l]$ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $l-[l]$. При целом $l$ обозначим через $|f{|}_l$ максимум всех частных производных порядка до $l$. При нецелом $l$ положим $|f{|}_l=|f{|}_{[l]}+l-[l]$. Мы докажем следующую теорему.

Теорема 3. ${}^2$ Пусть $l>\sigma +1=\tau +2>n+1$ и путь вектор $\omega =$ $=({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$ удовлетворяет неравенствам (5.4). Тогда существует положительная константа ${\delta }_0$, зависящая только от $c_0,\tau ,l,n$, такая, что при $|f(x)-\omega {|}_l<\delta <{\delta }_0$ существуют константа $\lambda$ и преобразование координат $x=\xi +\hat{u}(\xi )$, которое преобразует уравнения $\dot{x}=f(x)+\lambda$ в $\dot{\xi }=\omega$. При этом функиия $\hat{u}\in C^1$ (точнее, $C^{l-\sigma }$, если $l-\sigma -$ нецелое число) и имеют место неравенства $|\hat{u}{|}_1⩽c\delta ;|\lambda |<c\delta$, где константа с зависит только от $c_0,\tau ,l,n$.

Заметим, что функция $и$ имеет, вообще говорн, на $\sigma$ производных меньше, чем $f$; это в точности такая же потеря гладкости, как в случае линейного дифференциального уравнения в частных производных (6.6). Таким образом, разница между числом производных у правой части и у решения одинакова для линеаризованного уравнения и для соответствующего нелинейного уравнения.
b) Прежде чем доказывать теорему 3, выясним, как можно приблизить функцию $f(x)\in C^l$ аналитическими функциями. Это стандартный результат из теории аппроксимаций, и поэтому мы ограничимся здесь наброском доказательства.

Лемма 1. Любую функцию $f(x)\in C^l$ можно представить в виде $f=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$ при вещественных $x$, где $f_k(x)$ — вещественно-анали$1[l]$ — целая часть числа $l$.

тические функции, удовлетворяющие условиям
$$\begin{array}{c}{f}_0=0u|f_k(x)-f_{k+1}(x)|⩽A{h}_k^l\\ npu|\mathrm{Im}x|<h_k=4^{-k}(k=0,1,\dots ).\end{array}$$

Здесь $A⩽c|f{|}_l$, а с зависит только от $l$ и п. Обратно, если вещественная функция $f$ допускает такую аппроксимацию аналитическими функциями и если $l$ — нецелое число, то $f\in C^{l}u|f{|}_l⩽c^{\prime }A$, где $c^{\prime }$ некоторая другая константа.
ДоКаЗаТЕЛЬСТво.
В силу теоремы Джексона существует тригонометрический многочлен $p_N(x)$ степени $<N$ такой, что
$$|f(x)-p_N(x)|<\frac{c_1}{N^l}|f{|}_l.$$

Такие тригонометрические многочлены можно построить с помощью операторов свертки в любой размерности $n$ (см. [31]). Положим $N=4^{-k}$ и $f_k=p_N(x)$ при $k=1,2,\dots$ и $f_0=0$. Тогда, очевидно, $f_k$ — целые функции и при вещественных $x|f_k-f_{k+1}|⩽|f_k-f|+|f_{k+1}-f|⩽$ $⩽2c_1{h}_k^l|f{|}_l$. Используя известную теорему С.Н. Бернштейна, получаем оценки для всех производных тригонометрического многочлена $f_k-f_{k+1}$
$${|f_k-f_{k+1}|}_s⩽{\left(4^{k+1}\right)}^{s}2c_1{h}_k^l|f{|}_l⩽c_2{h}_k^{l-s}|f{|}_l.$$

Для получения оценки для $f_k-f_{k+1}$ в комплексной области при $|\mathrm{Im}x|<h_k$ используем разложение в ряд Тейлора и получим
$$|f_k-f_{k+1}|⩽c_2|f{|}_l{h}_k^l{\left(\sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{s!}\right)}^n=c_2|f{|}_l{e}^n{h}_k^l.$$

Доказана первая часть леммы. Обратное утверждение следует из неравенств Коши, но мы не будем здесь останавливаться на доказательстве.
c) Для дальнейшего нам понадобится небольшое обобщение теоремы 1 из $\mathrm{\S }5$ (или дополнения к ней из $\mathrm{\S }6$ ). Напомним, что теорема 1 утверждает, что дифференциальное уравнение (6.1), где $\lambda$ — постоянный вектор, приводится к виду (6.3). Мы же потребуем, чтобы поправочный член имел вид $\lambda p(x)$, где матрица $p(x)$ вещественно-аналитична при $|\mathrm{Im}x|<h$ и удовлетворяет условию
$$|\lambda |⩽|p(x)\lambda |⩽3|\lambda |$$

для любого вектора $\lambda$. Тогда можно доказать, что существует $\lambda$, $|\lambda |<2\epsilon$, при котором система
$$x=\omega +\hat{f}(x)+p(x)\lambda$$

также приводится к виду (6.3) ${}^1$.
d) Начнем теперь доказательство теоремы 3. Применим лемму 1 к данной функции $f(x)-\omega \in C^l$ и построим функции $f_0=\omega$ и $f_k(x)$, которые аналитичны при $|\mathrm{Im}x|<4h_k=4^{1-k}$ и удовлетворяют условиям (7.1). План доказательства состоит в следующем: мы будем использовать теорему 1 в сформулированной выше обобщенной форме для доказательства существования констант ${\mu }_k$ и преобразований $U_k$, переводящих уравнение $\dot{x}=f_k(x)+{\mu }_k$ в уравнение $\dot{\xi }=\omega$. Более точно, наше утверждение состоит в следующем. При $k=0,1,\dots$ существуют вещественно-аналитические преобразования $U_k:x=U_k(\xi )$ и константы ${\mu }_k$ такие, что
$$\mathfrak{F}(f_k+{\mu }_k,U_k)=\omega .$$

Сверх того, преобразование $U_k$ отображает полосу ${\mathfrak{D}}_{k+1}:|\mathrm{Im}x|<$ $<4^{-k-1}$ в полосу ${\mathfrak{D}}_k$ и при вещественных $\xi$ удовлетворяет неравенству
$$|U_k-\xi |<c\delta ,$$

а константы ${\mu }_k$ удовлетворяют неравенству
$$|{\mu }_{k+1}-{\mu }_k|<c\delta 4^{-k}.$$

Докажем это утверждение по индукции. При $k=0$ можно, очевидно, положить ${\mu }_0=0,U_0(\xi )=\xi$, так как $f_0=\omega$. Предположим теперь, что это утверждение доказано в той форме, как оно сформулировано выше и покажем тогда, что справедливо утверждение, в котором $k$ заменено на $k+1$. Рассмотрим, как действует преобразование $U_k$ на уравнение с правой частью $f_{k+1}+{\mu }_k+\lambda$ при различных $\lambda$. Имеем
$$\mathfrak{F}(f_{k+1}+{\mu }_k+2\lambda ,U_k)=\mathrm{\Phi }+2U_k^{\prime -1}\lambda .$$

Функция $\mathrm{\Phi }$ определяется из этого уравнения. Сравнивая уравнения $(7.3)$ и (7.5) и используя лемму 1 , находим
$$\begin{array}{l}|\mathrm{\Phi }-\omega |=|\mathfrak{F}(f_{k+1}+{\mu }_k,U_k)-\mathfrak{F}(f_k+{\mu }_k,U_k)|⩽\\ ⩽\left|U_k^{\prime -1}\right||f_{k+1}-f_k|⩽\left|U_k^{\prime -1}\right|c{h}_k^l\delta .\end{array}$$

Если $\delta$ достаточно мало, то из (7.4) следует, что
$$|\mathrm{\Phi }-\omega |<2{\mathrm{ch}}_k^l\delta \text{ при }|\mathrm{Im}x|<h_k.$$

Применим теорему 1 к дифференциальному уравнению $\dot{x}=\mathrm{\Phi }(x)+$ $+2U_k^{\prime -1}\lambda$, используя то обстоятельство, что при достаточно малых $\delta$ $1⩽\left|2U_k^{\prime -1}\right|⩽3$. Оценка (7.6) гарантирует выполнение этого неравенства при $\epsilon =2c{h}_k^l\delta ,h=h_{k+1}$. Величина $\frac{\epsilon }{h_{k+1}^{\sigma +1}}⩽4^{\sigma +2}c\delta$ достаточно мала, если $\delta$ выбрано достаточно малым. Следовательно, существует $\lambda$, удовлетворяющее неравенству
$$|\lambda |<2\epsilon =4c{h}_k^l\delta ,$$

и преобразование координат $x=u_{k+1}(\xi )$, переводящее область $|\mathrm{Im}x|<\frac{1}{2}{h}_{k+1}$ в ${\mathfrak{D}}_{k+1}$, такие, что
$$\mathfrak{F}(\mathrm{\Phi }+2U_k^{\prime -1}\lambda ,u_{k+1})=\omega$$

или, используя (2.1), $\mathfrak{F}(f_{k+1}+{\mu }_k+2\lambda ,U_k\circ u_{k+1})=\omega$. Полагая $U_{k+1}=U_k\circ u_{k+1},{\mu }_{k+1}={\mu }_k+2\lambda$, получаем $\mathfrak{F}(f_{k+1}+{\mu }_{k+1},U_{k+1})=\omega$, т.е. доказываемое утверждение. Нам осталось проверить различные оценки. Так как преобразование $u_{k+1}$ переводит область
$$|\mathrm{Im}\xi |<\frac{1}{2}{h}_{k+1}$$

в область ${\mathfrak{D}}_{k+1}$, а преобразование $U_k$ переводит ${\mathfrak{D}}_{k+1}$ в ${\mathfrak{D}}_k$, то ясно, что преобразование $U_{k+1}=U_k\circ u_{k+1}$ переводит область (7.8) в область ${\mathfrak{D}}_k$.
Из дополнения к теореме 1 (§6) получаем
$$h^{-1}{|u_{k+1}-\xi |}_0+{|u_{k+1}-\xi |}_1⩽c\frac{{\epsilon }_k}{h_{k+1}^{\sigma +1}}⩽c\delta h_k^{\alpha },$$

где $\alpha =l-\sigma -1>0$. Следовательно, представляя преобразование $U_{k+1}$ в виде $U_{k+1}=u_1\circ u_2\circ \dots \circ u_{k+1}$ и применяя правило дифференцирования сложной функции, находим (если $\delta$ достаточно мало)
$${|U_{k+1}-\xi |}_1⩽c^{\prime }\delta \sum h_k^{\alpha }⩽c^{\prime \prime }\delta .$$

Таким образом, установлена оценка (7.4) в области (7.8). Покажем теперь, что преобразование $U_{k+1}$ отображает область ${\mathfrak{D}}_{k+2}$ в ${\mathfrak{D}}_{k+1}$. Заметим для этого, что функция $U(\xi )=U_{k+1}(\xi )$ вещественно-аналитическая, и поэтому при $\mathrm{Re}\xi =\rho$ получаем $|\mathrm{Im}U(\xi )|=|\mathrm{Im}(U(\xi )-U(\rho ))|⩽$ $⩽\left|U^{\prime }\right||\mathrm{Im}\xi |$. В силу (7.10) можно считать, что $\left|U^{\prime }\right|⩽2$ и, следовательно, $|\mathrm{Im}U(\xi )|⩽2|\mathrm{Im}\xi |<h_{k+1}$ при $|\mathrm{Im}\xi |<h_{k+2}$. Итак, $U_k$ отображает ${\mathfrak{D}}_{k+2}$ в ${\mathfrak{D}}_{k+1}$.

Наконец, ясно, что из соотношения (7.7) получается неравенство $\left({7.4}^{\prime }\right)$ для $|{\mu }_{k+1}-{\mu }_k|$. Таким образом, индукция полностью проведена.

Из неравенства (7.9) вытекает также сходимость последовательности преобразований $U_k$ при $k\to \mathrm{\infty }$ для вещественных $\xi$. Действительно, при $\xi \in D_{k+2}$ имеем $|U_{k+1}-U_k|=|U_k\circ u_{k+1}-U_k|⩽$ $⩽\left|U_k^{\prime }\right||u_{k+1}-\xi |⩽2c\delta h_k^{\alpha +1}$. Таким образом, последовательность $U_k$ сходится при вещественных $\xi$. Более того, из второй части леммы 2 следует, что предельная функция $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{U}_k=U^{\ast }$ принадлежит классу $C^{1+\alpha }=$ $=C^{l-\sigma }$, если $\alpha$ — нецелое число, и что ${|U^{\ast }-\xi |}_{1+\alpha }⩽c_1\delta$. Положив $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mu }_k={\mu }^{\ast }$, видим, что теорема 3 доказана, причем $\hat{u}=U^{\ast }-\xi$ и $\lambda =$ $={\mu }^{\ast }$.

Отметим, что этот метод применим и к случаю гамильтоновых систем. Он позволяет доказать теорему Колмогорова-Арнольда в случае, когда возмущение мало в метрике $C^l$ при $l>2+2(\tau +1)=2n+2$.