(a) Вариационная задача (1.8), как уже было упомянуто ранее, является вырожденной; заменим ее невырожденной задачей
\[
J_{\alpha}^{
u}(U)=\int_{T^{n+1}} G(x, U, \bar{D} U) d \bar{x},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
G(\bar{x}, \bar{p})=\frac{1}{2}
u a_{0}(\bar{x}) p_{n+1}^{2}+F(\bar{x}, p), \\
\bar{D}=\left(D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n+1}\right), \quad D_{
u}=\partial_{x_{
u}}+\alpha_{
u} \partial_{x_{n+1}}, \quad D_{n+1}=\partial_{x_{n+1}} .
\end{array}
\]

Если $
u>0$ и $a_{0}(\bar{x}) \geqslant 1$, то выполнено условие Лежандра
\[
\sum_{\mu, \lambda=1}^{n+1} G_{p_{\mu} p_{\lambda}} \xi_{\mu} \xi_{\lambda} \geqslant \sum_{\mu=1}^{n} \xi_{\mu}^{2}+
u \xi_{n+1}^{2} .
\]

Вариационную задачу можно использовать для построения минимумов $U=U(\bar{x},
u)$, которые зависят от $
u$. Наша цель – установить оценки для решений уравнений Эйлера
\[

u D_{n+1}\left(a_{0}(x, U) D_{n+1} U\right)-\left(\frac{
u}{2}\right) a_{0, x_{n+1}}\left(D_{n+1} U\right)^{2}+\mathfrak{L}_{\alpha}(F, U)=0,
\]

не зависящие от $
u \in(0,1]$. Хотя эта регуляризация не является действительно необходимой для последующего доказательства, она удобна и, кроме того, дает более сильный результат. Но главным образом этот

подход сводит задачу к установлению не зависящих от $
u$ оценок и отделяет ее от вопроса о существовании.

Отметим, что вариационная задача (2.1) также инвариантна относительно сдвига $x_{n+1} \rightarrow x_{n+1}+$ const, поэтому $U\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right)$ так же как и $U(\bar{x})$ является решением (2.4). С другой стороны, с точностью до этого сдвига решение уравнения (2.4), такое, что $U-x_{n+1}$ имеет период 1 по всем переменным, единственно.

Теорема 2. Если $U_{1}, U_{2}$ – решения уравнения (2.4) с $
u>0$, такие, что
\[
U_{i}(\bar{x})-x_{n+1} \in C^{2}\left(T^{n+1}\right), \quad i=1,2,
\]

то существует $\lambda^{*} \in \mathbb{R}$ такое, что
\[
U_{2}(\bar{x})=U_{1}\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right) .
\]

ДоКАЗАТЕЛьСтво. Этот результат следует из принципа максимума для уравнений эллиптического типа. Поскольку
\[
U_{1}\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right)=U_{1}(\bar{x})+\lambda, \quad \text { если } \lambda \text { целое, }
\]

то очевидно, что непрерывная функция
\[
f(\lambda)=\min _{\bar{x} \in T^{n+1}}\left(U_{1}\left(\bar{x}+\lambda e_{n+1}\right)-U_{2}(\bar{x})\right)
\]

удовлетворяет условиям $f(+\infty)=-\infty, f(-\infty)=-\infty$, и поэтому мы можем найти $\lambda^{*}$ такое, что $f\left(\lambda^{*}\right)=0$. Функция
\[
Z(\bar{x})=U_{1}\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right)-U_{2}(\bar{x}) \geqslant 0
\]

обращается в нуль и является решением дифференциального уравнения эллиптического типа, которое получается из (2.4), если взять разность между $U=U_{1}\left(\bar{x}+\lambda^{*} e_{n+1}\right)$ и $U=U_{2}(\bar{x})$. Поскольку $Z(\bar{x}) \geqslant 0$ достигает минимума, равного 0 во внутренности, отсюда следует, что $Z \equiv 0$.
(b) Свойство преобразования. Как было указано в $\S 1$, функция $V$ такая, что $V(\bar{x})-x_{n+1} \in C^{1}\left(T^{n+1}\right)$ и $\partial_{x_{n+1}} V>0$, определяет диффеоморфизм
\[
\bar{x} \rightarrow(x, V(\bar{x}))
\]

тора $T^{n+1}$ на себя. Мы используем это замечание и преобразуем $U=$ $=U(\bar{x})$ в $V(x, U(\bar{x}))$ (вместо того, чтобы преобразовывать независимые

переменные). Тогда функционал $J_{\alpha}^{
u}$ отображается в другой функционал с подынтегральной функцией $G \circ \varphi_{V}$, где
\[
\varphi_{V}:\left(x, x_{n+1}, p, p_{n+1}\right) \rightarrow\left(x, V(\bar{x}), V_{x}+V_{x_{n+1}} p, V_{x_{n+1}} p_{n+1}\right)
\]
— это продолженное отображение. Эти отображения, очевидно, образуют группу, где
\[
\varphi_{W} \circ \varphi_{V}=\varphi_{W * V}, \quad W * V=W(x, V(\bar{x})) .
\]

Единичный элемент соответствует функции $V(\bar{x})=x_{n+1}$.
Выражение Эйлера-Лагранжа для $J_{\alpha}^{
u}$ будет обозначено как
\[
\begin{aligned}
\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, U) & =\sum_{\mu=1}^{n+1} D_{\mu} G_{p_{\mu}}(x, U, \bar{D} U)-G_{u}(x, U, \bar{D} U)= \\
& =
u D_{n+1}\left(a_{0}(x, U) D_{n+1} U\right)-\left(\frac{
u}{2}\right) a_{0, x_{n+1}}\left(D_{n+1} U\right)^{2}+\mathfrak{L}_{\alpha}(F, U) .
\end{aligned}
\]

Тогда преобразование (2.5) переводит выражение Эйлера-Лагранжа
\[
\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, U) \rightarrow \overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, V * U) V_{x_{n+1}}=\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}\left(G \circ \varphi_{V}, U\right) .
\]

Это легко получить, если взять в качестве $\mathfrak{L}(G, U)$ первую вариацию функционала (2.1). Данное преобразование сохраняет класс подынтегральных функций (2.2). Оно переводит $G=G(\bar{x}, \bar{p})$ в
\[
\begin{aligned}
\widetilde{G}(\bar{x}, \bar{p})=G \circ \varphi_{V} & =\frac{1}{2}
u \widetilde{a}_{0}(\bar{x}) p_{n+1}^{2}+F \circ \varphi_{V}, \\
\widetilde{a}_{0}(\bar{x}) & =a_{0}(x, V(\bar{x})) V_{x_{n+1}}^{2} \\
\widetilde{G}_{p_{\mu} p_{\lambda}}(\bar{x}, \bar{p}) & =\left(G_{p_{\mu} p_{\lambda}} \circ \varphi_{V}\right) V_{x_{n+1}}^{2}
\end{aligned}
\]

Это преобразование можно испо.ьзовать для того, чтобы заменить приближенное решение $U^{*}$ уравнения $\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}\left(G, U^{*}\right) \sim 0$ на $U^{*}=x_{n+1}$, полагая $V=U^{*}$. Эта замена не является необходимой для последующего доказательства, однако вышеупомянутое свойство преобразования будет полезным для понимания конструкции, описанной в следующем параграфе, в частности, тождество (3.2).

(c) Из того, что функционал $J_{\alpha}^{
u}$ инвариантен относительно сдвига $x_{n+1} \rightarrow x_{n+1}+\varepsilon$, следует, что для любой функции $U$ такой, что $U-x_{n+1} \in C^{1}\left(T^{n+1}\right)$, выполнено тождество
\[
\int_{T^{n+1}} \overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, U) U_{x_{n+1}} d \bar{x}=0 .
\]

Это легко получить, дифференцируя $J_{\alpha}^{
u}$ по $\varepsilon$. Это также вытекает из равенства
\[
\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, U) U_{x_{n+1}}=\sum_{\mu=1}^{n+1} D_{\mu}\left(G_{p_{\mu}}(x, U, \bar{D} U) U_{x_{n+1}}\right)-D_{n+1} G(x, U, \bar{D} U),
\]

из которого видно, что первая часть – это дивергентное выражение. Интегрируя его, получим (2.8), используя условие периодичности $U-x_{n+1} \in C^{1}\left(T^{n+1}\right)$.
(d) Чтобы сформулировать обобщение теоремы 1 для регуляризованной вариационной задачи, мы используем пространства Соболева $H^{s}\left(T^{d}\right)$. Для гладкой функции $\varphi$ на торе $T^{d}=\mathbb{R}^{d} / \mathbb{Z}^{d}(d=n+1)$ определим с помощью представления Фурье
\[
\varphi=\sum_{j \in \mathbb{Z}^{d}} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)}
\]

норму Соболева $\|\varphi\|_{r}$ как
\[
\|\varphi\|_{r}^{2}=\sum_{j \in \mathbb{Z}^{d}}\left(1+|j|^{2}\right)^{r}\left|\widehat{\varphi}_{j}\right|^{2}, \quad|j|^{2}=\sum_{\mu=1}^{d} j_{\mu}^{2}
\]

для любого действительного $r$. Замыкание пространства $C^{\infty}\left(T^{d}\right)$ относительно этой нормы определяет пространство Соболева $H^{r}\left(T^{d}\right)$. Здесь допускаются и отрицательные нормы, в том виде, в каком их рассматривал П. Д. Лакс (P.D.Lax). Через $H_{0}^{r}$ обозначим подпространство таких $\varphi \in H^{r}$, для которых
\[
\widehat{\varphi}_{0}=\int_{T^{d}} \varphi d x=0 .
\]

Мы будем использовать стандартные свойства этих пространств, в частности, что для $s>t$ выполнено $H^{s} \subset H^{t}$ и
\[
\|\varphi\|_{t} \leqslant\|\varphi\|_{s} \quad \text { длн всех } \varphi \in H^{s} .
\]

Кроме того, вложение $H^{s} \rightarrow H^{t}$ компактно.
Одной чертой будем обозначать равномерную норму, т.е. для целых $r \geqslant 0$ мы пишем
\[
|\varphi|_{r}=|\varphi|_{C^{r}} \quad \text { для } \varphi \in C^{r}\left(T^{d}\right) .
\]

Тогда для всех $\varphi \in C^{r}\left(T^{d}\right)$ выполнено
\[
\|\varphi\|_{r} \leqslant c_{r}|\varphi|_{r} .
\]

В обратную сторону, для любых $r$ и $t>d / 2$ выполнено
\[
|\varphi|_{r} \leqslant c_{r, t}\|\varphi\|_{r+t} \quad \text { для } \varphi \in H^{r+t},
\]

это простейшее неравенство Соболева.
(е) Чтобы сформулировать наш результат о решении уравнения (2.4), мы рассмотрим функцию $G=G(\bar{x}, \bar{p},
u)$ вида (2.2), где $F \in C^{\infty}(\Omega)$ удовлетворяет условию Лежандра (1.4) с $\lambda=1$. Кроме того, мы предполагаем
\[
a_{0} \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right), \quad a_{0} \geqslant 1,
\]

так, что $G$ удовлетворяет условию Лежандра
\[
\sum_{\mu,
u=1}^{n+1} G_{p_{\mu} p_{\lambda}} \xi_{\mu} \xi_{\lambda} \geqslant
u \xi_{n+1}^{2}+\sum_{\mu=1}^{n} \xi_{\mu}^{2}
\]

для $
u>0$.
Наша цель – решить уравнения Эйлера для задачи (2.1). Пусть функция $G$ будет фиксирована. Введем функционал (2.6):
\[
\begin{aligned}
E(U)=\overline{\mathfrak{L}}_{\alpha}(G, U)= &
u D_{n+1}\left(a_{0}(x, U) D_{n+1} U\right)-\frac{
u}{2} a_{0, x_{n+1}} U_{x_{n+1}}^{2}+ \\
+ & \sum_{\mu=1}^{n} D_{\mu} F_{p_{\mu}}(x, U, D U)-F_{u}(x, U, D U)
\end{aligned}
\]

Так же как и в теореме 1 , мы предполагаем, что $U^{*}$ – это приближенное решение уравнения $E(U)=0$ при фиксированном $
u \in(0,1]$ в следующем смысле. Потребуем, чтобы для некоторого положительного целого числа $a=a(\tau, n)>d / 2+1$ и некоторой константы $M$ выполнялись соотношения
\[
\begin{aligned}
U^{*}(\bar{x})-x_{n+1} & \in H^{a}\left(T^{n+1}\right), \\
\left\|U^{*}-x_{n+1}\right\|_{a} & <M, \quad \partial_{x_{n+1}} U^{*}>M^{-1}, \\
\left(x, U^{*}(\bar{x}), D U^{*}(\bar{x})\right) & \in \Omega \quad \text { для всех } \bar{x} \in T^{n+1},
\end{aligned}
\]

и чтобы для некоторого фиксированного $
u \in(0,1]$ выражение $\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}$ было малым.

Теорема 3. Пусть $F \in C^{\infty}(\Omega), a_{0} \geqslant 1 u \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ удовлетворяет условию (1.9). Пусть $\tau \in \mathbb{Z} u \tau>\frac{1}{2}(n+1)$, положим
\[
a=9 \tau+10, \quad b=17 \tau+19 .
\]

Тогда для заданных $\varepsilon>0, M>0$ существует положительное число $\delta$, зависящее от $n, \tau, \gamma, \varepsilon, M$ и от верхних грании для $|\alpha|$, для $|F|_{C^{b}(\Omega)}$, $\left|a_{0}\right|_{C^{b}}$ такое, что выполнено следующее свойство: если для некоторого $
u \in(0,1]$ найдется приближенное решение, удовлетворяющее (2.13) и
\[
\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}<\delta,
\]

то найдется и точное решение $U$ уравнения $E(U)=0$ такое, что $U-x_{n+1} \in C^{\infty}$,
\[
\left\|U-U^{*}\right\|_{5 \tau+6}<\varepsilon, \quad\left\|U-x_{n+1}\right\|_{r}<C_{r}
\]

для всех целых $r \geqslant 1$, где константы $C_{r}$ зависят только от $F, a_{0}$, но не зависят от $
u$.

Для $
u>0$ уравнение $E(U)=0$ – это дифференциальное уравнение в частных производных эллиптического типа, для которого имеется теория о глобальном существовании решений. Смысл этой теоремы в том, что оценки $(2.14),(2.15)$ не зависят от выбора $
u$ и поэтому приводят к решению вырожденного уравнения для $
u=0$. Фактически здесь мы получаем теорему 1 , как следствие из теоремы 3.

Пусть $U^{*}$ – это приближенное решение в смысле (1.10), (1.11). Тогда условия (2.13) выполнены и
\[
\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau} \leqslant \delta+
u c,
\]

где константа $c$ зависит от $M$, поскольку $\tau+2<a$. Таким образом, мы имеем
\[
\left\|E\left(U^{*}\right)\right\|_{\tau}<2 \delta \quad \text { при } 0<
u<c^{-1} \delta,
\]
т. е. приближенное решение с $2 \delta$ вместо $\delta$. По теореме 3 существует такое решение $U=U(x,
u)$ уравнения $E(U)=0$ для всех $
u \in\left(0, c^{-1} \delta\right)$, удовлетворяющих (2.15). По теореме 2 эти решения единственны с точностью до фазового сдвига, который можно нормировать условием
\[
\int_{T^{n+1}}\left(U(\bar{x})-x_{n+1}\right) d x=0 .
\]

При $
u \rightarrow 0$ мы получим решение уравнения $\mathfrak{L}(F, U)=0$ такое, что $U-x_{n+1} \in C^{\infty}\left(T^{n+1}\right)$. Кроме того: поскольку $5 \tau+6>d / 2+2$, мы выводим из (2.15) и (2.10), что $\left|U-U^{*}\right|_{C^{2}}<c \varepsilon$. Мы можем полагать, что $\varepsilon$ выбрано столь малым, что $(x, U(\bar{x}), D U(\bar{x})) \in \Omega$. Таким образом, заменив $c \varepsilon$ на $\varepsilon$, мы увидим, что теорема 1 следует из теоремы 3 .
(f) Мы обратимся к доказательству теоремы 3 в следующих двух параграфах, но прежде приведем некоторые стандартные оценки для соболевских норм, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Норма Соболева $\|\varphi\|_{r}$, определенная выше, является логарифмически выпуклой функцией по $r$. Для всякой функции $\varphi \in H^{m}$ и $r<s \leqslant m$ выполнено
\[
\|\varphi\|_{\lambda r+(1-\lambda) s} \leqslant\|\varphi\|_{r}^{\lambda}\|\varphi\|_{s}^{1-\lambda} \quad \text { при } \lambda \in(0,1) .
\]

Иногда предпочтительнее записывать это нелинейное равенство в эквивалентной линейной форме. Поскольку для всех положительных чисел $\varepsilon, u, v$ выполнено
\[
u^{\lambda} v^{1-\lambda} \leqslant \varepsilon^{-(1-\lambda) / \lambda} u+\varepsilon v,
\]

то из неравенства (2.16) следует, что
\[
\|\varphi\|_{\lambda r+(1-\lambda) s} \leqslant \varepsilon^{-(1-\lambda) / \lambda}\|\varphi\|_{r}+\varepsilon\|\varphi\|_{s}
\]

для всех $\varepsilon>0$. Действительно, это соотношение с точностью до константы эквивалентно (2.16). Если мы положим $t=\lambda r+(1-\lambda) s \in(r, s)$, это неравенство примет вид
\[
\|\varphi\|_{t} \leqslant \varepsilon^{-(t-r) /(s-t)}\|\varphi\|_{r}+\varepsilon\|\varphi\|_{s}, \quad r<t<s
\]

для всех $\varepsilon>0, \varphi \in H^{s}$.
Для нелинейных операций нам необходимы следующие оценки. Если $\varphi, \psi \in H^{r} \cap C^{0}, r$ – положительное целое число, то существует константа $c_{r}$ такая, что выполнено
\[
\|\varphi \psi\|_{r} \leqslant c_{r}\left(|\varphi|_{0}\|\psi\|_{r}+|\psi|_{0}\|\varphi\|_{r}\right) .
\]

Это неравенство можно получить из оценок
\[
\left(\int_{T^{d}}\left|\partial^{p} \varphi\right|^{2 r / p} d x\right)^{p /(2 r)} \leqslant c_{r}|\varphi|_{0}^{(1-p) / r}\|\varphi\| r^{p / r}
\]

для всех производных $\partial^{\rho}$ порядка $|\rho| \leqslant r$. Это частный случай неравенства Гальярдо (Gagliardo) и Ниренберга (Nirenberg), см [4] и [18].
Объединяя (2.18) и (2.10), мы получим для $t>d / 2$
\[
\|\varphi \psi\|_{r} \leqslant c_{t, r}\left(\|\varphi\|_{t}\|\psi\|_{r}+\|\psi\|_{t}\|\varphi\|_{r}\right)
\]

и для $r=t>d / 2$
\[
\|\varphi \psi\|_{t} \leqslant c_{t}\|\varphi\|_{t}\|\psi\|_{t}, \quad \varphi, \psi \in H^{t} .
\]

Поэтому для $t>d / 2$ пространство $H^{t}$ – банахова алгебра, ее иногда называют кольцом Шаудера.

Между прочим, применяя (2.20) к степеням $\varphi^{p}$ с $p=2^{j}$, мы выводим
\[
\left\|\varphi^{p}\right\|_{0} \leqslant\left\|\varphi^{p}\right\|_{t} \leqslant c_{t}^{p}\|\varphi\|_{t}^{p},
\]

откуда следует, что при $t>d / 2$
\[
\sup |\varphi|=\lim _{p \rightarrow \infty}\left\|\varphi^{p}\right\|_{0}^{1 / p} \leqslant c_{t}\|\varphi\|_{t},
\]

это приводит нас обратно к неравенству (2.10).

Для отрицательных форм имеет место неравенство
\[
\|\varphi \psi\|_{-t} \leqslant c_{t}\|\varphi\|_{-t}\|\psi\|_{t}
\]

для $\varphi \in H^{-t}, \psi \in H^{t}, t>d / 2$. Это следует из определения отрицательной нормы
\[
\|\varphi\|_{-t}=\sup _{\|\zeta\|_{t} \leqslant 1}(\varphi, \zeta)
\]

здесь (,) означает продолжение внутреннего произведения в $H^{0}$. Действительно, в силу (2.20) мы имеем для всех $\zeta \in H^{t}$
\[
|(\varphi \psi, \zeta)|=|(\varphi, \psi \zeta)| \leqslant\|\varphi\|_{-t}\|\psi \zeta\|_{t} \leqslant\|\varphi\|_{-t} c_{t}\|\psi\|_{t}\|\zeta\|_{t},
\]

что доказывает (2.21).
Наконец, нам необходима оценка для композиции функций. Предположим, что
\[
f \in C^{r}\left(T^{d} \times \Omega\right), \quad \varphi \in C^{0}\left(T^{n}, \Omega\right) \cap H^{r}\left(T^{n}\right),
\]
$\Omega$ ограничено. Тогда композиция $f(x, \varphi(x))$ принадлежит $H^{r}$ и для целых $r \geqslant 0$ выполнено неравенство
\[
\|f(x, \varphi)\|_{r} \leqslant c_{r}|f|_{C^{r}}\left(1+\|\varphi\|_{r}\right),
\]

здесь константа $c_{r}$ зависит от $r$ и от диаметра $\Omega$. Заметим, что здесь неявно подразумевается, что $|\varphi|_{0}$ ограничена диаметром $\Omega$. Это неравенство следует из (2.19) (см. [15]).
Для $t>d / 2, \varphi, \psi \in H^{t}$ и $f=f(x, y) \in C^{t+1}$ мы имеем неравенство
\[
\|f(x, \varphi)-f(x, \psi)\|_{t} \leqslant c_{t}|f|_{C^{t+1}}\left(1+\|\varphi\|_{t}+\|\psi\| \|_{t}\right)\|\varphi-\psi\|_{t} .
\]

Это следует из
\[
\begin{aligned}
f(x, \varphi)-f(x, \psi)=\int_{0}^{1} \frac{d}{d \lambda} f(x, & \varphi+\lambda(\psi-\varphi)) d \lambda= \\
= & \int_{0}^{1} f_{y}(x, \varphi+\lambda(\psi-\varphi)) d \lambda \cdot(\psi-\varphi),
\end{aligned}
\]

и из (2.20):
\[
\|f(x, \varphi)-f(x, \psi)\|_{t} a u \leqslant \sup _{\lambda \in[0,1]}\left\|f_{y}(x, \varphi+\lambda(\psi-\varphi))\right\|_{t}\|\psi-\varphi\|_{t} .
\]

Используя (2.22), мы получаем (2.23).
Нам также понадобятся простые свойства аппроксимации функции $\varphi$ тригонометрическими полиномами. Для $N \geqslant 0$ и $\varphi \in \bigcup_{r} H^{r}$ положим
\[
S_{N} \varphi=\sum_{|j| \leqslant N} \widehat{\varphi}_{j} e^{2 \pi i(j, x)} \in \bigcap_{r} H^{r}=H^{\infty} .
\]

Тогда, очевидно выполнены неравенства
\[
\begin{aligned}
\left\|S_{N} \varphi\right\|_{s} & \leqslant\left(1+N^{2}\right)^{t / 2} \|\left.\varphi\right|_{r}, \quad t=\max (s-r, 0), \\
\left\|\left(I-S_{N}\right) \varphi\right\|_{r} & \leqslant\left(1+N^{2}\right)^{-(s-r) / 2}\|\varphi\|_{s} \quad \text { при } r<s
\end{aligned}
\]

для всех $\varphi \in H^{\infty}\left(T^{d}\right)=C^{\infty}\left(T^{d}\right)$.