1. Доказательство теоремы 1 получено пока только для случая $\alpha(r)=r$ и $s=1$. В этом параграфе мы покажем, что случай функции $\alpha(r)$ общего вида может быть сведен к обсуждавшемуся случаю. Кроме того, мы укажем, как видоизменить доказательство, чтобы получить $s(s>1)$ раз дифференцируемую кривую.
Пусть
\[
\left\{\begin{array}{l}
\theta_{1}=\theta+\alpha(r)+F(r, \theta), \\
r_{1}=r+G(r, \theta),
\end{array} \quad a \leqslant r \leqslant b,\right.
\]

есть данное отображение. Введем новые независимые переменные
\[
x=\theta, \quad y=\alpha(r), \quad \alpha(a) \leqslant y \leqslant \alpha(b) .
\]

Согласно предположениям (1.6), (1.7′), это преобразование взаимно однозначно и имеет $l$ производных с заданными оценками. Далее, отображение $(*)$ имеет вид (2.1), причем
\[
f(x, y)=F(r, \theta), \quad g(x, y)=\alpha(r+G(r, \theta))-\alpha(r),
\]

откуда видно, что условия (2.2), (2.2′) выполнены для некоторого $c_{0}$. Оценка для ширины кольца дается неравенством $\alpha(b)-\alpha(a) \geqslant c_{0}^{-1}$.
2. Дифференцируемость инвариантной кривой более высокого порядка можно получить, увеличивая $l$. Для этой цели нужно видоизменить выбор параметров $\chi,
u, l$ в (2.4) и соотношение, связывающее $\delta$ и $M$. Укажем необходимые изменения: пусть $s \geqslant 1$ есть желаемое число непрерывных производных кривой; тогда мы заменим (2.4) на
\[
\chi=1+\frac{1}{2 s+1}, \quad
u=6(\sigma+1), \quad l=2 s+1+4(s+2)
u
\]

и (2.5) на
\[
\delta=M^{-(s+1) \chi} .
\]

Доказательство в $\S 4$ теперь может быть проведено тем же способом, что и раньше, но со следующими изменениями: в п. 3 вместо формулы (4.9) получим
\[
\begin{aligned}
|\varphi|_{0}+|\psi|_{0} & \leqslant c_{8}\left(N^{2 \sigma+1}\left(M^{-s-2}+M^{-2 s-1}\right)+N_{-}^{1+(1-\chi) l}\right) \leqslant \\
& \leqslant 2 c_{8}\left(N^{2 \sigma+1} M^{-s-2}+N_{-}^{1+(1-\chi) l}\right) .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы правую часть сделать меньше, чем $M^{-\chi(s+1)}$, нужно выбрать $
u, l$ столь большими, чтобы
\[
s+2>\chi(s+1)+\frac{2 \sigma+1}{
u}
\]

и
\[
(\chi-1) l>1+2 \chi^{2}
u
\]

Оба этих соотношения следуют из (5.1).
Вследствие сделанного выбора $\delta$ в (5.2) можно заменить (4.8) на
\[
|u|_{s}+|v|_{s} \leqslant \frac{1}{N}
\]

что позволяет доказать равномерную сходимость $s$-й производной отображения (2.14) и, следовательно, непрерывность $s$-й производной предельной кривой.

3. Малые кручения. Для исследования устойчивости неподвижных точек отображений важно иметь обобщение теоремы 1 для случаев, в которых угол вращения в отображении кручения (1.1) изменяется только в малом интервале. Мы рассмотрим здесь такое обобщение.
С этой целью введем параметр $\gamma$ в полуинтервале
\[
0<\gamma \leqslant 1
\]

и запишем отображение (1.2) в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\theta_{1}=\theta+\gamma(\alpha(r)+F(r, \theta)), \\
r_{1}=r+\gamma G(r, \theta),
\end{array}\right.
\]

где $r$ изменяется в пределах $a \leqslant r \leqslant b, b-a \geqslant 1$.
Теорема 3. В предположениях (1.4), (1.5), (1.5′) утверждение теоремы 1 остается справедливым, ес.и заменить (1.8) на
\[
\theta_{1}^{\prime}=\theta^{\prime}+\gamma \alpha\left(r_{0}\right)
\]

Число $\delta_{0}=\delta_{0}\left(c_{0}, \varepsilon, s\right)$ может быть выбрано независимо от $\gamma$.
Заметим, что в этой форме невозмущенное отображение (5.3) имеет вид
\[
\theta_{1}=\theta+\gamma \alpha(r), \quad r_{1}=r
\]

угол вращения $\gamma \alpha(r)$ изменяется в интервале $(\gamma \alpha(a), \gamma \alpha(b))$, который будет мал при малых значениях $\gamma$.

Для этого случая не ясно, существует ли в таком малом интервале число $\omega$, удовлетворяющее (1.10). Поэтому мы видоизменяем (1.9) и (1.10):
\[
\begin{array}{c}
\alpha(a)+\varepsilon<\frac{\omega}{\gamma}<\alpha(b)-\varepsilon, \\
|n \omega-2 \pi m| \geqslant \gamma \varepsilon n^{-3 / 2} .
\end{array}
\]

Тогда плотность множества допустимых $\omega$ будет близка к 1 .
Изложенное ранее (в §4) доказательство может быть проведено для случая малых кручений так же, как и ваше, если параметру $\gamma$ придавать подходящие значения. Стоит отметить, что, если принять во

внимание (5.5), формула (3.2) должна быть видоизменена следующим образом:
\[
|\gamma L h|_{0} \leqslant \frac{c}{\varepsilon}|h|_{\tau} .
\]

С другой стороны, формула (4.6) должна быть заменена формулой
\[
\left\{\begin{array}{l}
u=(\gamma L)^{2} T g+\gamma L T f, \\
v=\gamma L T g-[T f]
\end{array}\right.
\]

откуда видно, что понадобятся оценки только на $\gamma L$. Остальные детали достаточно просты.