Для полноты приведем доказательство $\left(2.8^{\prime}\right),\left(2.8^{\prime \prime}\right)$, которое обычно дается лишь в случае, когда функция $\tau_{
u}(s)$ определена для всех вещественных $s$ и непрерывна.

Опуская индекс $
u$, запишем $\tau(s)=\tau_{
u}(s)$ и предположим, что $\tau(s)$ определена на счетном множестве $S$,
\[
\begin{array}{c}
\tau(s) \in S \quad \text { для } \quad s \in S, \quad \tau(s+1)=\tau(s)+1 \\
\text { и } \tau(s)<\tau\left(s^{\prime}\right) \quad \text { для } \quad s<s^{\prime}, \quad s, s^{\prime} \in S .
\end{array}
\]

Тогда $\tau(s)-s$ имеет период 1 и
a) $\left|\tau(s)-s-\tau\left(s^{\prime}\right)+s^{\prime}\right|<1$ для всех $s, s^{\prime} \in S$.

Действительно, в противном случае, благодаря периодичности находим
\[
s_{1}, s_{2} \in S \quad \text { где } \quad s_{1}<s_{2}<s_{1}+1 \quad \text { и } \quad \tau\left(s_{2}\right)-s_{2} \geqslant \tau\left(s_{1}\right)-s_{1}+1 .
\]

Правая часть равна $\tau\left(s_{1}+1\right)-s_{1}>\tau\left(s_{2}\right)-s_{1}$, что дает $-s_{2}>-s_{1}$, это противоречие.
То же неравенство выполняется для $\tau^{m}$. Положим
\[
a_{m}=\inf _{s \in S}\left(\tau^{m}(s)-s\right) ; \quad b_{m}=\sup _{s \in S}\left(\tau^{m}(s)-s\right),
\]

так что $0 \leqslant b_{m}-a_{m} \leqslant 1$ ввиду a), и
b) $a_{m} \leqslant \tau^{m}(s)-s \leqslant b_{m}$.
Поскольку
\[
\tau^{m p}(s)-s=\sum_{
u=1}^{p}\left(\tau^{m
u}(s)-\tau^{m(
u-1)}(s)\right)
\]

для всех натуральных чисел $m, p$, получим
c) $p a_{m} \leqslant a_{m p} \leqslant \tau^{m p}(s)-s \leqslant b_{m p} \leqslant p b_{m}$.
Меняя местами $m$ и $p$, получим также $b_{m p} \leqslant m b_{p}$, следовательно,
\[
\frac{a_{m}}{m} \leqslant \frac{b_{p}}{p} .
\]

При $a_{p} \geqslant b_{p}-1$ это влечет
\[
\frac{a_{m}}{m}-\frac{a_{p}}{p} \leqslant \frac{a_{m}}{m}-\frac{b_{p}-1}{p} \leqslant \frac{1}{p},
\]

следовательно
\[
\left|\frac{a_{m}}{m}-\frac{a_{p}}{p}\right| \leqslant \max \left(\frac{1}{p}, \frac{1}{m}\right) .
\]

Таким образом, $\frac{a_{m}}{m}$ сходится к числу, например к $\alpha$, и поскольку $0 \leqslant b_{m}-a_{m} \leqslant 1$, то и $\frac{b_{m}}{m}$ сходится к $\alpha$. Ввиду b) $\tau^{m}(s) / m$ также сходится к $\alpha$ для всех $s \in S$, что доказывает (2.8′).
Теперь, примененяя с) при $m=1$, получим
\[
a_{1} \leqslant \frac{\tau^{p}(s)-s}{p} \leqslant b_{1} .
\]

Для $p \rightarrow \infty$ получаем $a_{1} \leqslant \alpha \leqslant b_{1}$. Это означает, что оба числа $\tau(s)-s$ и $\alpha$ лежат в интервале $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ длиной $\leqslant 1$, следовательно,
\[
|\tau(s)-s-\alpha| \leqslant 1 \quad \text { для всех } \quad s \in S,
\]

что доказывает ( $\left.2.8^{\prime \prime}\right)$.
Применим эти неравенства к $\tau_{1}^{k_{1}} \cdot \tau_{2}^{k_{2}} \ldots \tau_{n}^{k_{n}}=\tau^{k}$ и получим
\[
\left|\tau^{k}(s)-s-\alpha(k)\right| \leqslant 1 \quad \text { для всех } \quad s \in S,
\]

где
\[
\alpha(k)=k_{1} \alpha_{1}+\ldots+k_{n} \alpha_{n}, \quad \alpha_{
u}=\alpha\left(e_{
u}\right) .
\]