В этих лекциях мы рассмотрим ряд задач, связанных с нелинейными дифференциальными уравнениями и с построением их решений. Существует несколько методов, которые позволяют преодолевать трудности, встречающиеся в нелинейном функциональном анализе. Отметим среди этих методов итерационные методы, основанные на принципе сжатия, которые можно рассматривать как обобщение «regula falsi» на случай банаховых пространств и методы, идущие от теорем Лере и Шаудера о неподвижной точке. Шаудер применил свой метод к изучению квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений и установил существование решений «в малом» [1].

В работах Шаудера для применимости метода существенно выполнение некоторых тонких априорных оценок для решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Не останавливаясь подробно на этих оценках, отметим только, что имеются в виду среднеквадратичные оценки, которые весьма важны также при установлении существования слабых решений гиперболических уравнений [2]. Известны задачи, которые уже долгое время не поддаются решению такими методами.

В качестве первого примера интересующих нас задач отметим проблему вложения. Можно ли данное риманово многообразие класса $C^{\infty}$ изометрично реализовать как подмногообразие конечномерного евклидова пространства. Проблема вложения была решена Дж. Нэшем, применившим весьма остроумные методы [3]. Эта задача без труда сводится к некоторой системе дифференциальных уравнений в частных

производных, которую, однако, невозможно исследовать известными ранее методами. Эти дифференциальные уравнения не являются ни гиперболическими, ни эллиптическими и вообще не принадлежат ни к одному из типов уравнений, для которых построена сколько-нибудь содержательная теория. Напротив, эта система весьма вырожденная и ее решение не единственно. Метод Нэша был сформулирован в форме абстрактной теоремы о неявной функции Дж. Шварцем [4]. Упомянем также работу [5] и приложение этих идей в работе [6].

Второй пример, который мы рассмотрим, связан с проблемой устойчивости движения в небесной механике, а точнее, с проблемой нахождения условно-периодических движений в задаче трех или более тел. Эта проблема известна в течение нескольких столетий и связана с так называемыми трудностями малых знаменателей. Первые шаги к преодолению этих трудностей сде.ал К.Л.Зигель [7], [8]. Однако его результаты не могут быть использованы для получения конкретных результатов о дифференциальных уравнениях небесной механики.

В 1954 г. А.Н.Колмогоров (см. [9], [10]) анонсировал некоторые новые теоремы о системах дифференциальных уравнений Гамильтона, а в последующие годы В.И.Арнольд [13] опубликовал доказательства этих теорем и получил замечательные приложения к проблеме $n$ тел [12]. Соответствующую задачу также можно свести к исследованию системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая ранее не поддавалась изучению, несмотря на ряд предпринятых серьезных попыток.

Было бы трудно подробнее охарактеризовать здесь каждую из этих двух проблем.

Оказывается, однако, что оба результата могут быть получены, по существу, одним и тем же методом (хотя первоначальный подход Нэша представляется иным). Поэтому мы собираемся изложить сначала идеи этого метода, оставляя в стороне конкретные проблемы, о которых говорилось выше, и применить его к более простой задаче, а именно к нелинейной теории положительных симметричных систем уравнений в частных производных ${ }^{1}$, которые в линейном случае были введены К.О.Фридрихсом в [14]. Вполне возможно, что существует другой подход для изучения этих уравнений, но мы используем эти

уравнения в первую очередь для иллюстрации нашего метода. Полученные результаты будут применены к изучению инвариантных многообразий векторных полей, рассматривавшихся Н.Н.Боголюбовым и Ю.А.Митропольским [15], Дилиберто [16] и Кайнером $[18]^{1}$. Совсем недавно новое приложение этого метода было найдено П. Рабиновичем в его диссертации, защищенной в 1966 г. в Нью-йоркском университете. Он установил существование периодического решения у гиперболических дифференциальных уравнений второго порядка, содержащих нелинейные члены высших порядков.

Последняя глава содержит обсуждение результатов А.Н.Колмогорова и В.И.Арнольда, относящихся к небесной механике. Доказательства даются только для упрощенного варианта задачи ${ }^{2}$.
Глава 1. Приближенные решения
В этой главе мы покажем, как построить решение нелинейной задачи с помощью итерационного процесса, в котором на каждом шагу строятся приближенные решения некоторого линейного уравнения. Ряд методов нахождения таких приближенных решений линейных уравнений будет рассмотрен в следующей главе.

Мы хотим подчеркнуть, что длн выяснения сходимости процесса предпочтительнее работать с приближенным, а не с точным решением линеаризованных уравнений. Дело в том, что полезно сохранять высокий порядок гладкости у приближенного решения. Оказывается, что естественный итерационный процесс может разойтись, если на каждом шагу рассматривать точные решения линейных уравнений.

Цель настоящей главы состоит в том, чтобы точно сформулировать эти идеи и дать определения приближенных решений линейных и нелинейных задач. Хотя эти понятия применяются в весьма разнообразных ситуациях, здесь мы ограничимся простейшим случаем векторных функций на торе и квадратичных интегральных норм.