Заменим предложенную выше вариационную задачу следующей:
\[
I_{
u}^{\alpha}(u)=\int_{0}^{1}\left(\frac{
u}{2} u_{\theta}^{2}+h\left(u, u^{+}\right)\right) d \theta ; \quad u_{\theta}=\frac{\partial u}{\partial \theta},
\]
добавляя искусственную «вязкость» с $
u>0$. Найдем минимум для этого функционала в классе $X$ функций $u$, для которых $\widehat{u}(\theta)=u(\theta)-\theta$ принадлежит пространству Соболева $H^{1}\left(S^{1}\right)$, то есть $\widehat{u}$ должно иметь период 1 , и его первая производная принадлежит $L^{2}[0,1]$. Монотонность не обязательна. Для $h$ мы должны потребовать выполнения условия (2), а также ограниченности снизу и гладкости.
Основные результаты содержатся в следующих утверждениях:
(I) Для $
u>0$ функционал $I_{
u}^{\alpha}$ достигает минимума в $X$ и каждая точка минимума $u$ для $I_{
u}^{\alpha}$ принадлежит $C^{\infty}$, то есть $u-\theta \in C^{\infty}\left(S^{1}\right)$. Кроме того, каждое минимальное $u$ удовлетворяет уравнению Эйлера
\[
—
u u_{\theta \theta}+h_{1}\left(u, u^{+}\right)+h_{2}\left(u^{-}, u\right)=0,
\]
где $u^{ \pm}-(\theta)=u(\theta \pm \alpha)$.
Каждое решение $u=u(\theta)$ уравнения (11) с граничным условием
\[
u(\theta+1)=u(\theta)+1
\]
соответствует экстремуму $I_{
u}^{\alpha}$ в $X$. Дальнейшие рассуждения показывают, что для фиксированного $
u>0$ этот функционал в $X$ имеет минимум в качестве единственного экстремума, а соответствующее минимальное $u-u(\theta)$ является единственным с точностью до сдвигов $\theta \rightarrow \theta+$ const. Этот вывод будет сделан из следующих утверждений, которые являются простыми следствиями принципа максимума.
(II) Если $u_{1}, u_{2} \in C^{2}(\mathbb{R})$ — произвольные два решения уравнения (11) для $
u>0$, удовлетворяющие условию $u_{1} \leqslant u_{2}$, то либо $u_{1} \equiv u_{2}$, либо $u_{1}<u_{2}$.
(III) Если $u_{1}, u_{2} \in C^{2}(\mathbb{R})$ — любые два решения уравнения (11), при $
u>0$ удовлетворяющие условию (12), то существует такая постоянная $c$, что
\[
u_{2}(\theta)=u_{1}(\theta+c),
\]
то есть эти решения единственны с точностью до сдвига $\theta \rightarrow \theta+$ const.
Из этого делаем вывод, что для $
u>0$ единственный экстремум от $I_{
u}^{\alpha}$ является минимумом, существование которого утверждается B (I).
(IV) Любое решение $u \in C^{2}(\mathbb{R})$ уравнений (11) и (12) строго монотонно и удовлетворяет условию $u_{\theta}>0$.
Эти результаты выполняются при $
u>0$. Для того чтобы изучить предел $
u \rightarrow 0$ можно нормировать минимум условием $u(0)=0$ и обозначить эту единственную функцию как $u=u(\theta ; \alpha,
u)$.
(V) Существует последовательность $
u_{k}>0,
u_{k} \rightarrow 0$ такая, что $u_{k}(\theta)=u\left(\theta ; \alpha,
u_{k}\right)$ почти повсюду сходится к монотонной функции $u_{*}(\theta)$, которая во всех точках непрерывности удовлетворяет условию
\[
h_{1}\left(u_{*}, u_{*}^{+}\right)+h_{2}\left(u_{*}^{-}, u_{*}\right)=0, \quad u_{*}(\theta+1)=u_{*}(\theta)+1 .
\]
Эта функция $u_{*}$ может иметь счетное количество разрывов, что приводит к дырам в множестве Мезера. Эта функция аппроксимируется гладкими функциями $u_{k}$.
Можно использовать эту гладкую функцию $u(\theta ; \alpha,
u)$, чтобы построить для каждого $\alpha$ гладкую кривую
\[
y=w(x ; \alpha,
u),
\]
приближающую множество Мезера. Для $
u>0$ эти кривые также гладко зависят от $\alpha$, и можно было бы ожидать, что при фиксированном $
u>0$ получается семейство кривых, просто покрывающих цилиндр. Это потребовало бы монотонной зависимости $w=w(\theta ; \alpha,
u)$ от $\alpha$ так, чтобы кривые, соответствующие различным значениям $\alpha$, не пересекались. Мы надеялись, что это будет выполнено, но доказать монотонность $w$ по $\alpha$ мы не можем.
