Если система дифференциальных уравнений квазилинейна, т. е. если $F_{k}(x, u, p)$ – линейные функции от аргументов $p$, можно построить итерационный метод, при котором не происходит потери производных.

Это означает, что приближения остаются внутри фиксированной сферы $\|u\|_{l}<K$, в то время как в предыдущих конструкциях высшие производные могли стремиться к бесконечности. Конструкция, которую мы здесь опишем, – извлечение из работы Шаудера по гиперболическим дифференциальным уравнениям [1]. На самом деле мы в конечном счете используем замечательную теорему Лере-Шаудера о неподвижной точке для случая отображения шара $\|u\|_{l} \leqslant K$ в себя. Однако подход Шаудера можно превратить в некоторый итерационный процесс, который мы и опишем ниже. Шаудер применил свой метод к квазилинейным дифференциальным уравнениям и отметил, что общий нелинейный случай недоступен для исследования его методами. По-видимому, изложенные выше результаты для этого общего случая получены впервые. Было бы интересно применить эти методы также и в случае гиперболических уравнений, который не исследован до конца.
Предположим, что функции $F_{k}(x, u, p)$ линейны по $p$, т.е.
\[
F(x, u, p)=a(x, u) p+b(x, u) .
\]

Пусть приближенные решения $u_{0}=0, u_{1}, \ldots, u_{s}=u$ уже построены. Следующее приближение имеет вид $u_{s+1}=U=u+v$, где $v$ – решение уравнения
\[
F_{p}(x, u, p) v_{x}+F_{u}(x, 0,0) v+F(x, u, p)=0 .
\]

Первый член соответствует линеаризации при $u=u_{s}$, а второй – линеаризации при $u_{0}=0$. Наш метод является чем-то средним между методами Пикара и Ньютона. Чтобы показать, что эта конструкция позволяет избежать уменьшения числа производных, запишем уравнение (6.2) через $U=u+v$. Мы используем, что в квазилинейном случае выражение $F(x, u, p)-F_{p}(x, u, p) u_{x}-F_{u}(x, 0,0) u=b(x, u)-$ $-b_{u}(x, 0,0) u=g(x, u)$ не зависит от $u_{x}$. Прибавляя это выражение к (6.2), находим
\[
F_{p}(x, u, p) U_{x}+F_{u}(x, 0,0) U+g(x, u)=0 .
\]

Из этого уравнения следует, что если $u$ имеет производные с интегрируемым квадратом порядка $l$, то априорные оценки, которые по предположению выполняются, гарантируют наличие производных с интегрируемым квадратом порядка $l$ у $u_{s+1}$. В самом деле, если $s$ выбрано

достаточно большим, из (6.3) для $U=u_{s+1}$ можно получить неравенство $\|U\|_{l}<K$.

Итерационный процесс, задаваемый уравнением (6.2), сходится линейно, так как член $F_{u}(x, 0,0) v$ содержит линейную ошибку относительно $v$. Замечательно, что, повысив точность и заменив этот член на $F_{u}(x, u, p) v$, мы получим такое уравнение для $U=u+v$
\[
F_{p}(x, u, p) U_{x}+F_{u}(x, u, p) U+g(x, u)-a_{u} u_{x} u=0,
\]

которое ведет к потере производных, так как правая часть содержит $u_{x}$. Следовательно, приближения, которые строятся с помощью уравнения (6.2), менее точны, но позволяют сохранить гладкость ${ }^{1}$. Я не знаю конструкции для общего нелинейного случая, аналогичной (6.2), которая позволяла бы избежать потери производных.