Задача, которая обсуждалась в § 1 , состоит в нахождении отображения $u$, для которого $f \circ u=u \circ \Phi$ или $u^{-1} \circ f \circ u=\Phi$, где $\Phi(\zeta)=$ $=\lambda \zeta$. Значок о обозначает суперпозицию отображений. Введем оператор $\mathfrak{F}(f, u)=u^{-1} \circ f \circ u$. Заметим, что этот оператор удовлетворяет следующим соотношениям:
\[
\mathfrak{F}(f, u \circ v)=\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(f, u), v), \quad \mathfrak{F}(f, I)=f,
\]

если $I$ – тождественное отображение.
Второй аргумент $u$ оператора $\mathfrak{F}(f, u)$ можно рассматривать как элемент некоторой группы преобразований окрестности начала координат ${ }^{1}$. В нашем случае мы имеем дело с конформными отображениями $\zeta \rightarrow u(\zeta)$, для которых $u(0)=0, u^{\prime}(0)=1$. Наша задача состоит в решении относительно $u$ уравненин
\[
\mathfrak{F}(f, u)=\Phi
\]

с заданными функциями $f=\lambda z+\ldots$ и $\Phi=\lambda \zeta$.
Опишем некоторый итерационный процесс для построения решения, который быстро сходится, по крайней мере с формальной точки зрения. Детальные оценки будут проведены в $\S 3$. Примем $u_{0}=I$ и предположим, что приближения $u_{1}, \ldots, u_{n}$ уже построены. Положим тогда
\[
u_{n+1}=u_{n} \circ v,
\]

где $v=I+\widehat{v}$ таково, что функциональное уравнение
\[
\mathfrak{F}\left(f, u_{n} \circ v\right)=\Phi
\]

выполнено для членов, линейных относительно $\widehat{v}$ и $\mathfrak{F}\left(f, u_{n}\right)-\Phi$. Более точно, положим $f_{n}=\mathfrak{F}\left(f, u_{n}\right)$, так что $f_{n}-\Phi$ уже достаточно мало. Согласно (2.1), уравнение (2.4) можно переписать в виде
\[
\mathfrak{F}\left(f_{n}, v\right)=\Phi .
\]

Формально разложим $\mathfrak{F}(f, u)$ в ряд в точке $(\Phi, I)$ и заменим левую часть уравнения (2.5) линейными членами этого разложения. Получим
\[
\mathfrak{F}(\Phi, I)+\mathfrak{F}_{f}(\Phi, I)\left(f_{n}-\Phi\right)+\mathfrak{F}_{u}(\Phi, I) \widehat{v}=\Phi .
\]

Из (2.1) следует, что $\mathfrak{F}(\Phi, I)=\Phi$ и что
\[
\mathfrak{F}_{f}(\Phi, I) g=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}(\mathfrak{F}(\Phi+\varepsilon g, I)-\mathfrak{F}(\Phi, I))=g .
\]

Поэтому предыдущее уравнение можно записать в виде
\[
\left(f_{n}-\Phi\right)+\mathfrak{F}_{u}(\Phi, I) \widehat{v}=0
\]

или
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I) \widehat{v}=\Phi-f_{n} .
\]

Здесь мы просто изменили обозначение $\mathfrak{F}_{u}$ на $\mathfrak{F}^{\prime}$ :
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I) \widehat{v}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}(\mathfrak{F}(\Phi, I+\varepsilon \widehat{v})-\mathfrak{F}(\Phi, I)) .
\]

Следовательно, если уравнение (2.6) разрешимо относительно $\widehat{v}$, то это уравнение вместе с уравнением (2.3) определяет следующее приближение $u_{n+1}$. По крайней мере с формальной точки зрения, этот процесс сходится квадратично: если ошибка $f_{n}-\Phi$ имеет в некоторой норме порядок $\varepsilon_{n}$, то из (2.6) следует, что $\widehat{v}=v-I$ также имеет порядок $\varepsilon_{n}$. Но, так как мы определяем $\widehat{v}$ таким образом, что уравнение (2.5) выполнено для членов, линейных относительно $f_{n}-\Phi$ и $\widehat{v}$, то ошибка в этом уравнении и, следовательно, $f_{n+1}-\Phi$ имеют порядок $\varepsilon_{n+1}=\varepsilon_{n}^{2}$.

Проиллюстрируем этот процесс на простом примере. Пусть $A$ вещественная квадратная матрица $n$-го порядка. Задача состоит в нахождении матрицы $(I-A)^{-1}$ с помоцью итерационного процесса, который ни на одном шаге не должен включать операцию взятия обратной

матрицы. Обозначим $f=I-A$, и пусть $u$ – произвольная матрица $n$-го порядка. Пусть $\mathfrak{F}(f, u)=f \cdot u$ (обычное произведение матриц). Тогда задача состоит в решении уравнения
\[
\mathfrak{F}(f, u)=I .
\]

Для оператора $\mathfrak{F}(f, u)$, как нетрудно видеть, выполнены соотношения (2.1) и наша конструкция дает
\[
u_{n+1}=u_{n} \circ v,
\]

где $\mathfrak{F}^{\prime}(I, I) v=I-\mathfrak{F}\left(f, u_{n}\right)$ или $\widehat{v}=I-f \cdot u_{n}$. Положив $f \cdot u_{n}=I-A_{n}$, получим $v=I+\widehat{v}=I+A_{n}$ и $A_{n+1}=I-\left(I-A_{n}\right) v=A_{n}^{2}$.
Таким образом, мы находим окончательную формулу
\[
A_{n}=A^{2^{n}}
\]

и решение
\[
u=(I-A)^{-1}=\prod_{n=0}^{\infty}\left(I+A^{2^{n}}\right) .
\]

Это – известное произведение Эйлера, которое, очевидно, сходится с квадратичной скоростью, относительно любой нормы, для которой $|A|<1$.
Для задачи, рассмотренной в $\S 1$, где $\mathfrak{F}=u^{-1} \circ f \circ u$, находим
\[
\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I) \widehat{v}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{1}{\varepsilon}\left\{(I+\varepsilon \widehat{v})^{-1} \circ \Phi \circ(I+\varepsilon \widehat{v})-\Phi\right\}=\lambda \widehat{v}-\widehat{v}(\lambda \zeta) .
\]

В конце предыдущего параграфа мы показали, что этот оператор обратим, а в следующем параграфе будет показано, что приведенная выше конструкция дает приближения, сходящиеся к решению проблемы центра.

Подчеркнем еще раз, что в приведенной выше конструкции нам приходится обращать только оператор $\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I)$, а не $\mathfrak{F}^{\prime}(f, u)$. Это обстоятельство имеет решающее значение в задачах, связанных с малыми знаменателями, в которых малое изменение линейного оператора $\mathfrak{F}^{\prime}$ может нарушить обратимость, так как спектр оператора $\mathfrak{F}^{\prime}(\Phi, I)$ подходит сколь угодно близко к точке 0 .