Существование инвариантной кривой эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка; это главное положение данного раздела.

Рассмотрим замкнутую кривую, охватывающую цилиндр и заданную параметрически в виде $x=u(\theta), y=v(\theta)$ на накрывающей цилиндр $(x, y)$-плоскости, где $u(\theta)-\theta$ и $v(\theta)$ – периодические функции с периодом 1 , рис. 1 .

Найдем инвариантную кривую, удовлетворяющую условию инвариантности
\[
\varphi(w(\theta))=w(\theta+\omega),
\]

с заданным числом вращения $\omega$. Кроме того, предполагается, что $u$ строго монотонна по $\theta$. Согласно условию (2) действие отображения $\varphi$ к крвой сопряжено с поворотом на $\omega$.

Приведем лагранжеву формулировку условия инвариантности (2) как аналогичную соответствующей в теории Мезера.

Теорема 2. Кривая $w(\theta)=(u(\theta), v(\theta))$ удовлетворяет условию инвариантности (2) при отображении $\varphi$, определяемом соотношениями (1), если и только если горизонтальная функция и( $\theta$ ) удовлетворяет разностному уравнению второго порядка
\[
E(u(\theta)) \equiv h_{1}(u(\theta), u(\theta+\omega))+h_{2}(u(\theta-\omega), u(\theta))=0 .
\]

Для доказательства теоремы сдвинем $\theta$ на $-\omega$ во втором уравнении системы (1) и сложим с первым уравнением в (1).

Таким образом, гамильтонова задача определения $w(\theta)$ свелась к уравнению Лагранжа на единственную функцию $u(\theta)$. Определив таким образом $u(\theta)$, находим $v=v(\theta)$ по формуле $v=-h_{1}\left(u, u^{+}\right)$; здесь и далее используются сокращения $u^{+}=u(\theta+\omega), u^{-}=u(\theta-\omega)$.

ЗАмЕчаниЕ 3. Уравнение (3) представляет собой вариационное уравнение Эйлера – Лагранжа для вариационной задачи $\delta \int_{0}^{1} h\left(u, u^{+}\right) d \theta=0$ (вариационный принцип Персиваля).
ЗамечаниЕ 4. Среднее значение $u_{\theta} E(u)$ равно нулю:
\[
\int_{0}^{1} u_{\theta} E(u) d \theta=0
\]

как следует из инвариантности лагранжиана $\int_{0}^{1} h\left(u, u^{+}\right) d \theta$ при сдвигах по $\theta$ $u(\theta) \rightarrow u(\theta+c)$ или из тождества
\[
u_{\theta} E(u)=\frac{\partial}{\partial \theta} h\left(u, u^{+}\right)-
abla\left(u_{\theta} h_{2}\left(u^{-}, u\right)\right),
\]

где $
abla f=f(\theta+\omega)-f(\theta)$. Искомый результат получается его интегрированием.

ПРимЕР 5. Рассмотрим стандартное отображение
\[
\begin{array}{l}
x_{2}=x_{1}+y_{1}+S^{\prime}\left(x_{1}\right), \\
y_{2}=y_{1}+S^{\prime}\left(x_{1}\right)
\end{array}
\]

и производящую функцию
\[
h\left(x_{1}, x_{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+S\left(x_{1}\right),
\]

где функция $S$ имеет период 1. Тогда уравнение (3) принимает вид
\[
u(\theta+\omega)-2 u(\theta)+u(\theta-\omega)=S^{\prime}(u(\theta)) .
\]